1、第七章第七章 存存 储储 模模 型型-Inventory Models第1页，共55页。一、存储的有关概念一、存储的有关概念（一）、存储（一）、存储存储存储就是将一些物资（如原材料、外就是将一些物资（如原材料、外购零件、部件、在制品等等）存储起来以购零件、部件、在制品等等）存储起来以备将来的使用和消费；备将来的使用和消费；（二）、存储的作用（二）、存储的作用存储是缓解供应与需求之间出现供不应求存储是缓解供应与需求之间出现供不应求或供大于求等不协调情况的必要和有效的或供大于求等不协调情况的必要和有效的方法和措施。方法和措施。第一节第一节 有关存储论的基本概念有关存储论的基本概念第2页，共55页。
2、（三）存储问题（三）存储问题首先，有存储就会有费用（占用资金、首先，有存储就会有费用（占用资金、维护等费用维护等费用存储费），且存储越多存储费），且存储越多费用越大。存储费是企业流动资金中的费用越大。存储费是企业流动资金中的主要部分。主要部分。其次，若存储过少，就会造成供不应求，其次，若存储过少，就会造成供不应求，从而造成巨大的损失（失去销售机会、从而造成巨大的损失（失去销售机会、失去占领市场的机会、违约等）。失去占领市场的机会、违约等）。因此，如何最合理、最经济的制定存储因此，如何最合理、最经济的制定存储策略是企业经营管理中的一个大问题。策略是企业经营管理中的一个大问题。第3页，共55页。（
3、一）存储策略（一）存储策略(Inventory policy)存储策略存储策略解决存储问题的方法，即决定多少时间补充一次解决存储问题的方法，即决定多少时间补充一次以及补充多少数量的策略。常见的有以下几种类型：以及补充多少数量的策略。常见的有以下几种类型：1t0循环策略循环策略每隔每隔t0时间补充库存，补充量为时间补充库存，补充量为Q。这种策略。这种策略是在需求比较确定的情况下采用。是在需求比较确定的情况下采用。2（s，S）策略）策略当存储量为当存储量为s时，立即订货，订货量为时，立即订货，订货量为Q=Ss，即将库存量补充到，即将库存量补充到S。3（t，s，S）策略）策略每隔每隔t时间检查库存，
4、当库存量小等时间检查库存，当库存量小等于于s时，立即补充库存量到时，立即补充库存量到S；当库存量大于；当库存量大于s时，可暂时，可暂时不补充。时不补充。二、存储模型中的几个要素二、存储模型中的几个要素第4页，共55页。（二）费用（二）费用1订货费订货费企业向外采购物资的费用，包括订购费和货物成本费。企业向外采购物资的费用，包括订购费和货物成本费。（1）订购费）订购费(ordering cost)手续费、电信往来费用、交通费等。与订货手续费、电信往来费用、交通费等。与订货次数有关；次数有关；（2）货物成本费）货物成本费与所订货物数量有关，如成本费、运输费等。与所订货物数量有关，如成本费、运输费等
5、。2生产费生产费企业自行生产库存品的费用，包括装备费和消耗性费用。企业自行生产库存品的费用，包括装备费和消耗性费用。（1）装备费）装备费(setup cost)与生产次数有关的固定费用；与生产次数有关的固定费用；（2）消耗性费用）消耗性费用与生产数量有关的费用。与生产数量有关的费用。对于同一产品，订货费与生产费只有一种。对于同一产品，订货费与生产费只有一种。3存储费用存储费用(holding cost)保管费、流动资金占用利息、货损费等，与存储数量及存货性质有关。保管费、流动资金占用利息、货损费等，与存储数量及存货性质有关。4缺货费缺货费(backorder cost)因缺货而造成的损失，如：
6、机会损失、停工待料损失、未完成合同因缺货而造成的损失，如：机会损失、停工待料损失、未完成合同赔偿等。赔偿等。第5页，共55页。（三）提前时间（三）提前时间 (lead time)通常从订货到货物进库有一段时间，为了及时补充库存，一通常从订货到货物进库有一段时间，为了及时补充库存，一般要提前订货，该提前时间等于订货到货物进库的时间长度。般要提前订货，该提前时间等于订货到货物进库的时间长度。（四）目标函数（四）目标函数要在一类策略中选择最优策略，就需要有一个赖以衡要在一类策略中选择最优策略，就需要有一个赖以衡量优劣的准绳，这就是目标函数。量优劣的准绳，这就是目标函数。在存储论模型中，在存储论模型中
