1、第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 在平面解析几何中我们通过引进坐标系把平面上的在平面解析几何中我们通过引进坐标系把平面上的点和一对有序数对对应起来，把平面上的曲线图形和点和一对有序数对对应起来，把平面上的曲线图形和方程对应起来，从而可以用代数方法来研究几何问方程对应起来，从而可以用代数方法来研究几何问题空间解析几何也是按照同样的方法建立起来的。题空间解析几何也是按照同样的方法建立起来的。本章首先建立空间直角坐标系，引进向量的概念及向本章首先建立空间直角坐标系，引进向量的概念及向量的运算，然后介绍空间的曲面和曲线，并以向量为量的运算，然后介绍空间的曲面和曲线，并以向量为
2、工具来讨论空间的平面和直线，最后介绍二次曲面工具来讨论空间的平面和直线，最后介绍二次曲面第一节第一节 空间直角坐标系空间直角坐标系引引 我们学过平面直角坐标系，平面上的点都对应我们学过平面直角坐标系，平面上的点都对应平面直角坐标系上的一个二维坐标平面直角坐标系上的一个二维坐标.那么，在空间那么，在空间中，如何建立坐标系，以表示空间点呢？中，如何建立坐标系，以表示空间点呢？为了沟通空间图形与方程的关系，需要建立空间为了沟通空间图形与方程的关系，需要建立空间点与有序数组之间的联系为此，我们引进空间直角点与有序数组之间的联系为此，我们引进空间直角坐标系坐标系 一、空间直角坐标系及点的坐标一、空间直角
3、坐标系及点的坐标 在空间中取定一点在空间中取定一点 O 作为原点作为原点,通过该点做三通过该点做三条相互垂直的数轴条相互垂直的数轴,分别称为分别称为 x 轴、轴、y 轴和轴和 z 轴轴,统统称为坐标轴称为坐标轴.通常将通常将 x 轴和轴和 y 轴置于水平面上轴置于水平面上,z 轴取铅直方向轴取铅直方向,见图见图.三个坐标轴的次序和方向一般按右手法则三个坐标轴的次序和方向一般按右手法则来排列来排列:用右手握住用右手握住 z 轴轴,四个四个手指从手指从 x 轴的正向旋转轴的正向旋转 90 到轴的正向时到轴的正向时,拇指拇指的指向就是的指向就是 z 轴的正向轴的正向.按右手法则确定的的坐按右手法则确
4、定的的坐标系称为右手系标系称为右手系.纵纵横横竖竖xzy 由任意两条坐标轴所确定的平面称为坐标面由任意两条坐标轴所确定的平面称为坐标面.三三个坐标轴确定了三个坐标面个坐标轴确定了三个坐标面.x 轴和轴和 y 轴所在的平面轴所在的平面称为称为 xOy 坐标面坐标面,另外两个坐标面分别是另外两个坐标面分别是 yOz 坐标坐标面和面和 zOx 坐标面坐标面.三个坐标面将整个空间分为三个坐标面将整个空间分为 8 个部分个部分,每一部分每一部分称为一个卦限称为一个卦限.含有含有 x 轴、轴、y 轴和轴和 z 轴的正半轴的那轴的正半轴的那个卦限称为第一卦限个卦限称为第一卦限,第二、第三、第四卦限都在第二、
5、第三、第四卦限都在 xOy 面的上方面的上方,按逆时针方向确定按逆时针方向确定;第五卦限在第第五卦限在第一卦限在下方一卦限在下方,第六、第七、第八卦限都在第六、第七、第八卦限都在 xOy 面的面的下方下方,按逆时针方向确定按逆时针方向确定.这这 8 个卦限分别用罗马数字个卦限分别用罗马数字、来表示来表示,见图见图.上面建立的的坐标系中上面建立的的坐标系中,坐标轴、坐标面都坐标轴、坐标面都是两两垂直的是两两垂直的,故称为空间直角坐标系故称为空间直角坐标系.xoy面面yoz面面zox面面xyoz 有了空间直角坐标系有了空间直角坐标系,就可以建立空间中的点和就可以建立空间中的点和有序数组之间的对应关
6、系有序数组之间的对应关系.设设 M 为空间中的一点为空间中的一点,过该点做三个分别垂直过该点做三个分别垂直于于 x 轴、轴、y 轴和轴和 z 轴的平面轴的平面,它们与它们与 x 轴、轴、y 轴和轴和 z 轴分别交于轴分别交于 P 点、点、Q 点和点和 R 点点.这三个点在这三个点在 x 轴、轴、y 轴和轴和 z 轴上的坐标分别是轴上的坐标分别是 x、y 和和 z.从而从而,空间空间中的点中的点 M 就唯一确定了一个有序数组就唯一确定了一个有序数组(x,y,z);反之反之,给定一个有序数组给定一个有序数组(x,y,z),则可分别在则可分别在 x 轴、轴、y 轴和轴和 z 轴上取坐标为轴上取坐标为
