1、距离型定值问题-2023 年高考数学之解密圆锥曲线命题点对点突破（全国通用）距离型定值问题-2023 年高考数学之解密圆锥曲线命题点对点突破（全国通用）一、解答题一、解答题1在平面直角坐标系 xOy 中，已知点1（3，0），2（3，0），点 M 满足|1|+|2|=4，记 M 的轨迹为 C以轨迹 C 与 y 轴正半轴交点 T 为圆心作圆，圆 T 与轨迹 C 在第一象限交于点A，在第二象限交于点 B（1）求 C 的方程；（2）求 的最小值，并求出此时圆 T 的方程；（3）设点 P 是轨迹 C 上异于 A，B 的一点，且直线 PA，PB 分别与 y 轴交于点 M，N，O 为坐标原点，求证：|为定值
2、2已知椭圆：22+22=1(0)的离心率为32，左、右焦点分别为曲线=226与 x 轴的两个交点（1）求 C 的方程；（2）点 P 是圆：2+2=2+2上的动点，过点 P 作 C 的两条切线，两条切线与圆 O 分别交于点 A，B（异于 P），证明：|为定值3在直角坐标系 xOy 中，长为 3 的线段 AB 的两端点 A，B 分别在 x，y 轴上滑动，动点 M 满足=2（1）求动点 M 的轨迹 E 的方程；（2）设过点(0，)的动直线 l 与（1）中的轨迹 E 交于 C，D 两点，是否存在定实数 t，使得1|2+1|2为定值？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由4设、分别为椭圆：22+2
3、2=1(0)的左、右顶点，设(0，1)是椭圆下顶点，直线与斜率之积为14（1）求椭圆的标准方程；（2）若一动圆的圆心在椭圆上运动，半径为2 55过原点作动圆的两条切线，分别交椭圆于、两点，试证明|2+|2为定值5已知椭圆：22+22=1(0)的左、右焦点分别为1，2，离心率=22，为椭圆上一动点，12面积的最大值为 2.（1）求椭圆的方程；（2）若 C，分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足 ，连接交椭圆于点，C为坐标原点.证明：为定值.6已知椭圆 C：22+22=1(0)的离心率为63，以椭圆 C 的右顶点 A 为圆心，作半径为 r 的圆(3)2+2=2，设圆 A 与椭圆 C 交于点 E，F.
4、（1）求 的最小值，并求此时圆 A 的方程；（2）设点 O 是坐标原点，点 P 是椭圆 C 上异于 E，F 的点，且满足直线 PE，PF 分别与 x 轴交于M，N 两点，证明：|为定值.7已知椭圆：22+22=1(0)的长轴长为4，离心率为32，其中左顶点为，右顶点为，为坐标原点.（1）求椭圆的标准方程；（2）直线=+(0)与椭圆交于不同的两点，直线，分别与直线=交于点，.求证：|为定值.8已知抛物线：=2(0)的焦点是，若过焦点的直线与相交于，两点，所得弦长|的最小值为 2（1）求实数的值；（2）设，是抛物线上不同于坐标原点的两个不同的动点，且以线段为直径的圆经过点，作 ，为垂足，试探究是否
5、存在定点，使得|为定值，若存在，则求出该定点的坐标及定值|，若不存在，请说明理由9已知椭圆：22+22=1(0)的左、右顶点分别为 A，1，右焦点为点，点是椭圆上一动点，1面积的最大值为 2，当 轴时，|=12.（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与椭圆有且只有一个公共点，直线与直线=4 33交于点，过点作轴的垂线，交直线于点.求证：|为定值.10已知椭圆 ：22+22=1(0)过点(2，1)，过右焦点 2 作 轴的垂线交椭圆于M，N 两点，且|=6.（1）求椭圆 的方程；（2）点 P，Q 在椭圆 上，且=13，D 为垂足.证明：存在定点 ，使得|为定值.11已知椭圆 ：22+22=1(0)的左
6、焦点为(，0)，上顶点为 .直线 与椭圆 交于另一点 ，且|=7|，点(3，12)在椭圆 上.（1）求椭圆 的方程.（2）过点(0，2)，且斜率为 的直线 与椭圆 相交于 ，两点，点 关于 轴的对称点为 ，作 ，垂足为 .是否存在定点 ，使得|为定值？若存在，求出定点 的坐标；若不存在，说明理由.12已知椭圆22+22=1(0)的左右焦点为1，2，且2(1，0)为长轴的一个四等分点.（1）求椭圆的标准方程；（2）分别过1，2作斜率为1，2的两条直线1和2，1与椭圆交于，两点，2与椭圆交于，两点，且1 2=1.求证：1|+1|为定值，并求出该定值.13在平面直角坐标系中，椭圆：22+22=1(0
