1、1本章主要内容本章主要内容6.频域采样。频域采样。1.如何用连续时间信号的离散时间样本来表示如何用连续时间信号的离散时间样本来表示连续时间信号连续时间信号采样定理采样定理。2.如何从采样所得到的样本重建连续时间信号。如何从采样所得到的样本重建连续时间信号。3.欠采样导致的后果欠采样导致的后果频谱混叠。频谱混叠。4.连续时间信号的离散时间处理。连续时间信号的离散时间处理。5.离散时间信号的采样、抽取及内插。离散时间信号的采样、抽取及内插。采样采样27.0 引言引言:(Introduction)如何用离散时间信号表示连续时间信号如何用离散时间信号表示连续时间信号,且不丢失且不丢失原来信号所包含的信
2、息？原来信号所包含的信息？传真的照片传真的照片电视屏幕的画面电视屏幕的画面电影胶片电影胶片3例例1.1.一幅新闻照片一幅新闻照片4局部放大后的图片局部放大后的图片5例例2.2.另一幅新闻照片另一幅新闻照片6局部放大后的图片局部放大后的图片7例例3.CCD3.CCD芯片的光显微图芯片的光显微图mmm CCDCCD芯片用芯片用VLSIVLSI技术制造。被分为许多微小区，每技术制造。被分为许多微小区，每个小区的尺寸为个小区的尺寸为1313*11 11 （对应一个象素），在对应一个象素），在1010*9.3 9.3 面积上有面积上有 500500*582 582 个象素。个象素。当光成象在当光成象在C
3、CDCCD芯片上时，芯片上时，就在这些空间离散的象素就在这些空间离散的象素点上被采样，而生成了离点上被采样，而生成了离散时间图象信号。散时间图象信号。CCD(Charge-coupled Device，电荷耦合元件，电荷耦合元件),半导体器件，把半导体器件，把光学影像转化为数字信号光学影像转化为数字信号 VLSI(超大规模集成电路超大规模集成电路,Very Large Scale Integrated Circuits)8连续连续时间信号与时间信号与离散离散时间信号时间信号 :4.4.对离散时间信号如何进行采样、抽取及内插。对离散时间信号如何进行采样、抽取及内插。2.2.如何从连续时间信号的离
4、散时间样本不失真地如何从连续时间信号的离散时间样本不失真地恢复成原来的连续时间信号。恢复成原来的连续时间信号。3.3.如何对一个连续时间信号进行离散时间处理。如何对一个连续时间信号进行离散时间处理。1.1.在什么条件下，一个连续时间信号可以用它的在什么条件下，一个连续时间信号可以用它的离散时间样本来代替而不致丢失原有的信息。离散时间样本来代替而不致丢失原有的信息。97.1 7.1 用样本表示连续时间信号用样本表示连续时间信号:采样定采样定理理一一.采样采样:Sampling Theorem of Sampling 在某些离散的时间点上提取连续时间信号值的过在某些离散的时间点上提取连续时间信号值
5、的过程称为程称为采样。采样。是否任何信号都可以由它的离散时间样本来表示？是否任何信号都可以由它的离散时间样本来表示？10在没有任何条件限制的情况下，样本序列不能唯在没有任何条件限制的情况下，样本序列不能唯一地代表原来的连续时间信号。一地代表原来的连续时间信号。对同一个连续时间信号，当采样间隔不同时也对同一个连续时间信号，当采样间隔不同时也会得到不同的样本序列。会得到不同的样本序列。对一维连续时间信号采样的例子：对一维连续时间信号采样的例子：11二二.采样的数学模型：采样的数学模型：()x t()pxt()p t在时域：在时域：()()()pxtx tp t在频域在频域:1()()()2pXjX
6、 jP j三三.冲激串采样冲激串采样(理想采样理想采样):):()()np ttnT()()()()()pxtx t p tx nTtnT为采样间隔为采样间隔T12 ()x t0()p ttt2T2TTT0t()xT()x T(2)x T(0)x0T2TT2T()px t(2)xT13 可见，可见，在时域对连续时间信号进行理想采样，在时域对连续时间信号进行理想采样，就相当于在频域将连续时间信号的频谱以就相当于在频域将连续时间信号的频谱以 为周期进行延拓。为周期进行延拓。s在频域由于在频域由于22()()()np tP jkTT 1()()()212()()21()pskskXjXjP jXjk
7、TXjkT 2sT所以所以141()()pskXjXjkT2sT15 要想使采样后的信号样本能完全代表原来的信要想使采样后的信号样本能完全代表原来的信号，就意味着要能够从号，就意味着要能够从 中不失真地分离中不失真地分离出出 。这就要求。这就要求 在周期性延拓时在周期性延拓时不能不能发生频谱的混叠发生频谱的混叠。为此必须要求。为此必须要求:()pXj()X j()pXj在满足上述要求时，可以通过理想低通滤波器从在满足上述要求时，可以通过理想低通滤波器从 中不失真地分离出中不失真地分离出 。()pXj()X j()x tM1.1.必须是带限的，最高频率分量为必须是带限的，最高频率分量为 。2sM
