1、 概率论与数理统计概率论与数理统计第五讲第五讲第1页，共37页。第二章第二章 一维随机变量及其概率分布一维随机变量及其概率分布v随机变量随机变量v离散型随机变量离散型随机变量v连续型随机变量连续型随机变量v随机变量函数的分布随机变量函数的分布第2页，共37页。2.1 一维随机变量一维随机变量一、概念一、概念 例例1 1 抛一枚质地均匀的骰子一次，观察出现抛一枚质地均匀的骰子一次，观察出现点数点数.出现点数，:X.6,5,4,3,2,1X则.6,65,54,43,32,21,1点出现点；出现点；出现点；出现点；出现点；出现X X是一（因）变量（函数），是一（因）变量（函数），取不同的数值表示试验
2、可能发取不同的数值表示试验可能发生的不同结果，且生的不同结果，且X是以一定是以一定概率取值的概率取值的.第3页，共37页。，点出现事件如5:5X,615XP 例例2 2 设有一批产品设有一批产品1010件，其中件，其中3 3件次品件次品.现从中任取现从中任取2 2件件.抽到的次品数，:X.2,10，则X.221100件次品抽到，件次品；抽到，件次品；抽到，X.6,5,4,3,2,1,61iiXP实质上第4页，共37页。X是一变量，取不同的数值表示抽到的是一变量，取不同的数值表示抽到的不同结果，且不同结果，且X是以一定概率取值的是以一定概率取值的.，件次品抽到事件如1:1X,1571210171
3、3CCCXP.2,1,0,210273iCCCiXPii实质上第5页，共37页。例例3 3 测试某种电子元件的寿命测试某种电子元件的寿命X X（单位：小（单位：小时）时）.X X 取值由试验结果而定，可为取值由试验结果而定，可为00，+）上）上任一数任一数.X是一变量，取不同的数值表示抽到的是一变量，取不同的数值表示抽到的不同结果不同结果.如如100100X X 150:150:事件事件 被测试的电子元件寿被测试的电子元件寿命在命在100100小时在小时在150150小时之间小时之间.第6页，共37页。例例4 4 掷一枚质地均匀的硬币一次，观察出现掷一枚质地均匀的硬币一次，观察出现正面、反面正
4、面、反面.,1,0出现正面出现反面；X X是一变量，取不同的数值表示出现的是一变量，取不同的数值表示出现的不同结果，且不同结果，且X是以一定概率取值的是以一定概率取值的.2110XPXP实质上 这样，上述例子中变量（函数）这样，上述例子中变量（函数）X是所有试验是所有试验结果（样本空间）的函数，可记为结果（样本空间）的函数，可记为X=X().第7页，共37页。这种随机试验的结果与数值的对应关系，在数这种随机试验的结果与数值的对应关系，在数学上可理解为学上可理解为:.XX()与高等数学中的函数不同与高等数学中的函数不同.)(X 定义一个实值函数定义一个实值函数X=X(),将将第8页，共37页。X
5、()随试验结果的不同而取不同的值随试验结果的不同而取不同的值.故在试验故在试验之前只知道其可能取值的范围，而不能预知其取之前只知道其可能取值的范围，而不能预知其取哪个具体的值哪个具体的值.由于试验结果的出现具有一定的概率，所以由于试验结果的出现具有一定的概率，所以 “X()取每个值或某个确定范围内的值取每个值或某个确定范围内的值”也也有一定的概率有一定的概率.称这种定义在样本空间称这种定义在样本空间上的实值函数上的实值函数为为随机变量随机变量，简记为，简记为 r.v.(random variable).不同之处：不同之处：第9页，共37页。.)()(的随机变量为函数上的实值与之对应，称都有唯一
6、实数，的样本空间，若是试验设EXXE 定义 随机变量通常用英文大写字母随机变量通常用英文大写字母X,Y,Z 或或希腊字母希腊字母,等表示等表示.随机变量的取值一般用小写字母随机变量的取值一般用小写字母 x,y,z 等表示等表示.第10页，共37页。这样，随机试验中的各种事件可用随机变量的这样，随机试验中的各种事件可用随机变量的取值来表示取值来表示.如：如：例例1中事件中事件 出现的点数大于出现的点数大于4可用可用X4或或X=5 X=6表示表示.例例2中事件中事件 至少抽到至少抽到1件次品件次品可用可用X1或或X=1 X=2表示表示.第11页，共37页。随机变量概念的产生是概率论发展史上重大的随
