1、传递与分离传递与分离第一篇 动量传递第二章 连续性方程与运动方程传递与分离传递与分离2.1 描述流体运动的两种方法描述流体运动的两种方法1.拉格朗日法：拉格朗日法：（法国科学家（法国科学家 Lagrange的观点）的观点）追随每一个追随每一个流体质点流体质点的运动，从而研究整个流场。的运动，从而研究整个流场。或者说：以流场中某一点作为描述对象或者说：以流场中某一点作为描述对象 描述它们的位置及其描述它们的位置及其它的物理量对时间的变化它的物理量对时间的变化拉格朗日法与欧拉法拉格朗日法与欧拉法流场（流场（Flow Field）：流体质点运动的全部空间）：流体质点运动的全部空间例如在某例如在某t时
2、刻：时刻：xyz121点：点：),(),(),(111111111tcbazztcbayytcbaxx),(),(),(222222222tcbazztcbayytcbaxx2点：点：传递与分离传递与分离2.欧拉法欧拉法：以流场中每一以流场中每一空间位置空间位置作为描述对象，描述作为描述对象，描述这些位置上流体物理参数对时间的分布规律这些位置上流体物理参数对时间的分布规律xyz12例如在某例如在某t时刻：时刻：1点：点：t1时刻：时刻：),(),(),(111tzyxuutzyxuutzyxuuzzyyxxt2时刻时刻),(),(),(222tzyxuutzyxuutzyxuuzzyyxx欧拉
3、法与拉格朗日法区别：欧拉法与拉格朗日法区别：欧拉法：以固定空间为研究对象，了解质点在某一位置时欧拉法：以固定空间为研究对象，了解质点在某一位置时 的流动状况的流动状况拉格朗日法：以质点为研究对象，研究某一时刻质点全拉格朗日法：以质点为研究对象，研究某一时刻质点全 部流动过程部流动过程在流动的流体中有无数个流体质点，要用拉格朗日法描述在流动的流体中有无数个流体质点，要用拉格朗日法描述每个质点的运动是很困难甚至不可能，很难实现，在流体每个质点的运动是很困难甚至不可能，很难实现，在流体力学中不常采用。一般在稀薄气体动力学和数值计算中用力学中不常采用。一般在稀薄气体动力学和数值计算中用得较多。得较多。
4、在流场中，由于辨认空间比辨认某一个质点容易。因在流场中，由于辨认空间比辨认某一个质点容易。因此，此，欧拉法欧拉法在流体力学中被广泛在流体力学中被广泛采用。例如：例如：水从管中以怎样的速度流出，风经过门窗等等，只水从管中以怎样的速度流出，风经过门窗等等，只要知道一定地点（水龙头处）一定断面（门窗洞口断面），要知道一定地点（水龙头处）一定断面（门窗洞口断面），而不需要了解某一质点，而不需要了解某一质点，或某一流体集团的全部流动过程或某一流体集团的全部流动过程传递与分离传递与分离着眼于流体质点着眼于流体质点，跟踪，跟踪质点描述其运动历程质点描述其运动历程着眼于空间点着眼于空间点，研究，研究质点流经空
5、间各固定质点流经空间各固定点的运动特性点的运动特性是描述液体运动是描述液体运动常用的一种方法。常用的一种方法。流线与迹线流线与迹线1、迹线、迹线(path line)：运动中的某一流体质点，在连续时间运动中的某一流体质点，在连续时间内所占据空间点的连线，即质点运动的轨迹内所占据空间点的连线，即质点运动的轨迹例如：在流动的水面上洒上一些木屑，木屑随水流漂流的途径例如：在流动的水面上洒上一些木屑，木屑随水流漂流的途径就是某一水点的运动轨迹就是某一水点的运动轨迹迹线是流体运动的一种几何表示，属于迹线是流体运动的一种几何表示，属于拉格朗日法拉格朗日法的研究内容的研究内容2、流线、流线(streamli
6、ne)：流线是某一瞬时在流速场中的一条描述流流线是某一瞬时在流速场中的一条描述流动状态的曲线，曲线上任一点的速度方向和该点的切线方向重合。动状态的曲线，曲线上任一点的速度方向和该点的切线方向重合。即：流线是同一时刻，不同即：流线是同一时刻，不同流体质点所组成的曲线流体质点所组成的曲线 流线可以形象地给出流场的流动状态。流线可以形象地给出流场的流动状态。通过流线，可以清楚地看出某时刻流场中各点的速度方向通过流线，可以清楚地看出某时刻流场中各点的速度方向由流线的密集程度，可以判定出速度的大小。流线的引入由流线的密集程度，可以判定出速度的大小。流线的引入是欧拉法的研究特点。是欧拉法的研究特点。例如：