8、2/sT2.采样间隔采样间隔(周期周期)不能是任意的，必须保证采样不能是任意的，必须保证采样频率频率 。其中其中 为采样频率为采样频率16()pXjsMMs1TT0c Nyquist Nyquist 采样定理采样定理:对带限于最高频率对带限于最高频率 的连续时间信号的连续时间信号 ,如如果以果以 的频率进行理想采样，则的频率进行理想采样，则 可以可以唯一的由其样本唯一的由其样本 来确定。来确定。M()x t()x t2sM()x nT17 在工程实际应用中，在工程实际应用中，理想滤波器是不可能实理想滤波器是不可能实现的。而非理想滤波器现的。而非理想滤波器一定有过渡带，因此，一定有过渡带，因此，
9、实际采样时实际采样时,必须大必须大于于 。s2M18 低通滤波器的截止频率必须满足低通滤波器的截止频率必须满足:()McsM 为了补偿采样时频谱幅度的减小，滤波器应具为了补偿采样时频谱幅度的减小，滤波器应具有有 倍的通带增益。倍的通带增益。T三三.零阶保持采样零阶保持采样:010()h ttT()t0()h t延时延时T零阶保持系统零阶保持系统19 零阶保持采样相当于理想采样后，再级联一个零零阶保持采样相当于理想采样后，再级联一个零阶保持系统。阶保持系统。0()h t10tT()x t()px t0()x t()()np ttnT0()x t1.1.零阶保持系统：是一个零阶保持系统：是一个 为
10、矩形脉冲的系统。为矩形脉冲的系统。2.2.零阶保持：信号的样本经零阶保持后，所得到的零阶保持：信号的样本经零阶保持后，所得到的信号是一个阶梯形信号。信号是一个阶梯形信号。()h t200()()()rHjHjHj,Tc0,c而而202Sin/2)()TjTHje（2()()2Sin2TjrH jHjeT所以所以 为了能从为了能从 恢复恢复 ，就要求零阶保持后再，就要求零阶保持后再级联一个系统级联一个系统 。使得。使得0()x t()x t()rH jMcsM 其中其中21若若 则则12csTT02T0()Hj()H jTTT0()rHj10TT()rHj0TT22以以 表示理想低通滤波器的特性
11、，则表示理想低通滤波器的特性，则:()H j22 表明：表明：理想内插以理想低通滤波器的单位冲激理想内插以理想低通滤波器的单位冲激响应作为内插函数。响应作为内插函数。SinSin()Sinc()ccccccTTtth ttTttSin()()()()ccncTtnTx tx nTtnT当当 时时2scTSin()()()()cnctnTx tx nTtnT23内插：由样本值重建某一函数的过程。内插：由样本值重建某一函数的过程。一一.理想内插理想内插:若若 为理想低通的单位冲激响应，则为理想低通的单位冲激响应，则()h t()()()()()()pnx txth tx nTtnTh t()()n
12、x nT h tnT 7.2 利用内插从样本重建信号利用内插从样本重建信号Reconstruction of a Signal from Its Samples Using Interpolation24这种内插称为这种内插称为时域中的带限内插。时域中的带限内插。25二二.零阶保持内插零阶保持内插:零阶保持内插的内插函数是零阶保持系统的单位零阶保持内插的内插函数是零阶保持系统的单位冲激响应冲激响应 。0()h t0|()|Hj262728三三.一阶保持内插一阶保持内插(线性内插线性内插)：1()h t10TTt212Sin2()2Sin122THjTTTT0TT2T2Tt线性内插时，其内插函数
13、是三角形脉冲。线性内插时，其内插函数是三角形脉冲。1()Hj2T2TTT0T29一阶保持内插的结果（采样间隔为一阶保持内插的结果（采样间隔为T/4T/4）30一阶保持内插的结果（采样间隔为一阶保持内插的结果（采样间隔为T/4）31 如果采样时，不满足采样定理的要求，就一定会如果采样时，不满足采样定理的要求，就一定会在在 的频谱周期延拓时，出现的频谱周期延拓时，出现频谱混叠频谱混叠的现象。的现象。()x tThe Effect of Undersampling:Aliasing7.3 7.3 欠采样的效果欠采样的效果频谱混叠频谱混叠 此时，即使通过理想内插也得不到原信号。但是无此时，即使通过理想