7、，目标函数目标函数平均费用函数或平均利润函数。平均费用函数或平均利润函数。最优策略就是使平均费用函数最小或使平均利润函数最大的策最优策略就是使平均费用函数最小或使平均利润函数最大的策略。略。第6页，共55页。（五）求解存储问题的一般方法（五）求解存储问题的一般方法（1）分析问题的供需特性；）分析问题的供需特性；（2）分析系统的费用（订货费、存储费、缺货费、生产费等）；）分析系统的费用（订货费、存储费、缺货费、生产费等）；（3）确定问题的存储策略，建立问题的数学模型；）确定问题的存储策略，建立问题的数学模型；（4）求使平均费用最小（或平均利润最大）的存储策略（最优）求使平均费用最小（或平均利润最
8、大）的存储策略（最优存储量、最佳补充时间、最优订货量等）存储量、最佳补充时间、最优订货量等）第7页，共55页。第二节第二节 经济订购批量存储模型经济订购批量存储模型 Economic Ordering Quantity(EOQ)Model一、模型假设一、模型假设(1）需求是连续均匀的。设需求速度为常数）需求是连续均匀的。设需求速度为常数R；（2）当存储量降至零时，可立即补充，不会造成损失；）当存储量降至零时，可立即补充，不会造成损失；（3）每次订购费为）每次订购费为c3，单位存储费为，单位存储费为c1，且都为常数，且都为常数；二、存储状态二、存储状态存储量存储量时间时间TQ斜率斜率Rt0.5Q
9、第8页，共55页。三、存储模型三、存储模型（一）存储策略（一）存储策略该问题的存储策略就是每次订购量，即问该问题的存储策略就是每次订购量，即问题的决策变量题的决策变量Q，由于问题是需求连续均，由于问题是需求连续均匀且不允许缺货，变量匀且不允许缺货，变量Q可以转化为变量可以转化为变量t，即每隔即每隔t时间订购一次，订购量为时间订购一次，订购量为Q=Rt。（二）优化准则（二）优化准则t时间内平均费用最小。由于问题是线性的，时间内平均费用最小。由于问题是线性的，因此，因此，t时间内平均费用最小，总体平均费时间内平均费用最小，总体平均费用就会最小。用就会最小。第9页，共55页。（三）目标函数（三）目标
10、函数根据优化准则和存储策略，该问题的目标函数就是根据优化准则和存储策略，该问题的目标函数就是t时时间内的平均费用，间内的平均费用，即即 C=C（t）；）；（1）t时间内订货费时间内订货费t时间内订货费时间内订货费=订购费订购费+货物成本费货物成本费=c3+KRt （其中（其中K为货物单价）为货物单价）（2）t时间内存储费时间内存储费存储费存储费=平均存储量平均存储量单位存储费单位存储费时间时间 =(1/2)Qc1t=(1/2)c1Rt2（3）t时间内平均费用（目标函数）时间内平均费用（目标函数）C（t）=(1/2)c1Rt2+c3+KRt/t =(1/2)c1Rt+c3/t+KR第10页，共5
11、5页。（四）最优存储策略（四）最优存储策略在上述目标函数中，在上述目标函数中，令令 dc/dt=0得得 即每隔即每隔t*时间订货一次，可使平均费用最小。时间订货一次，可使平均费用最小。有有 即当库存为零时，立即订货，订货量为即当库存为零时，立即订货，订货量为Q*，可使平均费用最，可使平均费用最小。小。Q*经济订货批量经济订货批量（Economic Ordering Quantity，E.O.Q）Rcct13*213*2cRcRtQ第11页，共55页。（五）平均费用分析（五）平均费用分析由于货物单价由于货物单价K与与Q*、t*无关，因此在费用函数中可省去该无关，因此在费用函数中可省去该项。项。即
12、即 C（t）=(1/2)c1Rt+c3/tC(t)(1/2)c1Rt：存储费用曲线：存储费用曲线c3/t：订购费用曲线：订购费用曲线tt*C图图72O第12页，共55页。费用函数还可以描述成订购量的函数，即费用函数还可以描述成订购量的函数，即 C（Q）=(1/2)c1Q+c3 R/Q此时，费用函数如下图所示：此时，费用函数如下图所示：C(Q)(1/2)c1Q：存储费用曲线：存储费用曲线c3R/Q：订购费用曲线：订购费用曲线QQ*CO第13页，共55页。四、实例分析四、实例分析教材教材P176实例实例某批发公司向附近某批发公司向附近200多家食品零售店提供货源，批发公司负责多家食品零售店提供货源
13、，批发公司负责人为减少存储费用，选择了某种品牌的方便面进行调查研究，人为减少存储费用，选择了某种品牌的方便面进行调查研究，以制定正确的存储策略。调查结果如下：（以制定正确的存储策略。调查结果如下：（1）方便面每周需求）方便面每周需求3000箱；（箱；（2）每箱方便面一年的存储费为）每箱方便面一年的存储费为6元，其中包括贷款元，其中包括贷款利息利息3.6元，仓库费用、保险费用、损耗费用管理费用等元，仓库费用、保险费用、损耗费用管理费用等2.4元。元。（3）每次订货费）每次订货费25元，其中包括：批发公司支付采购人员劳务元，其中包括：批发公司支付采购人员劳务费费12元，支付手续费、电话费、交通费等