7、在流动水面上同时撤一大片木屑，这时可看到这些木屑例如：在流动水面上同时撤一大片木屑，这时可看到这些木屑将连成若干条曲线，每一条曲线表示在同一瞬时各水点的将连成若干条曲线，每一条曲线表示在同一瞬时各水点的流动方向线就是流线。流动方向线就是流线。流线具有下面四个特性；流线具有下面四个特性；1.在在定常流动定常流动时，因为流场中各流体质点的速度不随时间变时，因为流场中各流体质点的速度不随时间变化，所以通过同一点的流线形状始终保持不变，因此化，所以通过同一点的流线形状始终保持不变，因此流线流线和迹线相重合和迹线相重合。而在。而在非定常流动非定常流动时，一般说来流线要随时时，一般说来流线要随时间变化，故
8、间变化，故流线和迹线不相重合。流线和迹线不相重合。2.通过某一空间点在给定瞬间只能有一条流线，一般情况流通过某一空间点在给定瞬间只能有一条流线，一般情况流 线不能相交和分支。否则在同一空间点上流体质点将同时线不能相交和分支。否则在同一空间点上流体质点将同时有几个不同的流动方向。只有在流场中速度为零或无穷大有几个不同的流动方向。只有在流场中速度为零或无穷大的那些点，流线可以相交，这是因为，在这些点上不会出的那些点，流线可以相交，这是因为，在这些点上不会出现在同一点上存在不同流动方向的问题。速度为零的点称现在同一点上存在不同流动方向的问题。速度为零的点称驻点驻点，速度为无穷大的点称为，速度为无穷大
9、的点称为奇点奇点。3.流线不能突然折转，只能平缓过渡。流线不能突然折转，只能平缓过渡。4.流线密集的地方，表示流场中该处的流速较大，稀疏的地流线密集的地方，表示流场中该处的流速较大，稀疏的地方，表示该处的流速较小。方，表示该处的流速较小。zyxudzudyudx流线的微分方程式。流线的微分方程式。传递与分离传递与分离物理量的时间导数物理量的时间导数偏导数全导数随体导数（substantial derivative）xyztdttt dxt dyt dzdx dy dz dDtttttuuuDxyz 一般地，随体导数的物理意义是流场中流体质点上的物理量（如温度）随时间和空间的变化率。因此，随体导
10、数亦称为质点导数。传递与分离传递与分离dduuuu)(=+质点加速度 位变加速度由流速不均由流速不均匀性引起匀性引起时变加速度由流速由流速不恒定不恒定性引起性引起传递与分离传递与分离uuuua)(ddzuuyuuxuuuuazzzyzxzzzddzuuyuuxuutuuaxzxyxxxxxddzuuyuuxuuuuayzyyyxyyydd分量分量形式形式传递与分离传递与分离ddxyzuuuxyz例如例如不可压不可压是其特例是其特例传递与分离传递与分离n连续性方程（微分质量）n微分能量方程 n运动方程（微分动量）0)()()(zuyuxuzyxzAqyAqxAqDDvPDDUzyx)/()/()
11、/().(312uupFDDug传递与分离传递与分离连续性方程连续性方程 连续性方程连续性方程 质量守恒定律对流质量守恒定律对流体运动的一个基本体运动的一个基本约束约束 用欧拉观点对质量守恒原用欧拉观点对质量守恒原理的描述：连续介质的运动理的描述：连续介质的运动必须维持质点的连续性，即必须维持质点的连续性，即质点间不能发生空隙。因此，质点间不能发生空隙。因此，净流入控制体的流体质量必净流入控制体的流体质量必等于控制体内因流体密度变等于控制体内因流体密度变化而增加的质量。化而增加的质量。传递与分离传递与分离微分质量衡算方程微分质量衡算方程单组份系统：（输出的质量流率）（输入的质量流率）累积的质量
12、速率0在x左侧面：输入微元体积的质量流率输出微元体积的质量流率zxydzdxdy(x,y,z)dydzuxdydzdydzuxdxdxdfffdydzdxxuuxx0)(dxxuuxx)(传递与分离传递与分离微分质量衡算方程n于是得到x方向输出与输入微元体积的质量流率之差：n同理在y方向：nZ方向：dydzdxxuuxx)(dxdydzxudydzuxx)(dxdzdyyuuyy)(dxdydzyudxdzuyy)(dxdydzzuuzz)(dxdydzzudxdyuzz)(传递与分离传递与分离微分质量衡算方程（输出的质量流率）-（输入的质量流率）累积的质量流率质量衡算：出-入累积0dxdyd