14、内插也得不到原信号。但是无论怎样，恢复所得的信号论怎样，恢复所得的信号 与原信号与原信号 在采在采样点上将具有相同的值。样点上将具有相同的值。()rx t()x t()()rx nTx nT一一.欠采样与频谱混叠欠采样与频谱混叠:32例例:0()cosx tt 的频谱的频谱 ()X j()x t002s当当 时时,产生频谱混叠产生频谱混叠。0()cos()rsx tt恢复的信号为恢复的信号为000()X j()pXj00T0ss0s0sTTT00TT0ss0s0s()rXjTTT33显然当显然当 时有时有 tnT0()cos()rsx nTnT00coscossinsinssnTnTnTnT0
15、cos()nTx nT如果如果 ，则在上述情况下，则在上述情况下:0()cos()x tt00()()()jjrssX jee 0()cos()rsx tt表明恢复的信号不仅频率降低，而且相位表明恢复的信号不仅频率降低，而且相位相反。相反。2/sT34工程应用时，如果采样频率工程应用时，如果采样频率 将不足以将不足以从样本恢复原信号。从样本恢复原信号。2sM00()coscossinsinx ttt0()coscosx nTnT例如例如 0()cos()x tt022sT在在时时这和对这和对10()coscosx tt采样的结果一样。采样的结果一样。从用样本代替信号的角度出发，出现欠采样的从用
16、样本代替信号的角度出发，出现欠采样的情况是工程应用中不希望的情况是工程应用中不希望的。35二二.欠采样在工程实际中的应用：欠采样在工程实际中的应用：1.1.采样示波器采样示波器:2.2.频闪测速频闪测速:旋转圆盘旋转圆盘0s频闪器频闪器 np ttn T3602s0s04s 1 2 3 4043s37 对连续时间信号进行离散时间处理的系统可视为对连续时间信号进行离散时间处理的系统可视为三个环节的级连。三个环节的级连。()cx t()dx n()dy n()cy t离散时间系统离散时间系统/C D/D C()cx t()cy t()H j7.4 7.4 连续时间信号的离散时间处理连续时间信号的离
17、散时间处理Discrete-Time Processing of Continuous-Time Signals 38 一一.C/D 转换转换:在时域：在时域：()(np ttnT）()()()()(pccnxtx tp tx nTtnT）()()dcxnx nT在频域在频域:1()(),pcskXjXjkT2sT()()dcxnx nT()p t()cx t()px t冲激串冲激串到序列到序列39 冲激串到序列的变换过程，在时域是一个对时间冲激串到序列的变换过程，在时域是一个对时间进行归一化的过程；进行归一化的过程；在频域是一个对频率进行去归在频域是一个对频率进行去归一化的过程。一化的过程。
18、11()()(2)jdpckXeXjXjkTTT()()j TpdXjXe()()jjndcnXex nT e 以以表示离散时间的频率变量，表示离散时间的频率变量，表示连续时间的表示连续时间的频率变量频率变量()()j nTpcnXjx nT e()()dcxnx nT()()()()(pccnxtx tp tx nTtnT）4001MM()cXj()pXj1T0MMss022MT1T()jdXeT MT41二二.D/C 转换：转换：()()()pdny ty ntnT()()j nTpdnYjy n e()()jjnddnYeyn e()dyn()pyt()cy t序列到序列到冲激串冲激串T
19、ccT()()jdpYeYjT()()j TpdYjYe可见，可见，D/C转换是转换是C/D转换的逆过程。转换的逆过程。42三三.连续时间信号的离散时间处理连续时间信号的离散时间处理:()cHj()cx t()cy t假定假定 ，有，有 ，在，在满足采样满足采样定理时，有定理时，有 。整个系统是恒整个系统是恒等系统，表明等系统，表明D/CD/C转换是转换是C/DC/D转换的逆系统转换的逆系统。()1jdHe()()ddy nx n()()ppy tx t()()ccy tx t()cx t()px t()dx n()dy n()py t()cy t()p tC/DD/C冲激串冲激串到序列到序列
20、()jdH e序列到序列到冲激串冲激串()h t2s2sT43对一般情况：对一般情况：()()()jjjdddYeXeHe()()()()j Tj Tj TpdddYjYeXeHe()()j TpdXjHe()cHj()cx t()cy t()cx t()px t()dx n()dy n()py t()cy t()p tC/DD/C冲激串冲激串到序列到序列()jdH e序列到序列到冲激串冲激串()h t2s2sT44()()()cpYjYjH j2s2s 0 ()()()()ccj TpdXjHjTXjHe 即()cHj()j TdHe02s2s或或()()jcdHjHeT 45ssMM1Tc