7、机变量概念的产生是概率论发展史上重大的事件事件.引入随机变量后，对随机现象统计规律的研引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩充到对随机变究，就由对事件及事件概率的研究扩充到对随机变量及其取值规律的研究量及其取值规律的研究.第12页，共37页。二、二、随机变量的分类随机变量的分类 一维、多维一维、多维在维数确定后，可按取值分为：在维数确定后，可按取值分为：定义定义 若随机变量若随机变量X只取有限个或可列无穷只取有限个或可列无穷多个数值，称多个数值，称X是离散型随机变量是离散型随机变量.否则，称为非否则，称为非离散型随机变量离散型随机变量.如例如例1,2,4中的中的
8、X是离散型随机变量是离散型随机变量.对非离散型随机变量，只研究连续型随机变量，对非离散型随机变量，只研究连续型随机变量，如例如例3中的中的X.第13页，共37页。随随机机变变量量连续型随机变量连续型随机变量离散型随机变量离散型随机变量学习时要注意它们各自的特点及描述方法学习时要注意它们各自的特点及描述方法.我们所研究的我们所研究的 这两种类型的随机变量因都是随机变量，自然这两种类型的随机变量因都是随机变量，自然会有许多相同或相似之处；但因其取值方式不同，会有许多相同或相似之处；但因其取值方式不同，故又有其各自的特点故又有其各自的特点.第14页，共37页。设设X是一个离散型随机变量，其可能取值为
9、是一个离散型随机变量，其可能取值为 x1,x2,.为描述随机变量为描述随机变量 X，我们不仅要知道其所有，我们不仅要知道其所有可能的取值，还应知道取各值的概率可能的取值，还应知道取各值的概率.2.2 2.2 一维离散型随机变量一维离散型随机变量第15页，共37页。2.2.1 分布律（列）及其性质分布律（列）及其性质 称其为离散型随机变量称其为离散型随机变量 X 的分布律或概率的分布律或概率分布（密度），也称概率函数分布（密度），也称概率函数.,2,1,)(kpxXPkk或表格形式或表格形式kkpppxxx2121或矩阵形式或矩阵形式 定义定义1：设离散型随机变量设离散型随机变量 X 所有可能取
10、所有可能取值值 的概率的概率,21xx第16页，共37页。解：解：依分布律的性质有依分布律的性质有 例例1 1 设随机变量设随机变量 X 的概率分布为的概率分布为确定常数确定常数 a.用这两条性质判断用这两条性质判断一个数列是否是概一个数列是否是概率分布。率分布。;,2,1 ,0 ).1(kpk.1 .(2)kkp性质.0 ,2 ,1 ,0 ,!)(为常数 kkakXPk第17页，共37页。.ea从中解得从中解得.1!0aekakk与与 0a这里用到了幂级数展开式这里用到了幂级数展开式.!0ekkk第18页，共37页。例例2 2 设有一批产品设有一批产品1010件，其中件，其中3 3件次品件次
11、品.现从中任取现从中任取2 2件件.用用X X 表示抽到的次品数，求表示抽到的次品数，求X X 的分布律及至少有一件次品的概率的分布律及至少有一件次品的概率.第19页，共37页。例例 3如上图所示如上图所示,电子线路中装有两个并联继电器电子线路中装有两个并联继电器.设这设这两个继电器是否接通具有随机性，且彼此独立两个继电器是否接通具有随机性，且彼此独立.已知已知各电器接通的概率为各电器接通的概率为0.8，记，记X为线路中接通的继为线路中接通的继电器的个数电器的个数.求求 (1)X 的概率分布；的概率分布；(2)线路接通的概率线路接通的概率.第20页，共37页。解：解：(1)记记 Ai=第第 i
12、 个继电器接通个继电器接通,i=1,2.因因两个继电器是否接通是相互独立的两个继电器是否接通是相互独立的,所以所以A1和和A2相互独立，且相互独立，且 P(A1 1)=)=P(A2 2)=)=0.8.X 的所有的所有可能取值为可能取值为:0,1,2.)(021AAPXP)()(21APAP.04.02.02.0第21页，共37页。)(12121AAAAPXP)()(2121AAPAAP)()()()(2121APAPAPAP.32.08.02.02.08.0)(221AAPXP)()(21APAP.64.08.08.0第22页，共37页。所以，所以，X的分布律为的分布律为(2)因线路因线路是并