13、zzuyuxuzyx)()()(dxdydz)(dxdydzzuyuxuzyx)()()(0)(dxdydzzuyuxuzyx)()()(0)(微分质量衡算方程微分质量衡算方程n写成向量形式：n展开：zuyuxuzyx)()()(0)(0)()()()()()(zuyuxuzuyuxuzyxzyx0)()u传递与分离传递与分离几种算法符号及意义谢树艺，工程数学矢量分析与场论，人民教育出版社，1978年，北京n哈米尔顿（Hamilton)算子：n梯度n散度：zkyjxikzujyuixuuzkyjxiu)(zuyuxukujuiuzkyjxiuzyxzyx)(传递与分离传递与分离微分质量衡算方程
14、的进一步分析n由于密度是空间（x，y，z）和时间的连续函数，及：f(x,y,z,）n将密度进行全微分：n写成全导形式dzzdyydxxddddzzddyyddxxdd传递与分离传递与分离微分质量衡算方程的进一步分析zyxuzuyuxDD0)()()()()()(zuyuxuzuyuxuzyxzyx与随体导数定义：得：)()()(zuyuxuDDzyx传递与分离传递与分离随体导数的意义随体导数的意义局部导数局部导数：在一个固定 点（x,y,z)该量随时间的变化；对流导数对流导数：由于流体质点运动，从一个点转移到另一个点时发生的变化；所以上述方程式表明：流体微元体积上的一个点在d时间内从进入微元体
15、积的空间位置（x,y,z)移动到微元体积的空间位置（x+dx,y+dy,z+dz)时，流体密度随间的变化率.z(x,y,z)(zyxuzuyuxxydzdxdyzyxuzuyuxDD传递与分离传递与分离微分质量衡算方程的进一步分析微分质量衡算方程的进一步分析()27)yxzuuuDaDxyz 和（由可得：（2-7b）()()()100yxzuuuDxyzDDuD传递与分离传递与分离微分质量衡算方程的进一步分析0DvDvDD110DvDv DD v=1，对该式求随体导数，得：（2-9）比较（2-7b)与（2-9）：1yxzuuuDvuv Dxyz 传递与分离传递与分离体积变性率和线性变型率1yx
16、zuuuDvv Dxyz 体积变形率 速度向量的散度传递与分离传递与分离几种特殊情况下连续方程简化稳态流动，密度不随时间变化，即简化为：对于不可压缩流体，于时间与空间无关：（2-12）（2-12）不可压缩流体的连续性方程。0zuyuxuzyx)()()(0)(0)()()(zuyuxuzyx0zuyuxuzyx0u传递与分离传递与分离柱坐标和球坐标连续性方程式柱坐标和球坐标连续性方程式zxy(x,y,z)或（r,）zxy(x,y,z)或（r,z）传递与分离传递与分离柱坐标和球坐标连续性方程式n柱坐标：n球坐标：0)()(1)(1zruzurrrur0)(sin1)sin(sin1)(12uru
17、rrrurr传递与分离传递与分离微分动量衡算方程n用应力表示的运动方程 （2-16）nF诸外力的向量合；M流体的质量nU流体的速度向量；时间。n对于固定质量 且运动的流体而言n 速度u对时间的随体导数，表示流体的加速度duMdF)(DuDMF)(惯性力外力（质量）加速度运动方程运动方程传递与分离传递与分离微分动量衡算方程运动方程运动方程传递与分离传递与分离微分动量衡算方程n对于微元流体n在x、y、z三个方向：n力：质量力或体积力FB，作用在整个微元流体上；n 表面力或机械力，作用在微元流体诸表面上的外力，计为FS.它又可分为法向力和剪应力。DuDdxdydzdFFdiDuDdxdydzdFFd
18、zzizDuDdxdydzdFFdyyiyDuDdxdydzdFFdxxix运动方程运动方程传递与分离传递与分离质量力(体积力)n在x方向上：dFxB=XdxdydznX-单位质量流体的质量力在x方向上的分量。n重力Xgcos=Fxgn当X方向为水平方向时，nX=Fxg0,90度n当X方向为垂直方向，Xg9.81m/s2nX与重力方向可以相同，也可以不同gx运动方程运动方程传递与分离传递与分离表面力yzxxxxyxzxy 第一个下标表示应力分量的作用面与x轴垂直。第二个下标x、y、z表示应力方向为 x轴、y轴和z轴方向。xx 表示法向 应力分量。拉伸方向拉伸方向（向外）为正，压缩方向（向内）为
