1、第三节第三节 向量组的线性相关性向量组的线性相关性本节要点：本节要点：l 掌握掌握n维向量组的线性组合维向量组的线性组合l 掌握掌握向量组线性相关、线性无关的定义向量组线性相关、线性无关的定义 及判别定理及判别定理一、向量组的线性组合（线性表示）一、向量组的线性组合（线性表示）P901、概念、概念21,若若12 k 称称 可由可由 线性表示线性表示2 1 引例：引例：对同维数向量对同维数向量定义定义:由同维数的向量所构成的集合由同维数的向量所构成的集合 称为称为向量组向量组再如再如 2114,0132,1121321 013211212221 即即2132 称称 可由可由 线性表示线性表示3
2、21,0132224232114 定义定义1 对于给定的向量组对于给定的向量组 P90 若存在一组数若存在一组数 ，使得，使得 则称向量则称向量 可由向量组可由向量组 线性表示。线性表示。或向量或向量 是向量组是向量组 的线性组合。的线性组合。n ,21nkkk,21nnkkk 2211 n ,21 n ,21【例【例1】零向量是任意向量组的线性组合】零向量是任意向量组的线性组合 因为：对任意向量组因为：对任意向量组 都有都有m ,21m 000021即取即取k1=k2=km=0,则有则有mmkkk 22110成立成立故零向量是任意向量组故零向量是任意向量组 的线性组合的线性组合m ,21P9
3、1【例【例2】证明任一个证明任一个n维向量维向量 都可由都可由n维向量组维向量组 线性表示。线性表示。naaa21 100,010,00121n 要证：存在一组数要证：存在一组数k1,k2,kn,使使nnkkk 2211证明：证明：nnaaaaaa0000002121 10001000121naaannaaa 2211所以，取所以，取k1=a1,k2=a2,kn=an,则有则有 nnkkk 2211成立成立即向量即向量 可由向量组可由向量组 线性表示线性表示n ,21n ,21n维单位向量组维单位向量组P91【例【例3】线性方程组】线性方程组 有解的充有解的充要条件是要条件是 可由可由 线性表
4、示线性表示 nnxxx2211n ,21 mmnnnnmmbbbaaaaaaaaa2121222122121111,取取 nnxxx2211则线性方程组（则线性方程组（*）与向量方程）与向量方程是一一对应的是一一对应的 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111对对（*）分析：分析：证明：证明：,21nkkk存在一组数存在一组数 可由可由 线性表示线性表示 n ,21线性方程组线性方程组 有解有解 nnxxx2211使方程组使方程组 nnxxx2211成立成立 nnkkk2211成立成立即即若该方程组若该方程组有解有解，可得一个线性方
5、程组。可得一个线性方程组。则则 可由向量组可由向量组 线性表示线性表示bnaaa,21若该方程若该方程组组无解无解，则则 不能由向量组不能由向量组 线性表示线性表示bnaaa,21若已知若已知,bnaaa,21的分量，的分量，把分量代入把分量代入baxaxaxnn 22112、已知分量的向量组的线性组合判别法：、已知分量的向量组的线性组合判别法：向量向量 可由向量组可由向量组 线性表示线性表示bnaaa,21baxaxaxnn 2211向量方程向量方程有解有解定理定理1 向量向量b能由向量组能由向量组A线性表示的线性表示的充分必要条件是充分必要条件是矩阵矩阵 的秩等于矩阵的秩等于矩阵12,nA
6、a aa12,nBa aa b的秩的秩P91问问 能否由能否由 线性表示。线性表示。【例【例5】设】设 213,132,321,240321 321,解：解：设设332211 kkk 223432032321321321kkkkkkkkk即即 213132321240321kkk 321321321233232kkkkkkkkk由由 221341320321B 110010101001行变换行变换解得解得k1=1 k2=1 k3=-1321 即有即有所以所以 能由能由 线性表示线性表示 321,问问 取何值时，取何值时，(1)可由可由 线性表示，且表达式唯一线性表示，且表达式唯一(2)可由可由
