1、新课标人教版课件系列新课标人教版课件系列数学必修53.4.1基本不等式-均值不等式审校：王伟教学目标教学目标 推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理；利用均值定理求极值。了解均值不等式在证明不等式中的简单应用。教学重点：教学重点：推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理；利用均值定理求极值。了解均值不等式在证明不等式中的简单应用。如果如果a，bR，那么那么a2+b22ab（当且仅当（当且仅当a=b时取时取“=”）证明：证明：222)(2baabba0)(0)(22babababa时，当时，当abba2221指出定理适用范围：指出定理适用范围：R
2、ba,2强调取强调取“=”的条件：的条件：ba 定理：定理：如果如果a,bR+，那么，那么 abba2（当且仅当（当且仅当a=b时，式中等号成立）时，式中等号成立）证明：证明：22()()2aba b abba2 即：即：abba2当且仅当当且仅当a=b时时abba2均值定理：均值定理：注意：注意：1适用的范围：适用的范围：a,b 为非负数为非负数.2语言表述：语言表述：两个非负数两个非负数的算术平的算术平均数均数不小于不小于它们的几何平均数。它们的几何平均数。称称2ab为为a，b的算术平均数，的算术平均数，3.我们把不等式我们把不等式 (a0,b0)2abab称为基本不等式称为基本不等式称称
3、ab的几何平均数。的几何平均数。为为a，b2ab把把看做两个看做两个正数正数a，b的等差中项，的等差中项，ab看做看做正数正数a，b的等比中项，的等比中项，那么上面不等式可以叙述为：那么上面不等式可以叙述为：两个正数的等差中项两个正数的等差中项不小于不小于它们的等比它们的等比中项。中项。还有没有其它的证明方法证明上面还有没有其它的证明方法证明上面的基本不等式呢的基本不等式呢?几何直观解释：几何直观解释：令令正正数数a，b为为两两条条线线段段的的长，长，用用几几何何作作图图的的方方法，法，作作出出长长度度为为 和和的的两两条条线线段，段，然然后后比比较较这这两两条条线线段段的的长。长。2a b
4、a b具体作图如下：具体作图如下：（1）作线段）作线段AB=a+b，使，使AD=a，DB=b,（2）以）以AB为直径作半圆为直径作半圆O；（3）过）过D点作点作CDAB于于D，交半圆于点，交半圆于点C（4）连接）连接AC，BC，CA，则，则2abOCCDababa+b2ba ODCBA当当ab时，时，OCCD，即，即2abab当当a=b时，时，OC=CD，即，即2abab例例1已知已知ab0，求证：，求证：，并，并推导出式中等号成立的条件。推导出式中等号成立的条件。2baab证明：因为证明：因为ab0，所以，所以 ，根据均值不等式得根据均值不等式得0,0baab22bab aaba b即即2b
5、aab当且仅当当且仅当 时，即时，即a2=b2时式中等号时式中等号成立，成立，baab因为因为ab0，即，即a，b同号，所以式中等号成同号，所以式中等号成立的条件是立的条件是a=b.例例2（1）一个矩形的面积为）一个矩形的面积为100m2，问，问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？长最短？最短周长是多少？（2）已知矩形的周长是）已知矩形的周长是36m，问这个矩，问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的面积最大？形的长、宽各为多少时，矩形的面积最大？最大面积是多少？最大面积是多少？分析：在（分析：在（1）中，矩形的长与宽的乘积是）中，矩形的
6、长与宽的乘积是一个常数，求长与宽的和的一个常数，求长与宽的和的2倍的最小值；倍的最小值；在（在（2）中，矩形的长与宽的和的）中，矩形的长与宽的和的2倍是一个倍是一个常数，求长与宽的乘积的最大值。常数，求长与宽的乘积的最大值。解：（解：（1）设矩形的长、宽分别为）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，依题意有，依题意有xy=100(m2)，因为因为x0，y0，所以，所以，2xyxy因此，即因此，即2(x+y)40。当且仅当当且仅当x=y时，式中等号成立，时，式中等号成立，此时此时x=y=10。因此，当这个矩形的长与宽都是因此，当这个矩形的长与宽都是10m时，时，它的周长最短，最短周长是它的周长
7、最短，最短周长是40m.（2）设矩形的长、宽分别为）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，依题意有依题意有2(x+y)=36，即，即x+y=18，因为因为x0，y0，所以，所以，2xyxy因此因此 xy 9将这个正值不等式的两边平方，得将这个正值不等式的两边平方，得xy81,当且仅当当且仅当x=y时，式中等号成立，时，式中等号成立，此时此时x=y=9，因此，当这个矩形的长与宽都是因此，当这个矩形的长与宽都是9m时，时，它的面积最大，最大值是它的面积最大，最大值是81m2。规律：规律：两个正数的积为常数时，它们的和有两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；最小值；两个正数的和为常数时，它们的积
8、有两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。最大值。例例3求函数求函数 的最大的最大值，及此时值，及此时x的值。的值。223()(0)xxf xxx解：解：，因为，因为x0，3()1(2)f xxx 所以所以3322 22 6xxxx得得3(22 6xx)-因此因此f(x)1 2 6当且仅当当且仅当 ，即，即 时，式中等时，式中等号成立。号成立。32xx232x 由于由于x0，所以，所以 ，式中等号成立，式中等号成立，62x 因此因此 ，此时，此时 。max()1 2 6f x 62x 下面几道题的解答可能下面几道题的解答可能有错有错，如果，如果错了错了，那么那么错错在哪里？在哪里？已知函数已知
9、函数 ，求函数的，求函数的最小值和此时最小值和此时x的取值的取值xxxf1)(.2112121)(:取到最小值时函数即当且仅当解xxxxxxxxf 运用均值不等式的过程中，忽略了运用均值不等式的过程中，忽略了“正数正数”这个条件这个条件已知函数，已知函数，求函数的最小值求函数的最小值)2(23)(xxxxf。的最小值是时，函数即当且仅当解：6323223223)(xxxxxxxxxf 用均值不等式求最值，必须满足用均值不等式求最值，必须满足“定值定值”这这个条件个条件的最小值。，（其中求函数20sin4sin 3y。函数的最小值为解：4,4sin4sin2sin4siny用均值不等式求最值用均
