1、第四节第四节 空间曲面与空间曲线空间曲面与空间曲线一一 曲面方程的概念曲面方程的概念二二 曲线方程的概念曲线方程的概念三三 二次曲面的截痕法二次曲面的截痕法第1页，共38页。水桶的表面、台灯的罩子面等水桶的表面、台灯的罩子面等曲面方程的定义：曲面方程的定义：曲面的实例曲面的实例：1 1 曲面方程的定义曲面方程的定义S0),(zyxF如果曲面如果曲面与三元方程与三元方程有下述关系：有下述关系：S(1)(1)曲面曲面上任一点的坐标都满足方程；上任一点的坐标都满足方程；S上的点的坐标都不满足方程；上的点的坐标都不满足方程；（2）不在曲面）不在曲面0),(zyxFS那么，方程那么，方程就叫做曲面就叫做
2、曲面的的方程方程，S就叫做方程的就叫做方程的图形图形而曲面而曲面一一 曲面方程的概念曲面方程的概念第2页，共38页。解解,21|0 MMMO根据题意有根据题意有 ,21432222222 zyxzyx .911634132222 zyx所求方程为所求方程为O)4,3,2(0M2:1例例1 1 求与原点求与原点及及的距离之比为的距离之比为的点的全体所组成的曲面方程的点的全体所组成的曲面方程.设设),(zyxM是曲面上任一点，是曲面上任一点，第3页，共38页。根据题意有根据题意有|,|MBMA 222321 zyx ,412222 zyx化简得所求方程化简得所求方程.07262 zyx解解),3,
3、2,1(A),4,1,2(BAB例例2 2 已知已知求线段求线段面的方程面的方程.的垂直平分的垂直平分设设),(zyxM是所求曲面上任一点，是所求曲面上任一点，第4页，共38页。zxyo根据题意有根据题意有1 z图形上不封顶，下封底图形上不封顶，下封底解解c例例3 3 方程方程 的图形是怎样的？的图形是怎样的？1)2()1(22 yxz用平面用平面cz 去截图形得圆：去截图形得圆：当平面当平面cz 上下移动时，上下移动时，得到一系列圆得到一系列圆,的增大的增大),2,1(cc 1圆心在圆心在半径为半径为半径随半径随c而增大而增大.cyx 1)2()1(22)1(c第5页，共38页。以上几例表明
4、研究空间曲面有以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题两个基本问题：（2 2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状）已知坐标间的关系式，研究曲面形状（讨论旋转曲面）（讨论旋转曲面）（讨论柱面、二次曲面）（讨论柱面、二次曲面）（1 1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程第6页，共38页。(1)球面球面RMM|0根据题意有根据题意有 Rzzyyxx 202020 2222000 xxyyzzR 所求方程为所求方程为特殊地：球心在原点时方程为特殊地：球心在原点时方程为2222Rzyx 设球心在点设球心在点0000(,),Mxy z半径为半径为,R下面建立下面建立球面方程
5、球面方程.2 2 几种常见的曲面几种常见的曲面设设),(zyxM是球面上任一点，是球面上任一点，(球面方程的标准式球面方程的标准式)第7页，共38页。将方程（将方程（1 1）展开得）展开得2222220000002220 xyzx xy yz zxyzR 由此可见球面方程的特点由此可见球面方程的特点1)1)是是,x y z的二次方程的二次方程2 2）222,xyz的系数为的系数为1 1（或相等）（或相等）3 3）不含）不含,xy yz zx项项(球面方程的一般式球面方程的一般式)2220 xyzAxByCzD 球面方程又可表示为球面方程又可表示为第8页，共38页。定义定义(2)(2)柱面柱面C
6、并沿定曲线并沿定曲线所形成的曲面称为所形成的曲面称为柱面柱面.L移动的直线移动的直线柱面柱面C这条定曲线这条定曲线叫叫的的准线准线，平行于定直线平行于定直线llCLL叫叫母线母线.柱面的柱面的动直线动直线第9页，共38页。下面建立母线平行于下面建立母线平行于z轴，准线为轴，准线为xOy平面曲线平面曲线(,)0f x y 的柱面方程。的柱面方程。设设(,)M x y z为柱面上为柱面上任意一点，任意一点，过过M作平行作平行z轴的直线交轴的直线交xOy平面平面曲线曲线(,)0f x y 上的点上的点111(,0),Mxy因此因此11,xx yy 将将11,xx yy 代入得柱面方程代入得柱面方程(