7、 线性表示，但表达式不唯一线性表示，但表达式不唯一(3)不能由不能由 线性表示线性表示,0,111,111,1112321 321,321,321,解：设解：设332211 kkk 【例【例5】设有三维向量】设有三维向量P116:4即即 11111111103212kkk 321321321)1()1()1(kkkkkkkkk 2321321321)1()1(0)1(kkkkkkkkk且且 111111111A)3(2 （1）当）当 且且 时，时，30 0 A，方程组有唯一解方程组有唯一解即唯一存在一组数即唯一存在一组数 ，使，使321,kkk332211 kkk 成立成立此时此时 可由可由
8、线性表示，且表达式唯一线性表示，且表达式唯一 321,（2）当）当 时，原方程组为：时，原方程组为：0 000321321321kkkkkkkkk0321 kkk即存在无穷多组即存在无穷多组 ，使，使321,kkk332211 kkk 成立成立此时此时 可由可由 线性表示，但表达式不唯一线性表示，但表达式不唯一321,原方程组有无穷多解。原方程组有无穷多解。原方程组无解。原方程组无解。（3）当）当 时，原方程组为：时，原方程组为：3 923202321321321kkkkkkkkk 921131210112B且且行变换行变换 9211123306000即不存在一组数即不存在一组数 ，使，使32
9、1,kkk332211 kkk 成立成立此时此时 不可由不可由 线性表示线性表示 321,即仅当即仅当 时，时，(1)式成立式成立10nxx将齐次线性方程组将齐次线性方程组AmnX=O 写成向量形式写成向量形式 二、线性相关、线性无关二、线性相关、线性无关 P92 是系数矩阵是系数矩阵A 的的n个个m 维列向量维列向量 12,na aa若方程组只有零解，若方程组只有零解，若方程组有非零解，若方程组有非零解，即存在一组不全为零的数即存在一组不全为零的数12,nk kk1 1220.nnk ak ak a使使(1)O2211 nnaxaxax1、概念、概念 定义定义2 对于向量组对于向量组 ，若存
10、在一组，若存在一组 不全为零的数不全为零的数 ，使得，使得m ,21mkkk,2102211 mmkkk （2）则称向量组则称向量组 线性相关。线性相关。m ,21P92021 mkkkm ,21若（若（2）当且仅当）当且仅当 时成立时成立,则称向量则称向量组组 线性无关线性无关例例如如：对对向向量量组组002321 0,1,2321 kkk取取不不全全为为零零，则则存存在在321,kkk成成立立使使0332211 kkk线线性性相相关关，所所以以321 211642321321 ，再再如如，对对向向量量组组不不全全为为零零时时，当当21kk2211 kk 100121kk 212100kkk
11、k0时时成成立立仅仅当当即即方方程程00212211 kkkk 线线性性无无关关，因因此此21 100121 ，线性无关线性无关向量组向量组m ,21线线性性相相关关向向量量组组m ,21，存存在在一一组组不不全全为为零零的的数数mkkk,21成成立立使使方方程程02211 mmxxx 有有非非零零解解方方程程02211 mmxxx 时时成成立立仅仅当当021 mxxx02211 mmxxx 方方程程仅仅有有零零解解方方程程02211 mmxxx 【例【例7】证明：】证明：n维单位向量组维单位向量组 线性无关线性无关 n ,21证明：证明：设有一组数设有一组数 ，使得，使得nkkk,21022
12、11 nnkkk 成立成立因为因为nnkkk 2211 10001000121nkkk 00021nkkk021 nkkk仅有零解仅有零解即方程即方程02211 nnxxx 要证：方程要证：方程02211 nnxxx 仅有零解仅有零解即即n维单位向量组维单位向量组 线性无关线性无关 n ,21P92【例【例8】证明：由一个向量证明：由一个向量 构成的向量组构成的向量组线性相线性相 关关的充要条件是的充要条件是 0 证明：证明：向量组向量组 线性相关线性相关 存在一组不全为零的数存在一组不全为零的数k，即，即k0，使，使0 k成立成立即即 成立成立 0002121nnkakakaaaakk 00