7、 x,y,z 的三个点的三个点 P,Q,R,过这三个点各做一个分别与过这三个点各做一个分别与 x 轴、轴、y 轴和轴和 z 轴垂直的平面轴垂直的平面,这三个平面有唯一的交点这三个平面有唯一的交点,这个交点这个交点就是有序数组就是有序数组(x,y,z)所确定的点所确定的点 M,见图见图.xyzORPQxyzM(x,y,z)这样这样,利用空间直角坐标系利用空间直角坐标系,就在有序数组就在有序数组(x,y,z)与空间中的点与空间中的点 M 之间建立了一一对应关系之间建立了一一对应关系.有序数组有序数组(x,y,z)称为点称为点 M 的坐标的坐标.其中其中 x,y 和和 z 分别称为点分别称为点 M
8、的横坐标、纵坐标和竖坐标的横坐标、纵坐标和竖坐标.在在以后的表述中以后的表述中,常把一个点和表示这个点的坐标不加常把一个点和表示这个点的坐标不加区别区别,所说的给定一个点所说的给定一个点,就是给定这个点的坐标就是给定这个点的坐标;所说的求一个点所说的求一个点,就是求这个点的坐标就是求这个点的坐标.坐标面和坐标轴上的点的坐标都有一定的特点坐标面和坐标轴上的点的坐标都有一定的特点.如如 xOy 面上的点面上的点,竖坐标竖坐标 z=0;zOx 面上的点面上的点,其纵其纵坐标坐标 y=0;yOz 面上的点面上的点,其横坐标其横坐标 x=0;z 轴上轴上的点横、纵坐标均为零的点横、纵坐标均为零,即即 x
9、=0,y=0.同样同样,x 轴轴上的点有上的点有 y=0,z=0;y 轴上的点有轴上的点有 x=0,z=0;原点的三个坐标均为零原点的三个坐标均为零.从点从点 M(x,y,z)引垂直于引垂直于 xOy 面的直线面的直线,直线直线与与 xOy 面的交点面的交点 N(x,y,0)称为点称为点 M 在在 xOy 面的面的投影投影.在在 MN 的延长线上取一点的延长线上取一点 P,使点使点 P 到到 xOy 面面的距离等于点的距离等于点 M 到到 xOy 面的距离面的距离,称点称点 P 是点是点 M 关关于于 xOy 面的对称点面的对称点,点点 M 的坐标为的坐标为(x,y,z).类似地类似地,点点
10、M 关于关于 x 轴的对称点的坐标为轴的对称点的坐标为(x,y,z),关于原点的对称点的坐标为关于原点的对称点的坐标为(x,y,z).点点 M 关于其他坐标面、坐标轴的对称点与此完全类似关于其他坐标面、坐标轴的对称点与此完全类似.各卦限内各卦限内,点的坐标符号为点的坐标符号为:(+,+,+),:(+,).:(,),:(,+,),:(+,+,),:(+,+),:(,+),:(,+,+),二、空间中两点间的距离二、空间中两点间的距离 对空间中两点对空间中两点 M 1(x 1,y 1,z 1)和和 M 2(x 2,y 2,z 2),可用其坐标表示它们之间的距离可用其坐标表示它们之间的距离 d.过过
11、M 1,M 2 两点各做三个分别垂直于三条坐标两点各做三个分别垂直于三条坐标轴的平面轴的平面.这这 6 个平面围成以个平面围成以 M 1,M 2 为顶点的长为顶点的长方体方体,见图见图 6 4.xyzo 1MPNQR 2M图图 6 4 由勾股定理得由勾股定理得222221212,dM MM PPNNM222212121()()().dxxyyzz即即 特殊地特殊地,点点 M(x,y,z)到原点到原点 O(0,0,0)的距离为的距离为222.dxyz 例例1 在在 z 轴上求一点轴上求一点 M,使点使点 M 到点到点 A(1,0,2)和点和点 B(1,-3,1)的距离相等的距离相等.解解 因为所
12、求的点因为所求的点 M 在在 z 轴上轴上,故点故点 M 的坐标的坐标应为应为(0,0,z).根据题意根据题意,有有 222222(0 1)(00)(2)(0 1)(03)(1),zz解得解得 z=3,即点即点 M 的坐标是的坐标是(0,0,3).例例2 已知一动点已知一动点 M(x,y,z)到两点到两点 A(1,2,3)和和 B(1,3,0)的距离总是相等的距离总是相等,求动点求动点 M 的坐的坐标所满足的方程标所满足的方程.解解 由已知条件由已知条件,有有222222(1)(2)(3)(1)(3),xyzxyz两端平方后整理两端平方后整理,得得 2 x+5 y+3 z 2=0,即动点即动点 M 的坐标应满足这个三元一次方程的坐标应满足这个三元一次方程.
