1、距离型定值距离型定值问问题题-2023 年高考数学年高考数学之之解密圆锥曲线命题点解密圆锥曲线命题点对对点突破（全国点突破（全国通通用用）一、解答题一、解答题1在平面直角坐标系 xOy 中，已知点1（3，0），2（3，0），点 M 满足|1|+|2|=4，记 M 的轨迹为 C以轨迹 C 与 y 轴正半轴交点 T 为圆心作圆，圆 T 与轨迹 C 在第一象限交于点A，在第二象限交于点 B1求 C 的方程；2求 的最小值，并求出此时圆 T 的方程；3设点 P 是轨迹 C 上异于 A，B 的一点，且直线 PA，PB 分别与 y 轴交于点 M，N，O 为坐标 原点，求证：|为定值2222已知椭圆：2+2
2、=1(0)的离心率为 3，左、右焦点分别为曲线=226与 x 轴的两个交点1求 C 的方程；2点 P 是圆：2+2=2+2上的动点，过点 P 作 C 的两条切线，两条切线与圆 O 分别交 于点 A，B（异于 P），证明：|为定值3.在直角坐标系 xOy 中，长为 3 的线段 AB 的两端点 A，B 分别在 x，y 轴上滑动，动点 M 满足=21求动点 M 的轨迹 E 的方程；2设过点(0，)的动直线 l 与（1）中的轨迹 E 交于 C，D 两点，是否存在定实数 t，使得|2|2 11+为定值？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由4设、分别为椭圆：2+2=1(0)的左、右顶点，设(0，1
3、)是椭圆下顶点，直线22与斜率之积为14（1）求椭圆的标准方程；（2）若一动圆的圆心在椭圆上运动，半径为2 5过原点作动圆的两条切线，分别交椭圆于 5、两点，试证明|2+|2为定值22225已知椭圆：+=1(0)的左、右焦点分别为12 22 ，离心率=，为椭圆上一动点，12面积的最大值为 2.（1）求椭圆的方程；（2）若 C，分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足 ，连接交椭圆于点，C为坐标原点.证明：为定值.2236已知椭圆 C：2+2=1(0)的离心率为 6，以椭圆 C 的右顶点 A 为圆心，作半径为 r 的2+2=2，设圆 A 与椭圆 C 交于点 E，F.圆(3)1求 的最小值，并求此时圆
4、 A 的方程；2设点 O 是坐标原点，点 P 是椭圆 C 上异于 E，F 的点，且满足直线 PE，PF 分别与 x 轴交于 M，N 两点，证明：|为定值.2227已知椭圆：2+2=1(0)的长轴长为4，离心率为 3，其中左顶点为，右顶点为，为坐标原点.（1）求椭圆的标准方程；（2）直线=+(0)与椭圆交于不同的两点，直线，分别与直线=交于点，.求证：|为定值.8已知抛物线：=2(0)的焦点是，若过焦点的直线与相交于，两点，所得弦长|的最小值为 21求实数的值；2设，是抛物线上不同于坐标原点的两个不同的动点，且以线段为直径的圆经过点，作 ，为垂足，试探究是否存在定点，使得|为定值，若存在，则求出
5、该定点的 坐标及定值|，若不存在，请说明理由222219已知椭圆：+=1(0)的左、右顶点分别为 A，右焦点为点，点是椭圆上2一动点，1面积的最大值为 2，当 轴时，|=1.（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与椭圆有且只有一个公共点，直线与直线=4 3交于点，过点作轴的垂3线，交直线于点.求证：|为定值.2210已知椭圆 ：2+2=1(0)过点(2，1)，过右焦点 2作 轴的垂线交椭圆于M，N 两点，且|=6 .（1）求椭圆 的方程；3（2）点 P，Q 在椭圆 上，且 =1，D 为垂足.证明：存在定点 ，使得|为定值.2211已知椭圆 ：2+2=1(0)的左焦点为(，0)，上顶点为 .直线 与
6、椭圆 交于另一点 ，且|=7|，点(312，)在椭圆 上.（1）求椭圆 的方程.（2）过点(0，2)，且斜率为 的直线 与椭圆 相交于 ，两点，点 关于 轴 的对称点为 ，作 ，垂足为 .是否存在定点 ，使得|为定值？若存在，求出 定点 的坐标；若不存在，说明理由.222212已知椭圆+=1(0)的左右焦点为1，且22(1，0)为长轴的一个四等分点.（1）求椭圆的标准方程；（2）分别过1，2作斜率为1，2的两条直线1和2，1与椭圆交于，两点，2与椭圆交于，|两点，且1 2=1.求证：1 +1.为定值，并求出该定值22313在平面直角坐标系中，椭圆：2+2=1(0)的离心率 =6，=6 ，直线