13、021nkakaka 00021naaa故向量故向量 构成的向量组线性相关的充要条件是构成的向量组线性相关的充要条件是 0 ：由一个向量：由一个向量 构成的向量组构成的向量组线性无关线性无关的充的充 要条件是要条件是0 P93【例【例9】证明：由两个向量】证明：由两个向量 构成的向量组构成的向量组 线性相关线性相关的充要条件是的充要条件是 成比例成比例。（即（即 或或 ）2,1 21,21 k 12 k P93例：例：向量组向量组 4602,230121 线性相关线性相关向量组向量组 4602,230121 线性无关线性无关2、已知向量组、已知向量组 的分量，判断的分量，判断 的线性关系的线性
14、关系m ,21m ,21线性无关线性无关向量组向量组m ,21线线性性相相关关向向量量组组m ,21有有非非零零解解方方程程02211 mmxxx 仅仅有有零零解解方方程程02211 mmxxx 重重要要题型题型判断判断m ,21线性关系的步骤：线性关系的步骤：a)设存在一组数设存在一组数k1，k2，,km，使使02211 mmkkk 成立成立c)解该方程组解该方程组,若方程组有若方程组有非零解非零解，则，则线性相关线性相关;若方程组若方程组仅有零解仅有零解，则，则线性无关线性无关。b)代入代入 各分量，得一齐次各分量，得一齐次 线性方程组线性方程组m ,21【例【例10】判断向量组】判断向量
15、组 的线性关系的线性关系 10532,4211,2101321 解：设存在一组数解：设存在一组数k1，k2，k3，使使0332211 kkk即即 00001053242112101321kkk 01042052030232132132321kkkkkkkkkkk由由 1042521310211A 000000310211有非零解有非零解即存在不全为零的数即存在不全为零的数k1，k2，k3，使，使0322211 kkk成立成立故向量组故向量组 线性相关。线性相关。32,1,定理定理2 向量组向量组 线性相关的充线性相关的充P93 要条件是要条件是 中至少有一个向量中至少有一个向量 可由其余可由其
16、余m-1个向量线性表示。个向量线性表示。)2(,21 mm m ,21证明：证明：设向量组设向量组 线性相关线性相关m ,21则有一组不全为零的数则有一组不全为零的数 ，使得，使得mkkk,2102211 mmkkk 成立成立不妨设不妨设k10,则有则有mmkkkkkk 13132121 即向量即向量 可由其余向量可由其余向量 线性表示。线性表示。1 m ,2故故 中至少有一个向量可由其余向量线性表示中至少有一个向量可由其余向量线性表示m ,213、重要定理、重要定理 设向量组设向量组 中至少有一个向量可中至少有一个向量可 由其余向量线性表示由其余向量线性表示m ,21不妨设向量不妨设向量 可
17、由其余向量可由其余向量 线性表示线性表示1 m ,2mmkkk 33221则有则有0133221 mmkkk 即即成立成立取取k1=-1,则则k1，k2，km不全为零，使不全为零，使0332211 mmkkkk 成立成立故向量组故向量组 线性相关线性相关m ,21【例【例12】设设 是任一个是任一个n维向量，证明维向量，证明 向量组向量组 线性相关线性相关 naaa21 n ,21证明：证明：nnaaa 2211即即 可由可由 线性表示线性表示 n ,21 由定理由定理2知，向量组知，向量组 线性相关线性相关n ,21 向量组向量组 线性无关的充要线性无关的充要 条件是条件是 中任一个向量都不
18、能中任一个向量都不能 由其余向量线性表示。由其余向量线性表示。)2(,21 mm m ,21推论推论2.1推论推论2.2 含有零向量的向量组必然线性相关。含有零向量的向量组必然线性相关。矩阵矩阵A的秩小于向量个数的秩小于向量个数m定理定理3 设向量组设向量组A：构成矩阵构成矩阵12,ma aa12,mAa aa则向量组则向量组 A线性相关的充要条件是线性相关的充要条件是 R Am即即.R Am向量组线性无关的充要条件是向量组线性无关的充要条件是 P94).,(21mA 其中其中即即AX0有非零解。有非零解。证明证明A02211mmxxx 线性相关就是齐次线性方程组线性相关就是齐次线性方程组向量