7、)的离心率 =63，=6，直线 与 轴相交于点 ，与椭圆相交于点，；（1）求椭圆 的方程，（2）在 轴上是否存在点 ，使得 1|2+1|2 为定值？若存在，请求出点 的坐标，若不存在，请说明理由 14已知椭圆 C：22+22=1(0)的离心率为 32，左、右焦点分别为 1，2，O 为坐标原点，点 P 在椭圆 C 上，且有|1|=2，12=23（1）求椭圆 C 的方程；（2）设直线 l 不经过 P（0，1）点且与椭圆 E 相交于 A、B 两点，若直线 PA 与直线 PB 的斜率之和为 2，若 ，垂足为 M，判断是否存在定点 N，使得|为定值，若存在求出点N，若不存在，说明理由 15已知椭圆：22
8、+22=1(0)的离心率为23，1、2分别为椭圆的左右顶点，为椭圆的上顶点，1为椭圆的左焦点，且 11的面积为52.（1）求椭圆的方程；（2）设过点(1，0)的动直线交椭圆于、两点(点在轴上方)，、分别为直线1、2与轴的交点，证明：|为定值.16在平面直角坐标系中，点(0，1)，记动点 P 到直线 l：=2的距离为 d，且=|+1，设点 P 的轨迹为曲线 E（1）求曲线 E 的方程；（2）直线 m 交曲线 E 于 A，B 两点，曲线 E 在点 A 及点 B 处的切线相交于点 C设点 C 到直线l 的距离为 h，若ABC 的面积为 4，求证：存在定点 T，使得|恒为定值17已知抛物线：2=2(0
9、)的焦点为 F，点(2，0)为抛物线上一点，抛物线 C 在点处的切线与轴相交于点，且 的面积为 2.（1）求抛物线的方程.（2）若斜率不为 0 的直线过焦点 F，且交抛物线 C 于 A，B 两点，线段的中垂线与 y 轴交于点 M.证明：|为定值.18已知椭圆：22+22=1(0)的上下焦点分别为1，2，左右顶点分别为1，2，且四边形1122是面积为 8 的正方形.（1）求 C 的标准方程.（2）M，N 为 C 上且在 y 轴右侧的两点，1/2，2与1的交点为 P，试问|1|+|2|是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由.19在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O：2+2=3，点
10、 M，的坐标分别为(2，0)，(2，0)，且 N 为该平面内一点，以 MN 为直径的圆内切于圆 O，记点 N 的轨迹为曲线 C（1）求曲线 C 的方程（2）已知 P 为曲线 C 上一点，过原点 O 作以 P 为圆心，32为半径的圆的两条切线，分别交曲线C 于 A，B 两点，试问|2+|2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由20已知椭圆：22+22=1(0)的离心率为32，点(2，1)在椭圆上，与平行的直线交椭圆于，两点，直线，分别于轴正半轴交于，两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）求证：|+|为定值.答案解析部分答案解析部分1【答案】（1）解：由题可知，=3，2=4，即=2，所以=
11、43=1，所以曲线 C 的方程为24+2=1.（2）解：由题知(0，1)，设(，)(0 2，0 0，所以=2，椭圆的方程为24+2=1.（2）证明：设点坐标为(0，0)，即204+20=1当直线的斜率为0，此时0=2 55，0=2 55，则直线的斜率不存在，此时|2+|2=2+2=5；当直线的斜率存在且斜率不为0时，设直线的方程为=1，直线的方程为=2，设点(1，1)、(2，2)，联立=2+42=4，可得(42+1)2=4，则21=4421+1，22=4422+1，又圆与直线、相切，即|00|2+1=2 55，整理可得(2045)2200+2045=0，则1、2为关于的方程(2045)2200
12、+2045=0的两根，所以，12=20452045=1204452045=14，所以，|2+|2=(1+21)21+(1+22)22=4(21+1)421+1+4(22+1)422+1=4(21+1)421+1+4(11621+1)1421+1=4(21+1)421+1+1621+1421+1=5.综上：|2+|2为定值 55【答案】（1）解：当 P 为短轴端点时，12的面积最大，=2，故=22=22=2+2，解得=2，=2，故椭圆的方程为24+22=1.（2）解：由（1）知，(2，0)，(2，0)，设直线：=(+2)，(1，1)，(2，4)，联立24+22=1=(+2)，整理得(22+1)2