19、负。小微元流体在运动时，由于法向应力和剪应力的存在，使其发生形变。运动方程运动方程传递与分离传递与分离表面力六个表面，每一表面的机械应力均可分解成三个平行于x、y、z三个坐标轴的应力分量36=18个在x、y、z方向上各有六个。当小微元体体积缩小为一点时，相对表面上的法向应力与切线应力都是相应地大小相等、方向相反的。故只需采用9个机械应力就可以完全表达：3个法向分量，6个切线分量。zxydzdxdy上）(dyyyxyx右）(dxxxxxx后）(dzzzxzx前）(zx左）(xx下）(yx运动方程运动方程传递与分离传递与分离表面力n上述6个剪应力可以使小微元旋转且彼此不独立。可以由此关联起来。这四
20、个剪应力对于旋转轴线产生力矩：力矩质量力矩质量旋转半径旋转半径2角加速度角加速度2dyyyxyx2dxxxyxy2dxxxyxy2dyyyxyx dy/2 dx/2 o dx/2 dy/2xy运动方程运动方程传递与分离传递与分离表面力力矩质量力矩质量旋转半径旋转半径2角加速度角加速度（角加速度）旋转半径）2)()2)(22)2)(22dxdydzdydzdxdyydyydxdydzdxxdxxyxyxyxyxxyxyxyxy当小微元体积趋近于0使旋转半径趋近于0 同理：（角加速度）旋转半径）2(yxxyyxxyxzzxzyyz运动方程运动方程传递与分离传递与分离X方向表面力zxydzdxdy上
21、）(dyyyxyx右）(dxxxxxx后）(dzzzxzx前）(zx左）(xx下）(yxdxdydxdydzzdxdzdxdzdyydydzdydzdxxdFzxzxzxyxyxyxxxxxxxxS)dxdydzzyxdFzxyxxxxS)(简化后：运动方程运动方程传递与分离传递与分离X方向总的外力分量dFxn外力分量=质量力分量表面力分量dxdydzzyxXdxdydzdFdFdFdFzxyxxxxxSxBxzyxXDDuDDudxdydzdFzxyxxxxxxzyxgconDDuzxyxxxx（2-27a）运动方程运动方程传递与分离传递与分离以应力项表示的粘性流体运动微分方程以应力项表示的
22、粘性流体运动微分方程zyxXDDuzxyxxxxzyxYDDuzyyyxyyzyxZDDuzzyzxzz的偏微分方程法线应力、剪应力有关单位质量流体质量力、与密度、速度、时间、0),(zyxZYXuuufzxyxxxzyx运动方程运动方程传递与分离传递与分离问题与讨论系方程。另外还需补充若干个关变量个数，量之间关系，减少独立三个方程，必须找出变个：未知量体积力）。，个：已知量，个：自变量)()(),(,10(3;,4xzzxzyyzyxxyzzyyxxzyxuuuZYXzyxzyxXDDuzxyxxxxzyxYDDuzyyyxyyzyxZDDuzzyzxzz运动方程运动方程传递与分离传递与分离
23、应力与应变速率的关系n剪应力（-u联系起来)方向上的应变速率流体的粘度方向上的剪应力，xdyduxdyduxx:,:参考书：参考书：王绍亭王绍亭，陈涛，动量热量与质量传递，天津科学技术，陈涛，动量热量与质量传递，天津科学技术出版社，出版社，1986年。年。牛顿型流体的本构方程牛顿型流体的本构方程传递与分离传递与分离剪应力)(xuyuyxyxxy)(zuyuyzzyyz)(xuzuzxxzzx（2-34a)（2-34b)（2-34c)与速度关联起来传递与分离传递与分离法向应力)(32)(2zuyuxuxupzyxxxx)(32)(2zuyuxuyupzyxyyy)(32)(2zuyuxuzupz
24、yxzzz（2-35a)（2-35b)（2-35c)与速度关联起来传递与分离传递与分离剪应力和法线应力)(xuyuyxyxxy)(zuyuyzzyyz)(xuzuzxxzzx（2-34a)（2-34b)（2-34c)(32)(2zuyuxuxupzyxxxx)(32)(2zuyuxuyupzyxyyy)(32)(2zuyuxuzupzyxzzz（2-35a)（2-35b)（2-35c)传递与分离传递与分离粘性流体的运动微分方程粘性流体的运动微分方程（Navier-Stokes方程）方程）yxxxxzxDuXDxyz将（2-35)代入上式：22222222222222()()3()()yxxxz
25、yxxzuDuuuupXDxxxx yx zuuuuyx yzx z 传递与分离传递与分离粘性流体的运动微分方程粘性流体的运动微分方程（Navier-Stokes方程）方程）2222222222222222221()()31()()31()(3yxxxxxzyyyyyxzyxzzzzzuDuuuuuupXDxxyzxxyzDuuuuuuupYDyxyzyxyzuuDuuuuupZDzxyzzxyz)5个未知数，ux，uy，uz，p；加上连续性方程和状态方程f(，p)=0，5个方程，原则上可解。但由于非线性偏微分方程，目前还无法求其通解。为此，需根据实际加以简化，去掉一些项，使之可解传递与分离传