10、值不等式求最值,必须注意必须注意“相等相等”的条的条件件.如果取等的条件不成立如果取等的条件不成立,则不能取到该最值则不能取到该最值.1.已知已知x0,y0,xy=24,求求4x+6y的最小值，的最小值，并说明此时并说明此时x,y的值的值4 已知已知x0,y0,且且x+2y=1,求求的最小值的最小值yxu112 已知已知a+b=4,求求y=2a+2b的最小值的最小值练习题：练习题：当当x=6,y=4时时,最小值为最小值为48最小值为最小值为82 22()f xxx3.已知已知x0，求函数，求函数 的最大值的最大值.32 2 85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使
11、用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。约翰B塔布 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。戴尔卡内基 87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。贾柯瑞斯 88.每个意念都是一场祈祷。詹姆士雷德非 89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。柏格森 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由
12、，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。托尔斯泰 91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。兰斯顿休斯 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。玛科斯奥雷利阿斯 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。约翰纳森爱德瓦兹 94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。约翰拉斯金 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。威廉班 96.人生真正的欢欣，就
13、是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。萧伯纳 97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。JE丁格 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。英国哲学家培根 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。马塞尔普劳斯特 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。罗丹 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我
14、觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。托尔斯泰 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候。叔本华 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。梭罗 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。威廉彭 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。戴尔卡内基 106.休息并非无所事事，
15、夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。约翰罗伯克 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。撒母耳厄尔曼 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。卡雷贝C科尔顿 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。戴尔卡内基 110.每天安静地坐十五分钟倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。艾瑞克佛洛姆 111.你知道何谓沮丧-就是你用一辈子工夫，在公司或任何
16、领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。坎伯 112.伟大这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。布鲁克斯 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。罗根皮沙尔史密斯 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。阿萨赫尔帕斯爵士 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。威廉海兹利特 116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。凯里昂 117.所有的财富都是建立在健康之
17、上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。BC福比斯 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。迈可汉默 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。奥古斯汀 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。史迈尔斯 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事
18、。CHK寇蒂斯 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。乔治桑 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。约翰夏尔 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。道格拉斯米尔多 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度。老子 126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。怀特曼 127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。G.K.Chesteron 128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。马克吐温 129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。约翰鲁斯金