14、元，支付手续费、电话费、交通费等13元。（元。（4）方便面）方便面每箱价格每箱价格30元。元。第14页，共55页。解：解：（1）人工计算）人工计算 c1=6/52=0.1154元元周周箱；箱；c3=25元元次；次；R=3000R=3000箱箱周。周。因此有因此有 （箱）（箱）t*=Q*R=1140.183000=0.38（周）（周）=2.66（天）（天）最小费用最小费用 18.11401154.03000252213*cRcQ周）元/(57.1313000251154.02231*Rccc第15页，共55页。（2）计算机求解）计算机求解运筹学软件均是以年为单位，需输入如下数据：运筹学软件均是以
15、年为单位，需输入如下数据：c1=6元元年年箱；箱；c3=25元元次；次；R=3000R=300052=15600052=156000箱箱年年。存储率存储率=20%（存储费占价格比例）；每年天数：（存储费占价格比例）；每年天数：365天；天；计算结果为：计算结果为：最优订货量：最优订货量：1140.175每年存储成本：每年存储成本：3420.526元元每年订货成本：每年订货成本：3420.526元元成本总计：成本总计：6841.053元元最大存储水平：最大存储水平：1140.75平均存储水平：平均存储水平：570.088再订货点：再订货点：427.397每年订货次数：每年订货次数：136.821
16、周期：周期：2.668第16页，共55页。在此基础上，公司根据具体情况对存储策略进行了一些修改：在此基础上，公司根据具体情况对存储策略进行了一些修改：（1）将订货周期该为）将订货周期该为3天，每次订货量为天，每次订货量为33000（52365）=1282箱；箱；（2）为防止每周需求超过）为防止每周需求超过3000箱的情况，决定每天多存储箱的情况，决定每天多存储200箱，这样，第一次订货为箱，这样，第一次订货为1482箱，以后每箱，以后每3天订货天订货1282箱；箱；（3）为保证第二天能及时到货，应提前一天订货，再订货）为保证第二天能及时到货，应提前一天订货，再订货点为点为427+200=627
17、箱。箱。这样，公司一年总费用为：这样，公司一年总费用为：C=0.512826+(3653)25+2006=8087.67元元第17页，共55页。第三节第三节 经济生产批量模型经济生产批量模型 -Economic Production Lot Size Model经济生产批量模型也称不允许缺货、生产需要一定时间模型。经济生产批量模型也称不允许缺货、生产需要一定时间模型。一、模型假设一、模型假设需求是连续均匀的。设需求速度为常数需求是连续均匀的。设需求速度为常数R；每次生产准备费为每次生产准备费为c3，单位存储费为，单位存储费为c1，且都为常数；，且都为常数；1)当存储量降至零时开始生产，单位时间
18、生产量（生产率）为当存储量降至零时开始生产，单位时间生产量（生产率）为P（常数），生产的产品一部分满足当时的需要，剩余部（常数），生产的产品一部分满足当时的需要，剩余部分作为存储，存储量以分作为存储，存储量以PR的速度增加；当生产的速度增加；当生产t时间以时间以后，停止生产，此时存储量为后，停止生产，此时存储量为（PR）t，以该存储量来，以该存储量来满足需求。当存储量降至零时，再开始生产，开始一个新满足需求。当存储量降至零时，再开始生产，开始一个新的周期。的周期。第18页，共55页。二、存储状态图二、存储状态图设最大存储量为设最大存储量为S；总周期时间为；总周期时间为T，其中生产时间，其中生产
19、时间为为t，不生产时间为，不生产时间为t1；存储状态图如下图。；存储状态图如下图。S时间时间T0.5S存储量存储量tt1斜率斜率PR斜率斜率R第19页，共55页。三、存储模型三、存储模型1存储策略：存储策略：一次生产的生产量一次生产的生产量Q，即问题的决策变量；，即问题的决策变量；2优化准则优化准则：t+t1时期内，平均费用最小；时期内，平均费用最小；3费用函数费用函数：（1）生产时间）生产时间 t=QPP；（2）最大存储量）最大存储量 S=(PR)t=(PR)Q/P（3）不生产时间与总时间：）不生产时间与总时间：t1=SR=(PR)Q(PR)t+t1=QP+(PR)Q(PR)=QR（4）t+