21、TcT()pXj()j TdHeA()cXjMM01MM01T()pXjsssT1T()jdXeMTMT0sTcTMMcT1()cXj()cHjA()cHj()cXj()jdHe1TMTMT2ccA()jdXe()jdHe()jdXe2()jdYe()pYj()cYj()()()jjjdddYeXeHe()()()cpYjYjH j46可见，可见，等效连续时间系统的频率响应，就是离散等效连续时间系统的频率响应，就是离散时间系统频率响应在一个周期内的特性，只不过时间系统频率响应在一个周期内的特性，只不过在频率上有一个尺度变换。在频率上有一个尺度变换。cc1022()jdHe10()cHjcTcT
22、47 对连续时间信号进行离散时间处理的系统只对连续时间信号进行离散时间处理的系统只在在 带限，且带限，且采样频率满足采样定理的要求采样频率满足采样定理的要求时才能等效为时才能等效为一个一个LTILTI系统。系统。()cx t例：数字微分器：例：数字微分器：带限微分器带限微分器()cHjj0,cc/2/20cc()cHjccc()cHj048由由 可得，可得，时有：时有：()()jcdHjHeT2sc()()jdcHeHjjTT 0c()jdHe220()jdHe497.5 7.5 离散时间信号采样：离散时间信号采样：Sampling of Discrete-Time Signal 一一.脉冲串
23、采样脉冲串采样:()()()pxnx np n()()kx kNnkN22()()jkP ekNN()()kp nnkN()x n()pxn()p n1NNn0()x nnNN2N0()px nnNN02N501()()()2jjjpXeX eP e()21()()2jjX eP ed 2()1()jkNkX eN212()()jkX ek dNN()jP e2N2N2N0()jX e10M22M()jpX e1N2N2NM220511.1.带限于带限于 。2.2.。()x nM22sMN()px n()x n()p n()rx ncc2N 时域时域:对离散时间信号以对离散时间信号以 为间隔采
24、样为间隔采样 频域频域:在一个周期内以在一个周期内以 为间隔周期性延拓。为间隔周期性延拓。N()px n()x n要使要使 能恢复成能恢复成 ，则频谱在周期性延拓时，则频谱在周期性延拓时不能发生混叠。为此要求：不能发生混叠。为此要求：52离散时间理想低通滤波器理想低通的通带增益为离散时间理想低通滤波器理想低通的通带增益为N N，截止频率为：截止频率为：McsM恢复恢复 的过程也是一种带限内插过程，其内插的过程也是一种带限内插过程，其内插函数为理想低通的单位脉冲响应函数为理想低通的单位脉冲响应 。()x n()h n0cc()jH eN()x n如何恢复如何恢复？53()()()()()sinc
25、rpcckx nxnh nNnkNx kNsin()()()cckcNnkNx kNnkN 当当 时，时，/cNsin()()()()crkcnkNx nx kNnkNsin()sinc()cccNnnh nNn54二二.离散时间抽取与内插：离散时间抽取与内插：如果如果 ，则把由则把由 经经过过 到到 的过程称为抽取。的过程称为抽取。()x n()px n()()()dpx nxnNx nN()dx n()dxn()x n()x n()dx n()px n 若直接从若直接从 抽取得到抽取得到 ，这个过程是不，这个过程是不可逆的。但当可逆的。但当 满足采样定理的要求时，先经满足采样定理的要求时，
26、先经过过 再到再到 ，则抽取过程是可逆的。，则抽取过程是可逆的。Discrete-Time Decimation and InterpolationDiscrete-Time Decimation and Interpolation55()()jnjNNppnxn eXe,()()()()jj nj nddpnnnjNpnn rNXexn exnN exn e即即()()jjNdpXeXe这表明，在这表明，在时域时域对带限序列进行对带限序列进行抽取抽取，相当于在，相当于在频域频域对采样序列的频谱进行对采样序列的频谱进行尺度扩展尺度扩展。抽取过程在频域的反映：抽取过程在频域的反映：5601002