19、组向量组有非零解。有非零解。是是否否线线性性相相关关。判判断断向向量量组组TTT)11,1,3,4(,)1,1,1,2(,)5,1,2,1(321 )1(0 332211 xxx 1115111312421A 990330550421 000000110421，向向量量组组线线性性相相关关。32)(mAR【例【例13】1115011312421A 990430550421 000100110421是是否否线线性性相相关关。判判断断向向量量组组TTT)11,0,3,4(,)1,1,1,2(,)5,1,2,1(321 ，向向量量组组线线性性无无关关。mAR 3)(【例【例14】)1(0 33221
20、1 xxxn ,21线性相关线性相关方程方程02211 nnkkk 有非零解有非零解 000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa有非零解有非零解0212222111211 nnnnnnaaaaaaaaa nnnnnnnaaaaaaaaa21222122121111,线性相关的充要条件是线性相关的充要条件是0212222111211 nnnnnnaaaaaaaaa推论推论31 n个个n维向量维向量P94推论推论3.2 n个个n维向量维向量 nnnnnnnaaaaaaaaa21222122121111,线性无关的充要条件是线性无关的充要条件是0
21、212222111211 nnnnnnaaaaaaaaaP94证明：证明：0110001000121 n 所以所以 线性无关线性无关 n ,21n ,21例如：证明：例如：证明：n维单位向量组维单位向量组 前例前例8 8 线性无关线性无关【例【例15】设向量组设向量组 1234,123,12,11124321 aaa4321,1 a已知已知 线性相关，且线性相关，且 求求a解：解：4321 计算计算1211132114322aaa)12)(1(aa21 a05：数：数3问问k k取何值时：取何值时：（1 1）线性相关线性相关 （2 2）线性无关线性无关 kkk111,111,111321 32
22、1,321,【例【例16】设向量组设向量组三个三三个三维向量维向量解：解：321 计算计算kkk 111111111)3(2 kk则则当当k=0k=0或或k=-3k=-3时：时：0 A线线性性相相关关此此时时321,当当k0k0且且k-3k-3时：时：0 A线线性性无无关关此此时时321,),()(21mnRARm 故由定理故由定理3，必线性相关。，必线性相关。例：例：240,213,112,3214321 m4，n3，线性相关。线性相关。推论推论3.3 m个个n 维列向量组成的向量组，维列向量组成的向量组，当当 时一定线性相关时一定线性相关 nmP94 定理定理4(1)若向量组若向量组 线性
23、无关，而向线性无关，而向量组量组 线性相关，则线性相关，则 可由可由 线性表示，且表示法唯一。线性表示，且表示法唯一。m ,21m ,21m ,21 P95证明：证明：，记记mm,B ,A2121 所以所以 R(A)=m因为向量组因为向量组A线性无关线性无关,显然显然R(A)R(B)所以所以 R(B)m+1因为向量组因为向量组B线性相关线性相关,从而从而 m R(B)m+1,即即 R(B)=m由由 R(A)=R(B)=m知知AX=有唯一解有唯一解即即 可由可由向量组向量组A线性表示且表示法唯一线性表示且表示法唯一例如：例如：任一向量任一向量 可由向量组可由向量组 线性表示，且表示法唯一线性表示
24、，且表示法唯一 n ,21证明：设向量组证明：设向量组 中有中有r 个向量个向量 线性相关线性相关,m ,21)(mr 02211 rrkkk 成立成立因此存在一组不全为零的数因此存在一组不全为零的数0,0,21rkkkr ,21 不妨设不妨设 线性相关，线性相关，则存在不全为零的数则存在不全为零的数 ，使得，使得rkkk,21定理定理4(2)若向量组中有一部分向量（部分组）若向量组中有一部分向量（部分组）线性相关，则整个向量组也线性相关。线性相关，则整个向量组也线性相关。P95使使00012211 mrrrkkk 成立成立即即m ,21线性相关线性相关推论推论 若向量组线性无关，则其任意一个