13、联电路，所以是并联电路，所以 P(线路接通线路接通)=P(只要一个继电器接通只要一个继电器接通)=P X11 =P X=1+=1+P X=2=2 =0.32+0.64=0.96.第23页，共37页。2.2.2 常见离散型随机变量的概率分布常见离散型随机变量的概率分布1.1.两点分布两点分布 设设 E 是一个只有两种可能结果的随机试验是一个只有两种可能结果的随机试验,用用=1,2 表示其样本空间表示其样本空间.P(1)=p,P(2)=1-p.称称X服从参数服从参数p的两点分布的两点分布,记成记成 XB(1,p).,0,1)(21X令令第24页，共37页。定义定义2 设设X的分布律为的分布律为X
14、1 0P P 1-p称称X服从参数为服从参数为p的两点分布或（的两点分布或（01）分布，记为）分布，记为XB(1,p).例例4 从装有从装有6只白球、只白球、4只红球的口袋中任取只红球的口袋中任取一球，用一球，用X表示取到的白球数，求表示取到的白球数，求X 的分布律的分布律.第25页，共37页。若试验只有两种结果，可用两点分布来描述，若试验只有两种结果，可用两点分布来描述，如：射击是否如：射击是否“中靶中靶”，掷硬币是否，掷硬币是否“正面正面朝上朝上”，产品是否，产品是否“合格合格”，种子是否，种子是否“发芽发芽”等等.AA和两种结果：两个，但可看作有的试验结果不止2.二项分布二项分布 每次试
15、验只有两个结果的每次试验只有两个结果的 n 次独立重复试验称次独立重复试验称作作 n 重贝努里试验，简称贝努里试验或重贝努里试验，简称贝努里试验或贝努里概贝努里概型型.第26页，共37页。贝努里试验对试验结果有下述要求：贝努里试验对试验结果有下述要求：(1)每次试验条件相同；每次试验条件相同；1)(,)(pAPpAP(2)每次试验只考虑两个互逆结果每次试验只考虑两个互逆结果 A 或或 ,A(3)各次试验相互独立各次试验相互独立.定义定义3 则称则称X服从参数为服从参数为n、p的二项分布，也称伯努的二项分布，也称伯努利分布，记利分布，记XB(n,p).的分布律为：若X,)1(knkknppCkX
16、P,10,2,1,0pnk，第27页，共37页。例例4 某工厂生产的螺丝的次品率为某工厂生产的螺丝的次品率为0.05，设每个，设每个螺丝是否为次品是相互独立的，该工厂将螺丝是否为次品是相互独立的，该工厂将10 个螺丝个螺丝包成一包出售，并保证若发现一包内多于一个次品包成一包出售，并保证若发现一包内多于一个次品即可退货，求某包螺丝次品个数即可退货，求某包螺丝次品个数X的分布律和售出的分布律和售出的螺丝的退货率的螺丝的退货率.二项分布描述的是：二项分布描述的是：n 重贝努里试验中重贝努里试验中,事件事件A发生的次数发生的次数 X 的概率分布的概率分布.二项分布二项分布 B(n,p)和两点分布和两点
17、分布B(1,p)的关系的关系.当当n=1时，二项分布称为两点分布时，二项分布称为两点分布.1,0,)1(11kppCkXPkkk第28页，共37页。将试验将试验 E 在相同条件下独立地进行在相同条件下独立地进行 n 次，记次，记 X 为为 n 次独立试验中次独立试验中A出现的次数出现的次数.描述第描述第i 次试验的随机变量记作次试验的随机变量记作 Xi,则则 Xi B(1,p)，且，且 X1,X2,Xn相互独立相互独立(随机变量相互独立的随机变量相互独立的严格定义将在第三章讲述严格定义将在第三章讲述).则有则有X=X1+X2+Xn.设试验设试验 E 只有两个结果只有两个结果:A 和和 .A.1
18、0 1)()(ppAPAPp，则则，记记第29页，共37页。设随机变量设随机变量 X的分布律：的分布律：3.泊松分布泊松分布 其中其中0 是常数，是常数，则称则称 X 服从参数为服从参数为的泊松的泊松分布分布,记作记作 X P().易见易见0.1!,2 ,1 ,0 ,0kkekkkXP.,2 ,1 ,0 ,e!kkkXPk 第30页，共37页。实际中，许多现象可用泊松分布来描述：一实际中，许多现象可用泊松分布来描述：一段时间内电话的呼叫次数；布匹上的疵点数；线段时间内电话的呼叫次数；布匹上的疵点数；线路板上的焊接不良处；书页上的印刷错误的个数路板上的焊接不良处；书页上的印刷错误的个数等等.第3