20、t1时期内平均存储费：时期内平均存储费：0.5S c1 =0.5 c1(PR)QP（5）t+t1时期内平均生产费用：时期内平均生产费用：c3(t+t1)=c3RQ（6）t+t1时期内总平均费用：时期内总平均费用：C=0.5 c1(PR)QP+c3RQ第20页，共55页。4 4最优存储策略最优存储策略在上述费用函数的基础上：在上述费用函数的基础上：令令 dc/dQ=0有最佳生产量有最佳生产量 最佳生产时间最佳生产时间 最佳循环时间最佳循环时间 循环周期内平均费用循环周期内平均费用 上述各参数的单位均以上述各参数的单位均以c1的单位为参照的单位为参照)(12/13*RPPcRcPQtRPPcRcQ
21、13*2RPPRccRQT13*2/PRPRccC312第21页，共55页。四、实例计算四、实例计算某存储问题，有关参数如下：某存储问题，有关参数如下：R=4900个个/年；年；P=9800个个/年；年；c1=1000元元/个个年；年；c3=500元元/次：次：计算结果为：计算结果为：最优生产量：最优生产量：98.995 Q*每年存储成本：每年存储成本：24748.74元元每年生产准备成本：每年生产准备成本：24748.74元元成本总计：成本总计：49497.38元元最大存储水平：最大存储水平：49.497平均存储水平：平均存储水平：24.749再生产点：再生产点：19.6每年生产次数：每年生
22、产次数：49.497 R/Q*周期：周期：5.051 250/（R/Q*）第22页，共55页。第四节第四节 允许缺货的经济订购批量模型允许缺货的经济订购批量模型 -An Inventory Model with Planned Shortage所谓允许缺货是指企业可以在存储降至零后，还可以在所谓允许缺货是指企业可以在存储降至零后，还可以在等待一段时间后订货。等待一段时间后订货。若企业除了支付少量的缺货损失外无其他损失，从经济的角若企业除了支付少量的缺货损失外无其他损失，从经济的角度出发，允许缺货对企业是有利的。度出发，允许缺货对企业是有利的。一、模型假设一、模型假设（1）顾客遇到缺货时不受损失
23、或损失很小，）顾客遇到缺货时不受损失或损失很小，顾客会耐心等顾客会耐心等待直到新的补充到来待直到新的补充到来。当新的补充一到，立即将货物交付。当新的补充一到，立即将货物交付给顾客。这是允许缺货的基本假设，即缺货不会造成机会给顾客。这是允许缺货的基本假设，即缺货不会造成机会损失。损失。（2）需求是连续均匀的。设需求速度为常数）需求是连续均匀的。设需求速度为常数R；（3）每次订购费为）每次订购费为c3，单位存储费为，单位存储费为c1，单位缺货费为，单位缺货费为c2，且，且都为常数；都为常数；第23页，共55页。二、存储状态图二、存储状态图设最大存储量为设最大存储量为S，则最大缺货量为，则最大缺货量
24、为QS，每次订到货后，每次订到货后立即支付给顾客最大缺货量立即支付给顾客最大缺货量QS；总周期时间为；总周期时间为T，其中，其中不缺货时间为不缺货时间为t1，缺货时间为，缺货时间为t2；存储状态图如下图。；存储状态图如下图。存储量存储量t1t2时间时间TQSSTO第24页，共55页。三、存储模型三、存储模型1存储策略：一次生产的生产量存储策略：一次生产的生产量Q，即问题的决策变量；，即问题的决策变量；2优化准则：优化准则：T时期内，平均费用最小；时期内，平均费用最小；3费用函数：费用函数：（1）不缺货时间）不缺货时间 t1=SRR；（2）缺货时间）缺货时间 t2=（QS）RR（3）总周期时间）
25、总周期时间 T=QRR（4 4）平均存储量）平均存储量 0.5St1T=0.5S2Q（5）平均缺货量）平均缺货量 0.5（QS）t2T =0.5（QS）2 Q（6）T时期内平均存储费：时期内平均存储费：0.5c1S2Q（7）T时期内平均缺货费：时期内平均缺货费：0.5c2（QS）2Q（5）T时期内平均订购费用：时期内平均订购费用：c3 T=c3RQ（6）T时期内总平均费用：时期内总平均费用：C（S，Q）=0.5c1S2Q+0.5c2（QS）2Q+c3RQ第25页，共55页。4最优存储策略最优存储策略令令 有最佳订购量有最佳订购量 最佳（最大）存储量最佳（最大）存储量 最佳循环时间最佳循环时间