27、22222()jdXe()jpXe()jX e1N1NMMMMMNMN3N 时时：570()cxtt01()cXjMM()pXjMM2T2T1T0MTMT221T()jX e0n()x n0t()pxtT580n()dxn0()jdXeMNT221NT()jpXeMT222N2N1NT0n()x n()p n1NNn00MTMT221T()jX e()jP e2N2N2N00n()pxnNNN=359 对对 以以T T为间隔采样后再以为间隔采样后再以N N为间隔抽取，相为间隔抽取，相当于直接对当于直接对 以以NTNT为间隔采样。为间隔采样。()cx t()cx t三三.抽取与内插的应用：抽取与
28、内插的应用：()cx t()px t()xn2N 1()x n2()x n2(1)x n2N 3()x n()py t()H j()cy t()()np ttnT抽取抽取内插内插/C D/D CD()jH e半抽样间隔延时：半抽样间隔延时：600()cx tt0n2()x n0n2(1)x n0n()x n0()px ttT0n1()x n()cx t()px t()x n2N 1()x n2()x n2(1)x n2N 3()x n()py t()H j()cy t()()np ttnT抽取抽取内插内插/C D/D CD()jH e0n3()xn0t()cyt0t()pytT()cxtt0(
29、)cyt()cx t()px t()x n2N 1()x n2()x n2(1)x n2N 3()x n()py t()H j()cy t()()np ttnT抽取抽取内插内插/C D/D CD()jH e0n2(1)x n2T()()ccy tx t3()()x nxnT627.6 7.6 频域采样频域采样 采样的本质采样的本质:将连续变量的函数离散化。将连续变量的函数离散化。在频域可以对连续的频谱进行采样。与时域在频域可以对连续的频谱进行采样。与时域 采样是完全对偶的。采样是完全对偶的。0()()kP jk()X j0000303()pXjSampling in Frequency Dom
30、ain Sampling in Frequency Domain()X j()pXj()P j630012()()kp ttk()()()px tx tp t在时域有：在时域有：0012()()pkxtx tk这表明：这表明：对信号的频谱在频域理想采样，相当于对信号的频谱在频域理想采样，相当于在时域将信号以在时域将信号以 为周期无限延拓。为周期无限延拓。02/00()()kX kk ()()()pXjX jP j在频域有：在频域有：64MTMT02/02/()pxtMTMT要使频域采样的样本能完全代表原信号，就必须保要使频域采样的样本能完全代表原信号，就必须保证信号在周期性延拓时不发生重叠。为
31、此要求：证信号在周期性延拓时不发生重叠。为此要求：1.1.信号信号 必须时限于必须时限于 。()x tMT2.022MT即即02MMTT65此时，可以通过矩形窗从周期性延拓的信号中截取此时，可以通过矩形窗从周期性延拓的信号中截取出原信号。出原信号。()w t 000|/t0|/t()()()px txt w t()w t0t0/0/0在频域，从频谱的样本重建连续频谱时的在频域，从频谱的样本重建连续频谱时的频域时频域时限内插限内插过程是过程是以矩形窗的频谱作为内插函数以矩形窗的频谱作为内插函数实现实现的。的。661()()()2pX jXjW j0()2 sinc(/)W j 内插函数内插函数0
32、00()()sinc()kkX jX k应该指出：应该指出：带限信号一定不时限；时限信号一定不带限。带限信号一定不时限；时限信号一定不带限。因此，因此，对带限信号在频域采样时，频谱的样本不能代表原对带限信号在频域采样时，频谱的样本不能代表原信号。对时限信号在时域采样时也是如此。信号。对时限信号在时域采样时也是如此。在频域有在频域有：67p可以，必须保证可以，必须保证在频谱的一个周期内采样的点在频谱的一个周期内采样的点数为整数，并且不能小于信号的长度数为整数，并且不能小于信号的长度。为什么？为什么？p对对有限长的离散时间信号有限长的离散时间信号是否可以在是否可以在频域频域采样？采样？2/MMN例：对一个例：对一个N点序列，必须以点序列，必须以 为频域的采样为频域的采样间隔，其中间隔，其中M M为整数，且满足：为整数，且满足：687.7 小结：小结：Summary1.连续时间信号的时域采样，采样定理连续时间信号的时域采样，采样定理3.欠采样引起的频谱混叠，及欠采样在工程实欠采样引起的频谱混叠，及欠采样在工程实际中的某些应用际中的某些应用4.连续时间信号的离散时间处理连续时间信号的离散时间处理5.离散时间信号的时域采样、抽取与内插离散时间信号的时域采样、抽取与内插6.频域采样频域采样2.从样本通过内插重建信号从样本通过内插重建信号