7、,)0f x y 由于由于1M在在xOy平面曲线平面曲线(,)0f x y 上，上，xyzo),(zyxM)0,(yxM 第10页，共38页。从柱面方程看柱面的从柱面方程看柱面的特征特征：yx,z0),(yxF 只含只含而缺而缺的方程的方程z系中表示母线平行于系中表示母线平行于在空间直角坐标在空间直角坐标轴的柱面，轴的柱面，zy,x0),(zyFxyoz.C 只含只含而缺而缺的方程的方程系中表示母线平行于系中表示母线平行于面上面上在空间直角坐标在空间直角坐标曲线曲线轴的柱面，其准线为轴的柱面，其准线为xz,y0),(xzFyzox.C 只含只含而缺而缺的方程的方程系中表示母线平行于系中表示母线
8、平行于面上面上在空间直角坐标在空间直角坐标曲线曲线轴的柱面，其准线为轴的柱面，其准线为xoy.C面上面上曲线曲线其准线为其准线为第11页，共38页。柱面举例柱面举例xozyxy yzxoxyzo母线平行于母线平行于12222 byaxz轴的轴的椭圆柱面椭圆柱面轴的轴的平面平面xy 母线平行于母线平行于z轴的轴的抛物柱面抛物柱面22pyz 母线平行于母线平行于x第12页，共38页。zxyo轴的轴的双曲柱面双曲柱面母线平行于母线平行于y12222 bzax第13页，共38页。定义定义 一条平面曲线绕其一条平面曲线绕其所在平面上的一条定直线旋转所在平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面称为一周所成的曲
9、面称为旋转曲面旋转曲面.(3)旋转曲面旋转曲面线线这条定直线叫旋转曲面这条定直线叫旋转曲面的的轴轴这条定直这条定直旋转轴旋转轴第14页，共38页。xyz,1zz|122yyx 求由求由yOz平面曲线平面曲线(,)0f y z 绕绕z轴旋转一周所得轴旋转一周所得的旋转面方程。的旋转面方程。设旋转面上任意一点设旋转面上任意一点(,)M x y z则则),0(111zyM),(zyxMo 0),(zyfo是由是由yOz平平面的曲线面的曲线111(0,)My z绕绕z(,)0f y z 上上轴旋转而得的，轴旋转而得的，一点一点将上式代入将上式代入0),(11 zyf得方程得方程 ,0,22 zyxfy
10、oz0),(zyfz面上曲线面上曲线绕绕轴的轴的旋转曲面方程旋转曲面方程.第15页，共38页。.0,22 zxyf22(,)0fxzy 同理：同理：yoz0),(zyfy坐标面上的已知曲线坐标面上的已知曲线绕绕轴旋转一周的轴旋转一周的旋转曲面方程旋转曲面方程为为xoy(,)0f x y y坐标面上的已知曲线坐标面上的已知曲线绕绕一周一周的的旋转曲面方程旋转曲面方程为为轴旋转轴旋转第16页，共38页。xyzxyzo 例例4 4 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程曲面的方程122222 czxay122222 czayx旋转双曲面旋转
11、双曲面12222 czayyz1 1）双曲线）双曲线分别绕分别绕轴和轴和轴；轴；绕绕y轴旋转轴旋转绕绕z轴旋转轴旋转o第17页，共38页。xyzoyzx122222 czayx旋转椭球面旋转椭球面pyzx222 旋转抛物面旋转抛物面z2 2）绕绕轴；轴；12222 czay面上椭圆面上椭圆yozoy3 3）绕绕轴；轴；22xpy 面上抛物线面上抛物线xoy第18页，共38页。xyzo4 4）tanyz 面上直线面上直线yoz tan22yxz 2222tan)(yxz 圆锥面圆锥面)20(z绕绕轴；轴；第19页，共38页。(4)锥面锥面通过定点通过定点M动直线动直线L沿定曲线沿定曲线C移动所形
12、成的移动所形成的曲面称为曲面称为锥面锥面，定点定点M称称为锥面的为锥面的顶点顶点，定曲线定曲线称为锥面的称为锥面的准线准线。CLC ML称为锥面的称为锥面的母线母线，动直线动直线第20页，共38页。xyzo ),(zyxM),(cyxM 例例5 建立以椭圆建立以椭圆0,12222 czbyax为准线，为准线，坐标原点为顶点的锥面方程。坐标原点为顶点的锥面方程。解解 设点设点),(zyxM 锥面锥面 上任意一点，上任意一点，过点过点M 的母线的母线交椭圆于点交椭圆于点),(cyxM 由由/OMOM czyyxx zcyyzcxx ,锥面方程为锥面方程为222222czbyax 椭圆锥面椭圆锥面第