26、周期内平均费用周期内平均费用 0)(21QSQcQScSC02)()(22232222221QRcQSQcSQQcQScQC22113*2ccccRcQ21213*2ccccRcS22113*2/cccRccRQT21231*2cccRccC第26页，共55页。四、实例计算四、实例计算 不允许缺货允许缺货参数R=4900个/年；c1=1000元/个年；c3=500元/次；R=4900个/年；c1=1000元/个年；c3=500元/次；c2=2000元/个年最优订货量 70 85.732每年存储成本 35000元 19051.59元每年订货成本35000元28577.38元每年缺货成本 9525
27、.793元成本总计 70000元 57154.76元最大存储水平 70 57.155平均存储水平 35 19.052再订货点 19.68.577最大缺货量 28.577每年订货次数 7057.155周期 3.5714.374第27页，共55页。第五节第五节 允许缺货的经济生产批量模型允许缺货的经济生产批量模型允许缺货，补充不是靠订货，而是靠生产。允许缺货，补充不是靠订货，而是靠生产。一、模型假设（1）需求是连续均匀的。设需求速度为常数）需求是连续均匀的。设需求速度为常数R；（2）每次生产准备费为）每次生产准备费为c3，单位存储费为，单位存储费为c1，单位缺货费为，单位缺货费为c2，且，且都为常
28、数；都为常数；（3）当缺货一段时间后时开始生产，单位时间生产量（生产）当缺货一段时间后时开始生产，单位时间生产量（生产率）为率）为P（常数），生产的产品一部分满足当时的需要，剩余（常数），生产的产品一部分满足当时的需要，剩余部分作为存储，存储量以部分作为存储，存储量以PR的速度增加；停止生产时，以存的速度增加；停止生产时，以存储量来满足需求。储量来满足需求。第28页，共55页。二、存储状态图二、存储状态图设最大存储量为设最大存储量为S，则最大缺货量为，则最大缺货量为H；总周期时间为；总周期时间为T，其中存储时间（不缺货时间）为其中存储时间（不缺货时间）为t1，缺货时间为，缺货时间为t2。存储。
29、存储状态图如下图。状态图如下图。存储量存储量时间时间TTHt1t2S第29页，共55页。三、存储模型三、存储模型1存储策略存储策略：一次生产的生产量：一次生产的生产量Q，即问题的决策变量；，即问题的决策变量；2优化准则：优化准则：T时期内，平均费用最小；时期内，平均费用最小；3费用函数费用函数：（1）不缺货时间）不缺货时间：包括两部分，一部分是存储增加的时间，另一部分是存储：包括两部分，一部分是存储增加的时间，另一部分是存储减少的时间，因此有：减少的时间，因此有：（2）缺货时间：）缺货时间：也包括两部分，一部分是缺货增加的时间，另一部分是也包括两部分，一部分是缺货增加的时间，另一部分是缺货减少
30、的时间，所以有：缺货减少的时间，所以有：（3）总周期时间）总周期时间：等于存储时间与缺货时间之和，即：等于存储时间与缺货时间之和，即：RRPPSRSRPSt)(1RRPPHRPHRHt)(2RRPHSPRRPPHRRPPSttT)()()()(21第30页，共55页。（4 4）平均存储量）平均存储量 （5 5）平均缺货量）平均缺货量 （6 6）T T时期内平均存储费时期内平均存储费 （7 7）T T时期内总平均费用，即费用函数：时期内总平均费用，即费用函数：)(22121HSSTtS)(22122HSHTtHPRPHSRcTc)(33PRPHSRcHSHcHSScHSC)()(2)(2),(3
31、22214 4最优存储策略最优存储策略令令 0SC0HC第31页，共55页。最大缺货量最大缺货量最佳（最大）存储量最佳（最大）存储量 有最佳订购量有最佳订购量 即即最佳循环时间最佳循环时间 周期内平均费用周期内平均费用 RPPccccRcQ22113*2PRPccccRcS21213*2RPPcccRccRQT22113*2/PRPcccRccC21231*2PRPccccRcH21123*2RPPHSQ)(*第32页，共55页。四、实例计算四、实例计算实例总结实例总结R=4900个个/年；年；P=9800个个/年；年；c1=1000元元/个个年；年；c2=2000元元/个个年；年；c3=50
