1、1复变函数复变函数第第3讲讲本文件可从网址http:/math.shekou上下载25 复变函数31.复变函数的定义定义 设G是一个复数z=x+iy的集合,如果有一个确定的法则存在,按照这一法则,对于集合G中的每一个复数z,就有一个或几个复数w=u+iv与之对应,则称复变数w是复变数z的函数(简称复变函数),记作w=f(z)如果z的一个值对应着w的一个值,则函数f(z)是单值的;否则就是多值的.集合G称为f(z)的定义集合,对应于G中所有z对应的一切w值所成的集合G*,称为函数值集合.4在以后的讨论中,定义集合G常常是一个平面区域,称之为定义域,并且,如无特别声明,所讨论的函数均为单值函数.由
2、于给定了一个复数z=x+iy就相当于给定了两个实数x和y,而复数w=u+iv亦同样地对应着一对实数u和v,所以复变函数w和自变量z之间的关系w=f(z)相当于两个关系式:u=u(x,y),v=v(x,y),它们确定了自变量为x和y的两个二元实变函数.5例如,考察函数w=z2令z=x+iy,w=u+iv,则u+iv=(x+iy)2=x2-y2+2xyi,因而函数w=z2对应于两个二元函数:u=x2-y2,v=2xy62.映射的概念如用z平面上的点表示自变量z的值,而用另一个平面w平面上的点表示函数w的值,则函数w=f(z)在几何上就可以看做是把z平面上的一个点集G(定义集合)变到w平面上的一个点
3、集G*(函数值集合)的映射(或变换).这个映射通常简称为由函数w=f(z)所构成的映射.如果G中的点z被映射w=f(z)映射成G*中的点w,则w称为z的象(映象),而z称为w的原象.7设函数w=z,xyOuvOABCz1z2ABCw1w282a设函数w=z2,xyOuvOz1z2w2z3w3aw19由于函数w=z2对应于两个二元实变函数:u=x2-y2,v=2xy.(1.5.1)因此,它把z平面上的两族分别以直线y=x和坐标轴为渐近线的等轴双曲线x2-y2=c1,2xy=c2分别映射成w平面上的两族平行直线u=c1,v=c2,10101-1-1-10-8-6-4-2x2468v=101y-10
4、-8-6-4-2u=02468uv1010-10-1011函数w=z2对应于两个二元实变函数:u=x2-y2,v=2xy.(1.5.1)如果确定直线x=l(常数)与y=m(常数),直线x=l的象的参数方程为 u=l2-y2,v=2ly,消去参数y得直角坐标方程为v2=4l2(l2-u)同理可得直线y=m的象的方程为v2=4m2(m2+u)12u12y y=1y=25-5-224-4vx=1x=212x 32x 13假定函数w=f(z)的定义集合为z平面上的集合G,函数值集合为w平面上的集合G*,则G*中的每个点w必将对应着G中的一个(或几个)点.按照函数的定义,在G*上就确定了一个单值(或多值
5、)函数z=j(w),它称为函数w=f(z)的反函数,也称为映射w=f(z)的逆映射.从反函数的定义可知,对任意的wG*,有w=fj(w),当反函数为单值函数时,也有z=jf(z),zG14今后,我们不再区分函数与映射(变换).如果函数(映射)w=f(z)与它的反函数(逆映射)z=j(w)都是单值的,则称函数(映射)w=f(z)是一一的.此时,我们也称集合G与集合G*是一一对应的.156 复变函数的极限和连续性161.函数的极限定义 设函数w=f(z)定义在z0的去心邻域0|z-z0|0,相应地必有一正数d(e)(0dr),使得当0|z-z0|d时有|f(z)-A|e,则称A为f(z)当z趋向于
6、z0时的极限,记作Azfzz)(lim0或记作当zz0时,f(z)A17这个定义的几何意义是:当变点z一旦进入z0的充分小的d邻域时,它的象点f(z)就落A的预先给定的e邻域中.应当注意,z趋向于z0的方式是任意的,无论以何种方式趋向于z0,f(z)都要趋向于同一常数A.xyOz0dzOuvAef(z)18极限示意xyOuvO19定理一 设f(z)=u(x,y)+iv(x,y),A=u0+iv0,z0=x0+iy0,则.),(lim,),(lim)(lim0000000vyxvuyxuAzfyyxxyyxxzz的充分必要条件是20证 必要性:.),(lim,),(lim|,|,)()(0.|)
7、()(|,|)()(|0,0,0,)(lim00002020000000000vyxvuyxuvvuuyyxxivuivuiyxiyxAzfyyxxyyxxzz-这就是说时即当时当存在任给根据极限的定义有如果eededde21充分性:AzfAzfzzvvuuvviuuAzfvvuuyyxxvyxvuyxuzzyyxxyyxx-)(lim,22|)(|,|0|)()(|)(|2/|,2/|,)()(0,0,0),(lim,),(lim000000000000202000即有时则当而时使当存在则任给如果eeedeedde22定理二)0()()(lim)3)()(lim)2)()(lim)1,)(l
8、im,)(lim00000BBAzgzfABzgzfBAzgzfBzgAzfzzzzzzzzzz则如果23例 证明函数当z0时的极限不存在证 令z=x+iy,则Re()()|zf zz22(),xf zxy由此得22(,),(,)0.xu x yv x yxy24由此得22(,),(,)0.xu x yv x yxy让z沿直线y=kx趋于零,我们有2222000()()2lim(,)limlim(1)1.1xxxy kxy kxxxu x yxykxk 2520()1lim(,).1xy kxu x yk 显然,它随k的不同而不同,所以00lim(,)xyu x y不存在.虽然00lim(,)
9、0 xyv x y但根据定理一,不存在.0lim()xf z26此题也可以用另一种方法证明,令z=r(cosq+isinq),则cos()cos.rf zrqq当z沿着不同的射线arg z=q 趋于零时,f(z)趋于不同的值.例如,z沿正实轴arg z=0趋于0时,f(z)1,z沿arg z=p/2趋于0时,f(z)0.故0lim()zf z不存在272.函数的连续性定义)()(lim00zfzfzz如果则说f(z)在z0处连续.如果f(z)在区域D内处处连续,我们说f(z)在D内连续.定理三 函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z0=x0+iy0处连续的充要条件是u(x,y)和v(x
10、,y)在(x0,y0)处连续.28例如,函数f(z)=ln(x2+y2)+i(x2-y2)在复平面内除原点外处处连续,因为u=ln(x2+y2)除原点外是处处连续的,而v=x2-y2是处处连续的.29定理四 1)在z0连续的两个函数f(z)与g(z)的和,差,积,商(分母在z0不为零)在z0处连续;2)如果函数h=g(z)在z0处连续,函数w=f(h)在h0=g(z0)连续,则复合函数w=fg(z)在z0处连续.30由以上定理,可以推得有理整函数(多项式)w=P(z)=a0+a1z+a2z2+.+anzn对复平面内所有的z都是连续的,而有理分式函数,)()(zQzPw 其中P(z)和Q(z)都是多项式,在复平面分母不为零的点也是连续的31还应指出,所谓函数f(z)在曲线C上z0点处连续的意义是指Czzfzfzz),()(lim00在闭曲线或包括曲线端点在内的曲线段上连续的函数f(z)在曲线上是有界的.即存在一正数M,在曲线上恒有|f(z)|M32作业第34页第26,27,29题