26、递与分离柱坐标222222221)(11)(zuururrurrrrpXxuuruururuuurrrrrrxrrrr分量：22222221)(111zuururrurrrprXzuuruuururuuurzrr分量：2222221)(11zururrurrrpXzuuururuuuzzzzzzzzzrz分量：球坐标球坐标ururururururrurrrrpXruuuruururuuurrrrrrrrrrrsin2cot222sin1)(sinsin111sin)(2222222222222分量：urruurururrurrrprXruruuuruururuuurrr222222222222
27、2sincos2sin2sin2)(sinsin1)(111cotsin分量：传递与分离传递与分离ururruururrurrrprXruuruuuruururuuurr222222222222sincos2sin2sinsin2)(sinsin1)(1sin11cotsin分量：球坐标球坐标传递与分离传递与分离讨论讨论21()3gDuFPuuD 可以写成向量方程：惯性力 质量力 压力 粘性力2222222222222222221()()31()()31()(3yxxxxxzyyyyyxzyxzzzzzuDuuuuuupXDxxyzxxyzDuuuuuuupYDyxyzyxyzuuDuuuuu
28、pZDzxyzzxyz)传递与分离传递与分离讨论n推导时假定剪应力和法向应力与变形速率为线性，假定带有一定任意性。故不能肯定N-S是流体运动真实描述，目前也没有求出N-S方程的普遍解，但就已知各别解均与实验结果吻合；n方程原则上使用于层流和湍流。但实际上只能直接用于层流（湍流太复杂）；n方程在一定条件下可以得到简化；传递与分离传递与分离方程简化n对于不可压缩流体n0;0yxzuuuDDxyz2222222222222222222()()()zgxxxxyyyyzzzzDuFPuDDuuuupXDxxyzDuuuupYDyxyzDuuuupZDzxyz 传递与分离传递与分离不可压缩N-S方程展开
29、式2222222222222()()zgxxxxxxyzxxxyyyyyxyzyyyzzzzzxyzDuFPuDDuuuuuuuuDxyzuuupXxxyzDuuuuuuuuDxyzuuupYyxyzDuuuuuuuuDxyz 222222()zzzuuupZzxyz传递与分离传递与分离消去质量力 gF21;111;sssssspppppXYZxxyzpppXYZyxz同理：12sdsdSdppppppppxxxpy zXx y zpy z 静压头，流体静止时；动压头，流体流动时。p1 y z x X p2 y z x传递与分离传递与分离消去质量力gF21;111;sssssspppppXYZ
30、xxyzpppXYZyxz2222222222222222222()()()zgxxxxyyyyzzzzDuFPuDDuuuupXDxxyzDuuuupYDyxyzDuuuupZDzxyz 传递与分离传递与分离以动压头表示的不可压缩N-S方程2222222222222222222()()()zdxdxxxyyyyddzzzzDuPuDDupuuuDxxyzDuuuupDyxyzpDuuuuDzxyz 222222222222222222211()1()1()zdxdxxxyyyyddzzzzDuPuDDupuuuDxxyzDuuuupDyxyzpDuuuuDzxyz Fluent M传递与分离传递与分离混合过程动量传递传递与分离传递与分离流体流动模型传递与分离传递与分离Turbulent flow around the hull of a very large crude oil carrier 传递与分离传递与分离要点总结要点总结n连续性方程和运动方程的推导；n方程中各项的意义；n特殊情况下方程的简化；n随体导数；n拉格朗日观点；n动压力和静压力；传递与分离传递与分离作业作业nP47-48n1，2，6，9