32、0元元/次；次；计算结果为：计算结果为：最优生产量：最优生产量：121.244 Q*每年存储成本：每年存储成本：13471.51元元每年缺货成本：每年缺货成本：6735.752元元每年生产准备成本每年生产准备成本:20207.26元元成本总计：成本总计：40414.52元元最大存储水平：最大存储水平：40.415平均存储水平：平均存储水平：13.472最大缺货量：最大缺货量：20.207平均缺货量：平均缺货量：3.368周期：周期：6.186 250/（R/Q*）第33页，共55页。第六节第六节 经济订货批量折扣模型经济订货批量折扣模型 -Quantity Discount for the E
33、OQ Model在很多情况下，购买商品的数量与商品的价格有在很多情况下，购买商品的数量与商品的价格有关，一般是购买的数量越多，商品的价格越低。关，一般是购买的数量越多，商品的价格越低。由于不同的订货量商品的价格不同，所以我们在决由于不同的订货量商品的价格不同，所以我们在决定最优订货量时，不仅要考虑到存储费和订货费，定最优订货量时，不仅要考虑到存储费和订货费，同时要考虑到商品的购买成本。同时要考虑到商品的购买成本。第34页，共55页。一、模型构造与分析一、模型构造与分析根据上述分析，在有价格折扣的情况下，一个订货周期内的平均费用应用根据上述分析，在有价格折扣的情况下，一个订货周期内的平均费用应用
34、下列函数描述，即：下列函数描述，即：式中式中K（Q）为商品价格，为订货量）为商品价格，为订货量Q的函数。要使一个订货周期内的平的函数。要使一个订货周期内的平均费用最小，同样均费用最小，同样令令 有有 由于由于dKdQ Q*，即有价格折扣时的最优订货量要大于，即有价格折扣时的最优订货量要大于没有价格折扣时的最优订货量。没有价格折扣时的最优订货量。当当dKdQ为常数时，可直接从上述公式中求出有价格折扣时的最优订货量。但一为常数时，可直接从上述公式中求出有价格折扣时的最优订货量。但一般情况是，随着订货量的再增加，商品的价格折扣也会降低，即般情况是，随着订货量的再增加，商品的价格折扣也会降低，即dKd
35、Q的绝对的绝对值会越来越小，亦即值会越来越小，亦即Q0*又有下降的趋势。又有下降的趋势。)(21)(31QKRQRcQcQC021231dQdKRQRccdQdCdQdKRcRcQ2213*0第35页，共55页。二、模型的求解二、模型的求解上面进行的是在商品价格变化为连续情况下的分析，实际情况上面进行的是在商品价格变化为连续情况下的分析，实际情况是商品的价格折扣是离散的，即当订货量为是商品的价格折扣是离散的，即当订货量为GiQ Gi+1时，商时，商品的价格为品的价格为Ki，此时，平均费用为：，此时，平均费用为：为此，有如下求解步骤：为此，有如下求解步骤：（1）先求出最佳批量）先求出最佳批量 ，
36、并确定落在哪个区，若落，并确定落在哪个区，若落在在GiQ Gi+1，此时，此时（2）取）取Q=Gi+1，Gi+2，代入上述公式计算，代入上述公式计算Ci，取，取Ci最小者对应的最小者对应的G值为最优订货批量。值为最优订货批量。iiKRQRcQcC312113*/2cRcQ iiRKRccC132第36页，共55页。三、实例计算三、实例计算实例总结实例总结R=300个个/年；年；c1=100元元/个个年；年；c3=200元元/次；价格与次；价格与订货量的关系如下表所示。订货量的关系如下表所示。订货量（箱）订货量（箱）1495099100以上以上单价（元单价（元/箱）箱）5004804753510
37、03002002213*cRcQ（元）15346450030035300200351002121)(1*3*1*KRQRcQcQC解解第37页，共55页。（元）147700480300503002005010021)50(C（元）14810047530010030020010010021)100(C因此，该问题的最优订货量为因此，该问题的最优订货量为50张张/年，最小费用为年，最小费用为147700元。元。数据模型与决策数据模型与决策P366案例的计算机求解案例的计算机求解 D=5000;C0=49;Ch=0.2K (K为价格为价格);m=2天天.同理有同理有第38页，共55页。第七节第七节
38、需求为随机的单一周期模型需求为随机的单一周期模型 -A Single-Period Inventory Model with Probabilistic Demand通常情况下，需求是一个随机变量。通常情况下，需求是一个随机变量。所谓需求是随机变量的所谓需求是随机变量的单一周期存储问题是单一周期存储问题是指，某种商品指，某种商品的市场需求是随机变量，其分布为已知。这类商品或更的市场需求是随机变量，其分布为已知。这类商品或更新快或不能长期保存，他们在某段时间内只能进货一次，新快或不能长期保存，他们在某段时间内只能进货一次，期末未售出商品降价处理或完全损失掉（期末未售出商品降价处理或完全损失掉（如
