1、广西柳州市 2023 届新高三理数摸底考试试卷广西柳州市 2023 届新高三理数摸底考试试卷一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1已知集合 =|2 1，=|1，则 =（）AB1，1C1，）D1，1）2设 ，若复数 1=2+的虚部与复数 2=+的虚部相等，则 1 2=（）A3+B1C3D33已知向量 ，的夹角为 3，且|=2，|=3，则 ()=（）A1B3 34C2D14执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（）A2B32C53D855若 =lg0.3，=log32，=log54，则（）A B C
2、D 6若 sin()=45，则 cos2（）A 2425B725C 725D24257设变量 x，y 满足约束条件 +2 0+2 0 1 1，则目标函数 =+的最小值为（）A2B3C2D08已知直线 =(0)与圆：(2)2+(1)2=4 相交于 A，B 两点|=2 3，则 k（）A15B43C12D5129今年中国空间站将进入到另一个全新的正式建造阶段，首批参加中国空间站建造的 6 名航天员，将会分别搭乘着神舟十四号和神舟十五号载人飞船，接连去往中国空间站，并且在上面“会师”中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁等 6 名航天员开展实验，其
3、中天和核心舱安排 3 人，问天实验舱安排 2 人，梦天实验的安排 1 人若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（）A44 种B48 种C60 种D50 种10若直线 =4 是曲线 =sin(4)(0)的一条对称轴，且函数 =sin(4)在区间0，12 上不单调，则 的最小值为（）A9B7C11D311函数 =()是定义域为 R 的偶函数，当 0 时，()=1162(0 2)(12)(2)，若关于 x 的方程()2+()+=0，有且仅有 6 个不同实数根，则实数 a 的取值范围是（）A（52，14）B（12，18）C(12，14)(14，18)D（12，14）12如图 1 所
4、示，双曲线具有光学性质；从双曲线有焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点若双曲线 E：2222=1(0，0)的左、右焦点分别为 1，2，从 2 发出的光线经过图 2 中的 A，B 两点反射后，分别经过点 C 和 D，且 cos=35，则 E的离 A C 心率为（）A52B173C102D 5二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，）13已知直线 =+是曲线 =ln+3 的一条切线，则 b 14(112)(1+)5 展开式中 2 的系数为 （用数字作答）15已知 A（3，1），B（3，0），P 是椭圆 216+27
5、=1 上的一点，则|+|的最大值为 16在正方体 1111 中，点 E 为线段 11 上的动点，现有下面四个命题：点 E 到直线 AB 的距离为定值；直线 DE 与直线 AC 所成角为定值；三棱锥 1 的外接球体积为定值；三棱锥 1 的体积为定值其中所有真命题的序号是 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并将答案写在答案卡相应题号的空白处）三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并将答案写在答案卡相应题号的空白处）17在锐角ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，已知 2sin=3 （1
6、）求角 A 的大小；（2）若 =2，=7，求ABC 的面积 18已知数列 满足 1=1，+1=2+1()（1）证明+1 是等比数列，并求 的通项公式；（2）求数列+1 的前 n 项和 192022 年北京冬奥会的申办成功与“3 亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了 200 人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占 23，而男生有 20 人表示对冰球运动没有兴趣 (2 0)0.100.050.0250.01002.7063.8415.0246.6352=()2(+)(+)(+)(+)
7、（1）完成 2 2 列联表，并回答能否有 97.5%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？有兴趣没兴趣合计男 110女 合计 （2）先从样本对冰球有兴趣的学生中按分层抽样的方法取出 5 名学生，再从这 5 人中随机抽取 3 人，记抽取的 3 人中有 X 名男生，求 X 的分布列和期望20如图，在三棱锥 中，=2，=2 2，O 为 AC 的中点 （1）证明：PO平面 ABC；（2）若点 M 在棱 BC 上，且 PM 与面 ABC 所成角的正切值为 6，求二面角 的平面角的余弦值 21已知函数()=+2 （1）讨论当 0 时，f（x）单调性 （2）证明：+222()22已知平面上动点 Q（x，