25、部若向量组线性无关，则其任意一个部 P95 分组线性无关。分组线性无关。部分相关则全体相关，全体无关则任一部分无关部分相关则全体相关，全体无关则任一部分无关例如：任一含零向量的向量组必线性相关例如：任一含零向量的向量组必线性相关再如：向量组再如：向量组 的任一部分组线性无关的任一部分组线性无关n ,21定理定理4(3)若若n维向量组维向量组 mrmmmrraaaaaaaaa21222212112111,mnmrmrmmmnrrnrraaaaaaaaaaaaaaa121212222212111112111,线性相关，则在每个向量上去掉相同的线性相关，则在每个向量上去掉相同的n-r个个分量所得到分
26、量所得到r维向量组维向量组也线性相关也线性相关P95证明：证明：记记 Anm=(1,2,m)Brm=(1,2,m)由已知由已知 R(B)R(A)所以所以 R(A)m又向量组又向量组A线性相关线性相关,从而从而 R(B)m,向量组向量组 1,2,m线性相关线性相关例如：对向量组例如：对向量组 402,20121 02 ,01 21 故故由于由于 1,2线性相关，线性相关，线性相关线性相关 推论推论 若若r维向量组维向量组 P95 线性无关，则在每个向量上再添加线性无关，则在每个向量上再添加n-r 个分量所得到的个分量所得到的 n维向量组维向量组 也线性无关。也线性无关。mrmmmrraaaaaa
27、aaa21222212112111,mnmrmrmmmnrrnrraaaaaaaaaaaaaaa121212222212111112111,例如：对向量组例如：对向量组 ,3110,420121 10,0121由于二维单位向量组由于二维单位向量组 线性无关，线性无关，21,所以所以 线性无关线性无关长相关则短相关，短无关则长无关。长相关则短相关，短无关则长无关。【例【例17】向量组向量组 线性相关，求线性相关，求t。2540,002,1121221 t解：解：由定理由定理4（3）知，同时删去第）知，同时删去第4行得到行得到的向量组仍然的向量组仍然线性相关线性相关（保留参数行），（保留参数行），
28、故故321 51402021t 04208 t0 3 t97：数：数2【例【例18】判别下列向量组的线性相关性】判别下列向量组的线性相关性121,0,0,1,0,1,0,3,TT30,0,1,4T（1）P96 1,2,3 线性无关线性无关 11,0,0Te 20,1,0Te 30,0,1Te 因为因为线性无关，由线性无关，由定理定理4(3)知知解解121,2,3,5,4,1,0,2,TT35,10,15,25T（2）因为因为 3=5=5 1,故故 1,3 线性相关，线性相关，从而由从而由定理定理4(2)可知可知 1,2,3线性相关线性相关.121,0,0,0,1,0,TT340,0,1,1,1
29、,2.TT（3）由由推论推论2知知4 4个个3 3维向量一定线性相关，故维向量一定线性相关，故 1,2,3,4线性相关线性相关【例【例19】设向量组】设向量组 线性相关，向量线性相关，向量 组组 线性无关，证明线性无关，证明 321,aaa432,aaa.,)2(,)1(3214321线线性性表表示示不不能能由由线线性性表表示示；能能由由aaaaaaa证证 (1)因为因为 线性无关，由定理线性无关，由定理4（2）知知 必线性无关。必线性无关。432,aaa32,aa32,aa1a由定理由定理4（1）知：）知：能由能由 线性表示，且线性表示，且表示式唯一表示式唯一.321,aaa由已知由已知 线
30、性相关，线性相关，,43232432线性相关，与已知矛盾。线性相关，与已知矛盾。即即线性表示，线性表示，可由可由线性表示，所以，线性表示，所以，aaaaaaaa),1(,13214能由能由线性表示，由线性表示，由能由能由假设假设aaaaa(2)反证反证【例【例20】设】设A是是n阶矩阵，阶矩阵，k为正整数，为正整数，是是 AkX=0的一个解，使的一个解，使Ak-1 0。证明。证明 线性无关。线性无关。1,kAA证明：证明：（用定义证）（用定义证）要证要证).,2,1(0kici 用用Ak-1左乘（左乘（1）式，）式，注意到当注意到当mk时，时，)0(0 kmAA.011 kAc因此因此而而,0