7、与 轴相交于点 ，与椭圆相交于点，；（1）求椭圆 的方程，|2|2（2）在 轴上是否存在点 ，使得 1+1为定值？若存在，请求出点 的坐标，若不存在，请说明理由22214已知椭圆 C：2+2=1(0)的离心率为 3，左、右焦点分别为 1，2，O 为坐标原点，点 P 在椭圆 C 上，且有|1|=2，12=231求椭圆 C 的方程；2设直线 l 不经过 P（0，1）点且与椭圆 E 相交于 A、B 两点，若直线 PA 与直线 PB 的斜率 之和为 2，若 ，垂足为 M，判断是否存在定点 N，使得|为定值，若存在求出点 N，若不存在，说明理由15已知椭圆：22222312+=1(0)的离心率为，、分别
8、为椭圆的左 右顶点，为椭圆的上顶点，1为椭圆的左焦点，且 11的面积为 5.2（1）求椭圆的方程；（2）设过点(1，0)的动直线交椭圆于、两点(点在轴上方)，、分别为直线1、2 与|轴的交点，证明：|为定值.16在平面直角坐标系中，点(0，1)，记动点 P 到直线 l：=2的距离为 d，且=|+1，设点 P 的轨迹为曲线 E1求曲线 E 的方程；2直线 m 交曲线 E 于 A，B 两点，曲线 E 在点 A 及点 B 处的切线相交于点 C设点 C 到直线l 的距离为 h，若ABC 的面积为 4，求证：存在定点 T，使得|恒为定值17已知抛物线：2=2(0)的焦点为 F，点(2，0)为抛物线上一点
9、，抛物线 C 在点处的切线与轴相交于点，且 的面积为 2.1求抛物线的方程.2若斜率不为 0 的直线过焦点 F，且交抛物线 C 于 A，B 两点，线段的中垂线与 y 轴交于点 M.证明：|为定值.18已知椭圆：22221212+=1(0)的上 下焦点分别为，左 右顶点分别为，且四边形1122是面积为 8 的正方形.（1）求 C 的标准方程.（2）M，N 为 C 上且在 y 轴右侧的两点，1/2，2与1的交点为 P，试问|1|+|2|是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由.19在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O：2+2=3，点 M，的坐标分别为(2，0)，(2，0)，且 N
10、为该平面内一点，以 MN 为直径的圆内切于圆 O，记点 N 的轨迹为曲线 C1求曲线 C 的方程2已知 P 为曲线 C 上一点，过原点 O 作以 P 为圆心，3为半径的圆的两条切线，分别交曲线2C 于 A，B 两点，试问|2+|2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由22220已知椭圆：2+2=1(0)的离心率为 3，点(2，1)在椭圆上，与平行的直线交椭圆于，两点，直线，分别于轴正半轴交于，两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）求证：|+|为定值.答案解析部答案解析部分分1【答案】（1）解：由题可知，=3，2=4，即=2，所以=43=1，所以曲线 C 的方程为2+2=1.4（2）解：
11、由题知(0，1)，设(，)(0 2，0 0，所以=2，椭圆的方程为2+2=1.22（2）证明：设点坐标为(0，0)，即 0+0=1554当直线的斜率为0，此时0=2 5，0=2 5，则直线的斜率不存在，此时|2+|2=2+2=5；当直线的斜率存在且斜率不为0时，设直线的方程为=1，直线的方程为=2，设点(1，1)、(2，2)，联立=2+42=4，可得(42+1)2=4，121242+142+1则2=42=4，2+15|00|又圆与直线、相切，即=2 5，202 0 0204455整理可得()2+=0，则、1204522为关于的方程()2 0 02045+=0的两根，240 520 524025