39、季节性服装、如季节性服装、贺年卡、食品、报纸等）贺年卡、食品、报纸等）。这类问题中，如订货量过大会使商品不能完全售出而增加损这类问题中，如订货量过大会使商品不能完全售出而增加损失，若订货量过小，会因供不应求而造成机会损失。失，若订货量过小，会因供不应求而造成机会损失。第39页，共55页。一、需求为离散随机变量情况下的模型一、需求为离散随机变量情况下的模型（一）报童问题（一）报童问题报童每天销售的报纸数量是个随机变量，每出售一份报童每天销售的报纸数量是个随机变量，每出售一份报纸赚报纸赚k元，若当天报纸未售出则每份赔元，若当天报纸未售出则每份赔h元。根据以元。根据以往经验，每天报纸的需求量为往经验
40、，每天报纸的需求量为r的概率为的概率为P（r），问报），问报童每天最好准备多少报纸？童每天最好准备多少报纸？（二）最优订购量模型（二）最优订购量模型设报童每天订设报童每天订Q份报纸份报纸当当 Qr 时，报童损失：时，报童损失：h（Qr）元元当当 Q r 时，报童机会成本时，报童机会成本：k（rQ）元元第40页，共55页。由于由于r是离散的，故报童订是离散的，故报童订Q份报纸的期望损失为：份报纸的期望损失为：使期望损失最小的最佳订购量使期望损失最小的最佳订购量Q*必满足如下两个条件：必满足如下两个条件：（1）C（Q*）C（Q*+1）（2）C（Q*）C（Q*1）10)()()()()(QrQrrP
41、QrkrPrQhQC由（由（1）有）有由（由（2）有）有因此，最优订购量因此，最优订购量Q*应满足下列不等式：应满足下列不等式：hkkrPQr*0)(hkkrPQr10*)(*010)()(QrQrrPhkkrP第41页，共55页。（三）应用举例（三）应用举例某报亭出售某种报纸，其需求量在某报亭出售某种报纸，其需求量在5百至百至1千份千份之间，需求的概率分布如下表。又已知该报纸之间，需求的概率分布如下表。又已知该报纸每售出一百份利润每售出一百份利润22元，每积压一百份损失元，每积压一百份损失20元，问报亭每天应订购多少份这种报纸，利润元，问报亭每天应订购多少份这种报纸，利润最大。最大。需求数需
42、求数（百份）（百份）5678910概率概率0.060.10.230.310.220.08累计概率累计概率0.060.160.390.700.921第42页，共55页。解：解：由题意有：由题意有：k=22k=22、h=20h=20所以所以 由表中累计概率可知：由表中累计概率可知：故，报亭每天订购该种报纸的份数应在故，报亭每天订购该种报纸的份数应在700700份到份到800800份之份之间。间。5238.0202222hkk708070.0)(5238.039.0)(rrrPrP第43页，共55页。二、需求为连续随机变量情况下的模型二、需求为连续随机变量情况下的模型（一）问题描述（一）问题描述某商
43、品单位成本为某商品单位成本为k，单位售价为，单位售价为P，单，单位存储费为位存储费为c1，需求，需求r是连续的随机变量，是连续的随机变量，密度函数为密度函数为（r），其分布函数为），其分布函数为 生产或订购数量为生产或订购数量为Q，问，问如何确定如何确定Q，使利润期望值最大？，使利润期望值最大？adrraF0)()(第44页，共55页。（二）存储模型（二）存储模型期望收入为：期望收入为：期望费用为：期望费用为：因此，期望利润为：因此，期望利润为：QrQrdrrPQdrrrPQERQQ当当)()()(0成本费存储费KQdrrrQcQEFQ01)()()(机会成本与费用常量收入)()()()()(
44、)()()()(010KQdrrrQcdrrQrPdrrrPQEFQERQEQQ第45页，共55页。令令 又令又令 再令再令 有有 即即 由该式可解得由该式可解得Q*。若。若PK，由，由F（Q）0可知上式等式不成立，可知上式等式不成立，即即Q*=0，即价格小于成本时不能订货。，即价格小于成本时不能订货。KQdrrrQcdrrQrPQECQQ01)()()()()(0)()()(01KdrrcdrrPDQQdECQQQdrrQF0)()(0)(1)(1KQFPQFc1)(cPKPQF第46页，共55页。举例举例：某公司出售某种商品，其单位成本为：某公司出售某种商品，其单位成本为10元元/件，单位