8、y）到 F（0，1）的距离比 Q（x，y）到直线：=2 的距离小 1，记动点 Q（x，y）的轨迹为曲线 C （1）求曲线 C 的方程（2）设点 P 的坐标为（0，1），过点 P 作曲线 C 的切线，切点为 A，若过点 P 的直线 m 与曲线 C 交于M，N 两点，证明：=答案解析部分答案解析部分1【答案】B2【答案】D3【答案】A4【答案】C5【答案】A6【答案】C7【答案】C8【答案】B9【答案】C10【答案】C11【答案】D12【答案】B13【答案】214【答案】515【答案】916【答案】17【答案】（1）解：由已知及正弦定理知：2sinsin=3sin因为 C 为锐角，则 sin 0，
9、所以 sin=32因为 A 为锐角，则 =3（2）解：由余弦定理，2+22cos=2则 2+44cos3=7，即 223=0即(3)(+1)=0，因为 0，则 =3所以ABC 的面积 =12sin=12 3 2sin3=3 3218【答案】（1）证明：法一：由+1=2+1，得+1+1=2(+1)Q 1+1=2 0+1+1+1=2(+1)+1=2所以+1 是首项为 2，公比为 2 的等比数列即+1=2，因此 的通项公式为=21法二：Q 1+1=2 0，且+1+1+1=2+1+1+1=2(+1)+1=2又所以+1 是首项为 2，公比为 2 的等比数列即+1=2，因此 的通项公式为=21（2）解：由
10、（1）知=21，令=+1 则=2+所以=1+2+=(21+1)+(22+2)+(2+)=(21+22+2)+(1+2+)=2(12)12+(1+)2=2+1+(1+)22综上=2+1+(1+)2219【答案】（1）解：根据已知数据得到如下列联表 有兴趣没有兴趣台计男9020110女603090合计15050200根据列联表中的数据，得到 2=200 (90 3020 60)2110 90 150 50=20033 6.0606.060 5.024有 97.5%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”（2）解：由题意得，按分层抽样方法抽取出来的 5 人中，有 3 个男生对冰球感兴趣，有 2 个女
11、生对冰球感兴趣，则 X 的可能取值为 1，2，3，(=1)=132235=310(=2)=231235=610(=3)=3335=110所以 X 的分布列为X123P310610110所以，的期望为()=1 310+2 610+3 110=9520【答案】（1）证明：连接 OB 法一：=2，=2 2，2+2=2，即ABC 是直角三角形，又 O 为 AC 的中点，=又=，=90 ，=，OB、AC 平面 ABCPO平面 ABC法二：连接 ，=，O 为 AC 的中点 Q =2，=2 2 ，=2，=62+2=2 ，=，OB、AC 平面 ABCPO平面 ABC（2）解：由（1）知 PO面 ABCOM 为
12、 PM 在面 ABC 上的射影，PMO 为 PM 与面 ABC 所成角=6=6，=1，在OMC 中由正弦定理可得 =1，M 为 BC 的中点法一：作 MEAC 于 E，E 为 OC 的中点，作 交 PA 于 F，连 MFMFPA MFE 即为所求=22=32=2 2 3432=3 64=2243 6=23 3=3 331=3 9331法二：分别以 OB，OC，OP 为 x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系M（22，22，0）=(22，3 22，0)，=(0，2，6)记 =(，)为面 AMP 的法向量则 =0 =022+3 22=0 2 6=0=3 3=3=1=(3 3，3，1)面 APC 的法
13、向量 =(1，0，0)易知 所成角为锐角记为，=|(，)|=|=3 331=3 933121【答案】（1）解：由题意可知 0，()=122=22+2对于二次函数 =22+，=18 当 18 时，0，()0 恒成立，f（x）在 0 上单调递减；当 0 0，f（x）在 (1 184，1+184)单调递增；当 (0，1 184)(1+184，+)()0，f（x）在 (0，1 184)和(1+184，+)单调递减综上：当 18 时，f（x）在（0，）单调递减当 0 ()，即证 +2（方法一）设()=2(0)，则()=1，()在（0，）上为增函数，因为(12)0，所以()在（12，1）上存在唯一的零点
14、m，且()=1=0，即=1，=所以 h（x）在（0，m）上单调递减，在(，+)上单调递增，所以()min=()=2=1+2 22=0因为 (12，1)，所以等号不成立，所()=2 0，所以 +2，从而原不等式得证（方法二）不妨设()=(+1)，则()=1，(0)=0，当 0 时，(0)0 时，(0)0，因此()(0)=0，(+1)0 恒成立，则()=(+1)(0)=0 恒成立，则(+1)+(+1)=(+2)0 恒成立，即 +2又 ，所以等号不成立，即 +2，从而不等式得证22【答案】（1）解：Q（x，y），由题意，得 2+(1)2=|+2|1，化简得 2=4，所以 Q 的轨迹方程 C 为 2=
15、4法二：定义法依题意 Q（x，y）到 F（0，1）的距离与 Q（x，y）到直线 y1 的距离相等，由抛物线定义知 Q 的轨迹方程 C 为以 F（0，1）为焦点以 =1 为准线的抛物线所以 Q 的轨迹方程 C 为 2=4（2）证明：不妨设(，24)(0)，因为 =24，所以=2，从而直线 PA 的斜率为 24+10=2，解得 =2，即 A（2，1），又 F（0，1），所以/轴要使 =，只需+=0设直线 m 的方程为 =1，代入 2=4 并整理，得 24+4=0 首先，=16(21)0，解得 1 其次，设 M（1，1），N（2，2），则 1+2=4，12=4+=111+212=2(11)+1(21)12=2(12)+1(22)12=22(1+2)12=2244=0故存在直线 m，使得 =，此时直线 m 的斜率的取值范围为(，1)(1，+)