31、1 kA01 c0121 kkAcAcc设设（1）98：数：数101232 kkAcAcAc所以（所以（1）变为）变为用用Ak-2左乘上式，得左乘上式，得c20021 kccc如此类推下去，得如此类推下去，得 1,kAA所以所以 线性无关。线性无关。本节主要定理：本节主要定理：矩阵矩阵 的秩等于矩阵的秩等于矩阵定理定理1 向量向量b能由向量组能由向量组A线性表示的线性表示的充分必要条件是充分必要条件是12,nAa aa12,nBa aa b的秩的秩定理定理2 向量组向量组 线性相关的充线性相关的充 要条件是要条件是 中至少有一个向中至少有一个向量量 可由其余向量线性表示。可由其余向量线性表示。
32、)2(,21 mm m ,21 向量组向量组 线性无关的充要线性无关的充要 条件是条件是 中任一个向量都不能中任一个向量都不能 由其余向量线性表示。由其余向量线性表示。)2(,21 mm m ,21推论推论矩阵矩阵A的秩小于向量个数的秩小于向量个数m定理定理3 设向量组设向量组A：构成矩阵构成矩阵12,ma aa12,mAa aa则向量组则向量组 A线性相关的充要条件是线性相关的充要条件是 R Am即即.R Am向量组线性无关的充要条件是向量组线性无关的充要条件是 P94推论推论31 n个个n维向量维向量 nnnnnnnaaaaaaaaa21222122121111,线性相关的充要条件是线性相
33、关的充要条件是0212222111211 nnnnnnaaaaaaaaa推论推论3.2 n个个n维向量维向量 线性无关线性无关n ,21的充要条件是的充要条件是021 n 推论推论3.3 n阶方阵阶方阵 nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211向量线性无关的充要条件是向量线性无关的充要条件是0 A的的n 个行（列）个行（列）推论推论3.4 m个个n 维列向量组成的向量组，维列向量组成的向量组，当当 时一定线性相关时一定线性相关 nm定理定理4(1)若向量组若向量组 线性无关，而向线性无关，而向量组量组 线性相关，则线性相关，则 可由可由 线性表示，且表示法唯一。线性表示，且表示
34、法唯一。m ,21m ,21m ,21 定理定理4(2)若向量组中有一部分向量（部分组）若向量组中有一部分向量（部分组）线性相关，则整个向量组也线性相关。线性相关，则整个向量组也线性相关。推论推论 若向量组线性无关，则其任意一个部若向量组线性无关，则其任意一个部 分组线性无关。分组线性无关。部分相关则全体相关，全体无关则任一部分无关部分相关则全体相关，全体无关则任一部分无关推论推论 若若r维向量组维向量组 线性无关，线性无关，则在每个向量上再添加则在每个向量上再添加n-r个分量所得个分量所得 到的到的n维向量组维向量组 也线性无关。也线性无关。m ,21m ,21定理定理4(3)m ,21 若
35、若n维向量组维向量组 线性相关，则线性相关，则在每个向量上都去掉相同的在每个向量上都去掉相同的n-r个分量所个分量所得到的得到的r维向量组维向量组 也线性相关。也线性相关。m ,21长相关则短相关，短无关则长无关。长相关则短相关，短无关则长无关。1、n维单位向量组维单位向量组 线性无关线性无关 n ,21简单结论：简单结论：n ,21中任意几个向量构成的中任意几个向量构成的向量组线性无关向量组线性无关3、由两个向量、由两个向量 构成的向量组线性相关的构成的向量组线性相关的 充要条件是充要条件是 成比例，线性无关的充要成比例，线性无关的充要 条件是条件是 不成比例。不成比例。2,1 21,2,1
36、 0 0 2、由一个向量、由一个向量 构成的向量组线性相关的充要构成的向量组线性相关的充要 条件是条件是 ，线性无关的充要条件是，线性无关的充要条件是4、已知、已知n维向量组维向量组 的分量，判断的分量，判断 的线性关系的方法：的线性关系的方法：m ,21m ,21a)设存在一组数设存在一组数k1，k2，,km，使使02211 mmkkk 成立成立b)代入各分量，得一齐次线性方程组代入各分量，得一齐次线性方程组c)解该方程组，若方程组有非零解解该方程组，若方程组有非零解,则则 线性相关，若方程组仅有零解，则线性无关线性相关，若方程组仅有零解，则线性无关1）若）若m=n，作，作n 21=0n ,21相关相关0n ,21无关无关2）若）若mn,步骤如下：步骤如下：【例】判断题【例】判断题（2）若）若 则则 向量组向量组 线性无关。线性无关。021 m m ,21例如例如02211 但但 线性相关线性相关21,（1）若向量组）若向量组 线性无关，则线性无关，则m ,21021 m