45、售件，单位售价为价为15元元/件，单位存储费为件，单位存储费为2元元/件。需求量为随机变量，且服件。需求量为随机变量，且服从分布从分布N（200，302），试确定最佳定货量。），试确定最佳定货量。解解：依题意，：依题意，K=10，P=15，c1=2，=200，=30因此有：因此有：F（Q）=（P-K）/（P+c1）=5/17=0.294即：即：（Q）/=0.294又：又：（Q）/=1 （Q）/=10.294=0.706查正态分布表有：查正态分布表有：（0.54）=0.706即：即：（Q）/=0.54所以：所以：Q=0.54=2000.5430=184第47页，共55页。第八节第八节 需求为随机
46、的多周期模型需求为随机的多周期模型 -Multi-Period Inventory Models with Probabilistic Demand在多周期的模型里，上一周期未售完的产品，可存储到下一周在多周期的模型里，上一周期未售完的产品，可存储到下一周期销售。期销售。其费用不包括机会成本，而只有其费用不包括机会成本，而只有订货费和存储费订货费和存储费。由于需求是随机的，我们不能准确地知道周期的确切长由于需求是随机的，我们不能准确地知道周期的确切长度，也无法准确确定再订货点的来到时间，因此，存储度，也无法准确确定再订货点的来到时间，因此，存储策略也与确定性存储模型不同。策略也与确定性存储模型
47、不同。由于需求是随机变量，若要保证每周期不缺货或缺货在由于需求是随机变量，若要保证每周期不缺货或缺货在某一个确定的数量上几乎不可能。但我们可以考虑在一某一个确定的数量上几乎不可能。但我们可以考虑在一定置信水平下的不缺货，或缺货在某一确定的数量上。定置信水平下的不缺货，或缺货在某一确定的数量上。例如，在某一段时间内出现缺货的概率为例如，在某一段时间内出现缺货的概率为，即出现不，即出现不缺货的概率为缺货的概率为1 1。这里的置信水平即。这里的置信水平即服务水平服务水平。第48页，共55页。一、订货批量与再订货点服务水平模型一、订货批量与再订货点服务水平模型问题的描述：问题的描述：某种商品，周期内平
48、均需求量为某种商品，周期内平均需求量为R，单，单位存储费为位存储费为c1，每次订货费，每次订货费c3，商品备运期（提前期）为，商品备运期（提前期）为m天，天，m天内商品的需求量为天内商品的需求量为r，r为服从某种分布的随机变为服从某种分布的随机变量，一般认为服从均值为量，一般认为服从均值为均方差为均方差为的正态分布。服的正态分布。服务水平为允许缺货的概率小于务水平为允许缺货的概率小于。求每周期的最优订求每周期的最优订货量和满足服务水平的再订货点。货量和满足服务水平的再订货点。该问题的特点是该问题的特点是：其存储策略为最优订货批量和再订货点，：其存储策略为最优订货批量和再订货点，即当存储量降至再
49、订货点时订货，则可满足给定的服务水即当存储量降至再订货点时订货，则可满足给定的服务水平。平。第49页，共55页。（一）每周期的最优订货量（一）每周期的最优订货量按经济订货批量模型计算，即按经济订货批量模型计算，即（二）满足服务水平的再订货点（二）满足服务水平的再订货点由概率论的知识可知：由概率论的知识可知：即不会缺货的概率为：即不会缺货的概率为：1。查概率表查概率表 可得到可得到 这样有这样有 x即为满足服务水平的再订货点。即为满足服务水平的再订货点。13*2cRcQ 1xrP1x1x1x第50页，共55页。3举例举例教材教材P189实例总结实例总结c1=9.6元元/箱年；箱年；c3=250元
50、元/次；提前期：一星次；提前期：一星期；产品一星期的需求量服从均值为期；产品一星期的需求量服从均值为=850=850箱、箱、均方差为均方差为=120=120箱箱的正态分布。的正态分布。服务水平：缺货的概率小于服务水平：缺货的概率小于0.05。R=85052=44200箱箱/年年第51页，共55页。（1）最优订货量：）最优订货量：（箱）（箱）（2）再订货点）再订货点查正态分布表有：查正态分布表有：故故 即即 （箱）（箱）故商品的再订货点为故商品的再订货点为1047箱，每次订货量为箱，每次订货量为1517箱箱。15176.9442002502213*cRcQ95.005.011 x95.0645.