13、+822+824=0，由21=82422+1得1=24222+1，1=(1+2)=422+1，(24222+1，422+1)，=2 24222+1+4 422+1=4，故 为定值 4.6【答案】（1）解：根据题意，(3，0)，则=3，又离心率=63，则=2，故2=22=1，即椭圆的方程为23+2=1，设点(0，0)(0 0)，则203+20=1，易得，关于轴对称，则(0，0)，又点(3，0)，则 =(0 3，0)(0 3，0)=(0 3)220=202 30+31+203=43(03 34)214，当0=3 34，0=74时，有最小值为14，且2=|2=(0 3)2+20=58，故圆 A 的方
14、程为(3)2+2=58；（2）证明：设点(1，1)，(0，0)，则(0，0)，且1 0，203+20=1，213+21=1，则=1010，=1+010，可得：0=1010(0)，令=0，则(011010，0)，：+0=1+010(0)，令=0，则(01+101+0，0)，所以=01101001+101+0=202121202120=3(120)213(121)202120=3213202120=3，故|=|=|=3，为定值.7【答案】（1）解：由已知得2=4所以=2又因为椭圆的离心率为32，所以=32所以=3所以=22=43=1，所以椭圆的方程为24+2=1（2）证明：由=+，2+42=4得5
15、2+8+424=0，设(1，1)，(2，2)因为直线=+(0)与椭圆交于不同的两点，所以=(8)220(424)0解得 5 0)化为标准方程为：2=1，其焦点(0，14)，因为斜率一定存在，设其方程为=1+14，联立方程得：=1+142=1，整理得：21142=0，0恒成立其中(1，1)，(2，2)，1+2=1，1+2=1(1+2)+12=12+12，因为焦点弦长|=1+2+12=12+1，所以当12=0时，弦长|min=1=2所以，实数的值为12（2）解：由题意可知直线的斜率存在，设其方程为=+(0)联立方程得：=+2=2，整理得：222=0，=42+8 0其中(3，3)，(4，4)，3+4
16、=2，34=2，因为以为直径的圆经过点，所以 =0又因为 =34+34=34+322422=2+424=2+2=0，0，=2所以直线过定点(0，2)，又因为 ，所以 为直角三角形，所以当为斜边中点时，|为定值，此时|=12|=1所以定点为(0，1)，|为定值 19【答案】（1）解：设椭圆的半焦距为，(，)，将=代入22+22=1得2=2(122)=(22)22=42，所以|=|=2=12，因为点是椭圆上一动点，所以 ，所以 1面积=12|1|=2，由=22=2，求得=2=1，所以椭圆的方程为：24+2=1（2）解：由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为=+，联立=+24+2=1，整理可得(1
17、+42)2+8+424=0，因为直线与椭圆相切，所以=64224(1+42)(424)=0，得2=1+42，因为椭圆的右焦点为(3，0)，将=3代入直线得=3+，所以(3，3+)，所以|=|3+|，将=4 33代入直线可得=4 33+，所以(4 33，4 33+)，所以|2=(4 33 3)2+(4 33+)2=1632+8 33+2+13，|2|2=32+2 3+21623+8 33+2+13，将2=1+42代入上式，得|2|2=72+2 3+12823+8 33+43=34，所以|为定值3210【答案】（1）解：由已知得 42+12=1，且当 =时，|=22=6，联立 42+12=1，22
18、=6，解得 2=6，2=3，故椭圆 的方程为 26+23=1.（2）证明：设点(1，1)，(2，2)，因为=13，11122122=13，即(12)(22)3(11)(21)=0，*当直线 的斜率存在时，设方程为 =+，代入椭圆方程消去 得(22+1)2+4+226=0，0，1+2=422+1，12=22622+1.根据 1=1+，2=2+.代入*整理，得(132)12(3+23)(1+2)+1+632=0，结合根与系数的关系可得，22(4+3)5(421)=0，5(2+1)+(21)=0，当 =(21)时，直线 =+=2+1=(2)+1 过点(2，1)，不符合条件，当 =5(2+1)时，直线
19、方程为 =+5(2+1)=(+10)+5，故直线 恒过定点(10，5)，设(10，5)，当直线 的斜率不存在时，点(1，1)，(1，1)，此时(12)2+3213=0，又 216+213=1，可得 1=10（舍）或 1=2，与 点重合，与已知条件不符.直线 的斜率一定存在，故直线 恒过定点(10，5)由于 为定长，且 为直角三角形，为斜边，所以 的中点 满足|为定值，点 为(4，3).11【答案】（1）解：由题可知，(，0)，(0，)，设(，)，则 =(，)，=(+，)，因为|=7|，所以 =7，即 =7(+)=7，解得 =87=7，即点 的坐标为(87，7)，则 642492+149=1，整