13、21页，共38页。0),(0),(zyxGzyxF空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程 曲线上点的坐标都满曲线上点的坐标都满足方程，满足方程的点都在曲线足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上点的坐标不能同上，不在曲线上点的坐标不能同时满足两个方程时满足两个方程.xozy1S2S空间曲线空间曲线C C可看作空间两曲面的交线可看作空间两曲面的交线.特点：特点：1 1 空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程C 二二 曲线方程的概念曲线方程的概念第22页，共38页。例例1 1 方程组方程组 6332122zyxyx解解122 yx表示圆柱面，表示圆柱面，6332 zyx表示平面，表示平面，63321
14、22zyxyx交线为椭圆交线为椭圆.表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？第23页，共38页。)()()(tzztyytxx空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程2 2 空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程1tt ),(111zyx当给定当给定时，就得到曲线上的一个点时，就得到曲线上的一个点随着参数的变化可得到曲线上的全部点随着参数的变化可得到曲线上的全部点.)(t第24页，共38页。A MM tax cos tay sin vtz t 螺旋线的参数方程螺旋线的参数方程取时间取时间t t为参数，为参数，解解xyzoM222ayx zvzv、M例例2 2 如果空间一点如果空间一点在圆柱面在圆柱面出发，以
15、角速度出发，以角速度绕绕轴旋转，轴旋转，沿平行沿平行轴的正方向上升（其中轴的正方向上升（其中都是常数），都是常数），构成的图形叫做构成的图形叫做螺旋线螺旋线试建立其参数方程试建立其参数方程同时又以线速度同时又以线速度于于那么点那么点Mxoy)0,(yxM 在在面的投影面的投影动点从动点从A点出发，点出发，经过经过t t时间，运动到时间，运动到M点点,上从点上从点)0,0,(aA第25页，共38页。螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的参数方程还可以写为 bzayaxsincos),(vbt 例例3 将曲线方程将曲线方程 zyzyx4222化为参数式方程。化为参数式方程。解解将将yz 代入代入422
16、2 zyx得得4222 yx参数式方程为参数式方程为txcos2 tysin2 tzsin2 第26页，共38页。0),(0),(zyxGzyxF以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.投影柱面的投影柱面的特征特征：3 空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影消去变量消去变量0),(yxHz后得：后得：设空间曲线设空间曲线L的一般方程：的一般方程：称此曲面为曲线称此曲面为曲线xoy的的投影柱面投影柱面关于关于L称曲线称曲线 00),(zyxH为曲线为曲线L在在的的投影曲线投影曲线。xoy第27页，共38页。类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的
17、投影类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影 00),(yzxR面上的面上的投影曲线投影曲线,zox 0),(0),(zyxGzyxF消去消去y得曲线得曲线zox的的投影柱面投影柱面：关于关于L,0),(zxR 00),(xzyH面上的面上的投影曲线投影曲线,yoz 0),(0),(zyxGzyxF消去消去x得曲线得曲线yoz的的投影柱面投影柱面：关于关于L,0),(zyH第28页，共38页。例例4 4 求曲线求曲线 231)1(222zzyx解解,4322 yx在坐标面上的投影在坐标面上的投影.（1 1）消去变量）消去变量z后得关于后得关于xoy的投影柱面的投影柱面,04322 zyx在在