19、1页，共37页。例例5 某一无线寻呼台，每分钟收到寻呼的次数某一无线寻呼台，每分钟收到寻呼的次数X服从参数服从参数 =3 的泊松分布的泊松分布.求：求：(1)一分钟内恰好收到一分钟内恰好收到3 3次寻呼的概率；次寻呼的概率；(2)一分钟内收到一分钟内收到2至至5次寻呼的概率次寻呼的概率.解解:=(32/2!)+(33/3!)+(34/4!)+(35/5!)e-3 (1)PX=3(2)P2X5 0.7169.=(33/3!)e-3 0.2240；=PX=2+PX=3+PX=4+PX=5第32页，共37页。历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于1837年由
20、法国数学家泊松引入的年由法国数学家泊松引入的.二项分布与泊松分布的关系二项分布与泊松分布的关系 定理定理(泊松定理泊松定理):):对二项分布对二项分布 B(n,p),当当 n充分大充分大,p又又很小时很小时,对任意对任意固定的非负整数固定的非负整数 k，有近似公式，有近似公式.,!)1(),(n knpekppCpnkbkknkkn，其其中中；第33页，共37页。例例6 某出租汽车公司共有出租车某出租汽车公司共有出租车400辆，设每天辆，设每天每辆出租车出现故障的概率为每辆出租车出现故障的概率为0.02，求求:一天内没有一天内没有出租车出现故障的概率出租车出现故障的概率.解解 将观察一辆车一天
21、内是否出现故障看成一次将观察一辆车一天内是否出现故障看成一次试验试验.因为每辆车是否出现故障与其它车无关因为每辆车是否出现故障与其它车无关,于于是是,观察观察400辆出租车是否出现故障就是做辆出租车是否出现故障就是做 400 次次贝努利试验贝努利试验.设设 X 表示一天内出现故障的出租车数表示一天内出现故障的出租车数,则则 X B(400,0.02).令令 =np=4000.02=8，于是，于是,P一天内没有出租车出现故障一天内没有出租车出现故障 =PX=0=b(0;400,0.02)(80/0!)e-8=0.0003355.第34页，共37页。几何分布几何分布 设随机变量设随机变量 X的分布
22、律：的分布律：.,2 ,1 ,0 ,)1()(1kppkXPk 则称则称 X 服从参数为服从参数为p的几何分布的几何分布,记作记作 X G(p).几何分布常用于描述独立重复试验中，某几何分布常用于描述独立重复试验中，某事件首次出现时，已经完成的试验次数事件首次出现时，已经完成的试验次数.在独立重复试验中，某事件在独立重复试验中，某事件A在一次试验在一次试验中发生的概率为中发生的概率为p,则在第则在第k次试验时次试验时A首次发生首次发生的概率即几何分布的分布律的概率即几何分布的分布律.第35页，共37页。超几何分布超几何分布 设随机变量设随机变量 X的分布律：的分布律：nNknMNkMCCCkX
23、P)(.,min,2 ,1 ,0,MnkNMnNM）为正整数（其中 则称则称 X 服从超几何分布服从超几何分布,记作记作 X H(N,M,n).袋中有袋中有N个球，其中个球，其中M个白球，个白球，N-M个黑球，个黑球，现从袋中取现从袋中取n个球，恰有个球，恰有k个白球的概率即超几何个白球的概率即超几何分布的分布律分布的分布律.第36页，共37页。小结小结 本节首先介本节首先介绍离散型随机变量及其概率分绍离散型随机变量及其概率分布；然后介绍三种常见的离散型概率分布：布；然后介绍三种常见的离散型概率分布：两两点分布、二项分布、泊松分布点分布、二项分布、泊松分布.顺便给出了顺便给出了几何分布几何分布与超几何分布与超几何分布.对于离散型随机变量，如果知道了其概率对于离散型随机变量，如果知道了其概率分布，也就知道了它取各个可能值的概率分布，也就知道了它取各个可能值的概率.第37页，共37页。