20、理得=32.因为点(3，12)在椭圆 上，所以 32+142=1又 2=2+2，所以 =2，=1，=3故椭圆 的方程为 24+2=1（2）解：由题可知直线 的方程为 =+2，设点(1，1)，(2，2)，则(1，1).联立方程组 24+2=1，=+2，整理得(42+1)2+16+12=0，=(16)248(42+1)=64248 0，则 1+2=1642+1，12=1242+1，直线 的方程为 1=212+1(+1)，整理(12)+(2+1)=12+21.又 12+21=1(2+2)+2(1+2)=212+2(1+2)=842+1，令 =0，得 =12+211+2=12，所以 恒过定点(0，12
21、)，故在 中，存在定点(0，54)为斜边 的中点，使得|=12|=34，为定值.12【答案】（1）解：由已知=1，=2，所以2=22=3，因此椭圆的标准方程为24+23=1；（2）解：设 A（1，1），B（2，2），C（3，3），D（4，4）直线1：=1(+1)，2：=2(1)联立方程=1(+1)32+42=12得(3+421)2+821+42112=0，1+2=8213+421，12=421123+421，|=1+21(1+2)2412=12(1+21)3+421，联立方程=2(1)32+42=12得(3+422)2822+42212=0，同理可得|=12(1+22)3+422，1|+1|=
22、112(3+4211+21+3+4221+22)=112(6+721+722+821221+21+22+2122)由已知12=1，化简得1|+1|=712=定值.13【答案】（1）解：由题意得：=63，=6，=2，2=22=2，所以椭圆的方程为 26+22=1（2）解：设(0，0)，(1，1)，(2，2)，（）当直线 与 轴不重合时，设 的方程为 =+0代入 26+22=1 得：(2+3)2+20+206=0，则 1+2=202+31 2=2062+3|2=(2+1)21，|2=(2+1)22，1|2+1|2=(1+2)2212(2+1)2122=2 2(20+6)+(18320)2(206)
23、2+(206)2当 20+6=(026)218320=(026)2，即 20=3 时，无论 取何值，1|2+1|2 的值恒为 2，得点(3，0)，（）当直线 与 轴重合时，有(6，0)，(6，0)，(3，0)或(3，0)，均有 1|2+1|2=2由 i 和 ii 得，在 轴上是存在两点(3，0)，使得 1|2+1|2为定值.14【答案】（1）解：因为离心率为 32，故 222=34，解得 =2，又=32，故 =3.在 12 中有|1|=2，|2|=22=42，|12|=2=2 3，12=23，由余弦定理可得 122=4+(42)22 2 (42)cos23，化简可得 =1，故 =2，椭圆 C
24、的方程为 24+2=1（2）解：当直线 l 的斜率不存在时，设点(0，0)，(0，0)，此时有 010+010=2，解得 0=1，此时直线 l 的方程为 =1；当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 =+，(1)，(1，1)，(2，2)，联立 24+2=1=+化简可得(42+1)2+8+424=0，1+2=842+1，12=42442+1，又直线 PA 与直线 PB 的斜率之和为 2，故 111+212=2，代入直线方程有 1+11+2+12=2，化简得 2+(1)1+212=2，代入韦达定理有 2(1)8424=2，整理得 =1，故直线 =+=1 过定点(1，1)，当直线 l的方程为
25、 =1 时也满足，又 ，故存在，的中点(12，0)得|为定值15【答案】（1）解：由椭圆的离心率为23，得=23，于是=32，=52=|11|=12，11=1212 52=582=52，因此=2，=3，=5，椭圆的方程为29+25=1；（2）证明：易知，直线(EF)斜率不为 0，设方程为=+1，由=+1，29+25=1得(52+9)2+1040=0，设(1，1)，(2，2)，则1+2=1052+9，12=4052+9，则1=1052+92由直线1方程=11+3(+3)，得=311+3；由直线2方程=223(3)，得=3223；由此可得，|=1(23)2(1+3)=1(22)2(1+4)=122