18、xoy面上的投影为面上的投影为yzo第29页，共38页。（2 2）因为曲线在平面）因为曲线在平面)23|(|23 xz上，上，所以关于所以关于xoz面上的投影柱面为面上的投影柱面为)23|(|21 xz;23|,023 xyzxoz面上的投影为线段面上的投影为线段.在在（3 3）同理关于）同理关于yoz面上的投影柱面面上的投影柱面)23|(|23 yz.23|,023 yxzyoz面上的投影为面上的投影为在在第30页，共38页。截线方程为截线方程为 0222zyxxzy解解xzy 2202 zyx例例5 5 求抛物面求抛物面与平面与平面 的截线在三个坐标面上的投影曲线方程的截线在三个坐标面上的
19、投影曲线方程.,004522 zxxyyx（1 1）消去）消去z得投影得投影,0042522 yxxzzx（2 2）消去）消去y得投影得投影.00222 xzyzy（3 3）消去）消去x得投影得投影第31页，共38页。例例6 6.,)(34,2222面面上上的的投投影影求求它它在在锥锥面面所所围围成成和和由由上上半半球球面面设设一一个个立立体体xoyyxzyxz 解解半球面和锥面的交线为半球面和锥面的交线为 ,)(3,4:2222yxzyxzC,122 yxz 得投影柱面得投影柱面消去消去面上的投影为面上的投影为在在则交线则交线xoyC .0,122zyx面面上上的的投投影影为为所所求求立立体
20、体在在 xoy.122 yx一个圆一个圆,xyzo第32页，共38页。三三 二次曲面的截痕法二次曲面的截痕法二次曲面的定义：二次曲面的定义：三元二次方程所表示的曲面称之三元二次方程所表示的曲面称之二次曲面二次曲面 相应地三元一次方程所表示的曲面（平面）被称为相应地三元一次方程所表示的曲面（平面）被称为一次曲一次曲面面讨论二次曲面性状的讨论二次曲面性状的截痕法截痕法：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌全貌以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲
21、面以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面第33页，共38页。1 1 椭球面椭球面1222222 czbyaxxyzo o椭球面与平面椭球面与平面1zz 的交线为椭圆的交线为椭圆 12122222122221)()(zzzccbyzccaxcz|1椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.同理与平面同理与平面 和和 的交线也是椭圆的交线也是椭圆.1xx 1yy 第34页，共38页。椭球面的几种特殊情况：椭球面的几种特殊情况：,)1(ba 1222222 czayax旋转椭球面旋转椭球面12222 czax由椭圆由椭圆 绕绕 轴旋转而成轴旋转而成z旋转椭球面与椭球面的旋
22、转椭球面与椭球面的区别区别：与平面与平面 的交线为圆的交线为圆.1zz )|(1cz .)(12122222 zzzccayx截面上圆的方程截面上圆的方程,)2(cba 1222222 azayax球面球面第35页，共38页。2 抛物面抛物面zqypx 2222（与与 同号）同号）pq椭圆抛物面椭圆抛物面用截痕法讨论：用截痕法讨论：设设0,0 qpyxzo（1 1）用）用 1xx 与曲面相截可得与曲面相截可得抛物线抛物线顶点顶点 pxx2,0,211(3)(3)与平面与平面1zz )0(1 z的交线的交线 为椭圆为椭圆（2 2）用）用 1yy 与曲面相截可得与曲面相截可得抛物线抛物线顶点顶点 qyy2,0,211第36页，共38页。xzy0zqypx 2222（与与 同号）同号）pq双曲抛物面（马鞍面）双曲抛物面（马鞍面）用截痕法讨论：用截痕法讨论：设设0,0 qp图形如下：图形如下：第37页，共38页。3 3 双曲面双曲面单叶双曲面单叶双曲面1222222 czbyaxxyzoo双叶双曲面双叶双曲面1222222 czbyaxyxzo第38页，共38页。