26、112+42=4052+92(1052+92)4052+9+42=40+20+2(52+9)240+4(52+9)2=20+2(52+9)2220+2(52+9)2=12|为定值1216【答案】（1）解：由题意可知到定点的距离与到直线=1的距离相等 的轨迹是抛物线且2=1，=2，曲线的方程为2=4（2）解：设直线的方程为=+，(1，214)，(2，224)=+2=4,2,4,4,=,0,，,=,1,6,2,+,1,6,0,.1+2=412=4，=142，=12 切线的方程为=12(1)+214=12214方程为=22224联立得122=(1+2)(12)4=1+22=2，=121+22214=
27、124=，即(2，)设的中点为(0，0)，0=1+22=2，轴(2，22+)，(2，)，=22+2，|12|=4 2+=12 2(2+)4 2+=4(2+)32=42+=1 =2，存在定点(0，0)使得|=42+22=4(1)+22=22=117【答案】（1）解：由题意可知(2，2)，设抛物线 C 在点 P 处的切线方程为2=(+2)，联立2=22=(+2)得22(4+4)=0，由=422+4(4+4)=0解得=2，故切线方程为2=2(+2)，令=0，得=2，即(0，2)，又(0，2)，所以=12(2+2)2=2，解得=2，所以抛物线的方程为2=4（2）证明：由（1）可知(0，1)，显然直线的
28、斜率存在，故可设直线的方程为=+1，(1，1)，(2，2).联立方程组2=4=+1，消去得244=0，所以1+2=4，12=4，所以1+2=(1+2)+2=42+2，得|=1+2+2=42+4，所以线段 AB 的中点为(1+22，1+22)=(2，22+1)，中垂线所在直线的斜率=1，故线段 AB 中垂线所在的直线方程为221=1(2)，令=0，得=22+3，所以|=22+2，所以|=22+242+4=12为定值，得证.18【答案】（1）解：椭圆：22+22=1(0)的上下焦点分别为1(0，)，2(0，)，左右顶点分别为1(，0)，2(，0)，因为四边形1122是面积为 8 的正方形，所以有=
29、且4 12 =8，解得=22=2+2=8，所以椭圆的标准方程为：28+24=1；（2）解：因为1 2，所以|2|1|=|1|2|1|+1=|1|+1|2|+|1|1|=|+|1|1|1|=|1|2|+|1|1|，因为 N 为 C 上且在 y 轴右侧的点，所以|2|+|1|=2=4 2，因此|1|=|1|2|+|1|(4 2|2|)，同理可得：|2|=|2|2|+|1|(4 2|1|)，所以|1|+|2|=|1|2|+|1|(4 2|2|)+|2|2|+|1|(4 2|1|)=4 22|1|2|2|+|1|，设1，2的方程分别为：=+1，=1，设(1，1)，(2，2)(1，2 2 2=|，由椭圆
30、定义知，点 N 的轨迹是以，为左右焦点，长轴长为2 3的椭圆，而半焦距为 2，则短半轴长=(3)2(2)2=1，所以曲线 C 的方程为23+2=1.（2）解：设圆心(0，0)，则有20+320=3，圆：(0)2+(0)2=34，当20=34，即点(32，32)时，圆 P 与两坐标轴相切，则 OA，OB 分别为椭圆长半轴、短半轴，于是有|2+|2=3+1=4，当2034时，设过点 O 的圆 P 的切线方程为=，其中直线 OA，OB 的方程分别为=1，=2，由|00|2+1=32得：(4203)2800+4203=0，则1，2是此方程的二根，有12=42034203=13，由=2+32=3得2=3
31、1+32，设点(，)，(，)，则2=31+321，2=31+321，|2+|2=(1+21)2+(1+22)2=3(1+21)1+321+3(1+22)1+322=2+22+3(21+22)92122+3(21+22)+1=2+22+3(21+22)2+3(21+22)=4，综上得|2+|2=4，所以|2+|2是定值，此定值为 4.20【答案】（1）解：由题意2=2+2=3242+12=1，解得=2 2=2=6，所以椭圆的标准方程为28+22=1；（2）解：因为直线的斜率为12，则设直线的方程为=12+(0)，(1，1)，(2，2)，联立=12+28+22=1，得2+2+224=0，则=424 (224)=4 (2+4)0，解得2 0或0 2，1+2=2，12=224，直线的方程为1=1112(2)，令=0，则=2111+2=21121+1+2=41+22，同理可得=42+22，则|+|=|41+22|+|42+22|=|41+22+42+22|=|4(1+2)+1621612+(22)(1+2)+(22)2|=|82+16216224+(22)(2)+(22)2|=|8216224|=4.所以|+|为定值.