12、1 0 14所以，12=4=4 4 5=，所以，|2+|2=(1+2)2+(1+2)2=112214(2+1)1+24(2+1)242+142+1=224(1+1)41+1+1624(1+1)1 1 42+1=24(1+1)+2161+12241+141+1=5.1综上：|2+|2为定值 55【答案】（1）解：当 P 为短轴端点时，12的面积最大，=2，故=22=22=2+2，解得=242，=2，故椭圆的方程为2+2=1.（2）解：由（1）知，(2，0)，(2，0)，设直线：=(+2)，(1，1)，(2，4)，联立422+2=1=(+2)，整理得(22+1)2+822+824=0，由2122+
13、122+1=824 得 =242，11122+1=(+2)=4，(242，42424)，=2+4=4，22+1 22+122+122+1故 为定值 4.36 【答案】（1）解：根据题意，(3，0)，则=3，又离心率=6，则=2，故2=223=1，即椭圆的方程为2+2=1，232设点(0，0)(0 0)，则 0+0=1，易得，关于轴对称，则(0，0)，又点(3，0)，则 =(3，)(3，)=30000(0)222000 =2 3+31+230=34(03 3)241，4当0=3 34，0 741422=时，有最小值为，且=|=0(3)22058+=，故圆 A 的方程为(3)2258+=；2323
14、22（2）证明：设点(1，1)，(0，0)，则(0，0)，且1 0，0+0=1，1+1=1，则1010=，101+0=，可得：0=10100()，令=0，则(0 11 010，0)，：+0=+1 0100()，令=0，则(01+10 1+0，0)，所以 =01101001+101+0=222222100 11 0=013(12)23(12)2221010=1323222100=3，故|=|=|=3，为定值.7【答案】（1）解：由已知得2=4所以=2又因为椭圆的离心率为 3，所以=3所以=322所以=22=43=1，4所以椭圆的方程为2+2=1（2）证明：由 =+，得52+8+424=0，2+4
15、2=4设(1，1)，(2，2)因为直线=+(0)与椭圆交于不同的两点，所以=(8)220(424)0解得 5 0)化为标准方程为：2=1，其焦点(0，)，因为斜44率一定存在，设其方程为=1+1，联立方程得：=1+1 412=211 42，整理得：=0，0恒成立其中(，)，(，)，+112212=1，+=(12112 1 12 1 22+)+=+，因为焦点弦长|=+12 1 121212+=+，所以当=0时，弦长|min=1=2所以，实数的值为12（2）解：由题意可知直线的斜率存在，设其方程为=+(0)联立方程得：=+，整理得：222=0，=42+8 02=2其中(3，3)，(4，4)，3+4
16、=2，34=2，因为以为直径的圆经过点，所以 =0又因为 =+=3 43 43 4+32 42=2+42=2+2=0，224 0，=2所以直线过定点(0，2)，又因为 ，所以 为直角三角形，所以当为斜边中点时，|为定值，1此时|=|=12所以定点为(0，1)，|为定值 19 【答案】（1）解：设椭圆的半焦距为，(，)，将=代入2+2=1得2=2(12)=(22)2=4，22222所以|=|=2=1，2因为点是椭圆上一动点，所以 ，2所以 1面积=1|=2，|1由 =22，求得 =2，=2=1所以椭圆的方程为：2+2=14（2）解：由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为=+，=+联立 224+
17、=1，整理可得(1+42)2+8+424=0，因为直线与椭圆相切，所以=64224(1+42)(424)=0，得2=1+42，因为椭圆的右焦点为(3，0)，将=3代入直线得=3+，所以(3，3+)，所以|=|3+|，3333将=4 3代入直线可得=4 3+，所以(4 3，4 3+)，2所以|=(4 332 3)+(4 338 3216 212+)=3 +3 +，3|232+2 3+2|2=162+8 3 +2+1，将 33322=1+4 代入上式，得|2|72+2 3+12=28238 343|4=，所以|为定值 3+3 +32221 0【答案】（1）解：由已知得 4+1=1，且当 =时，|=
18、22=6，联立22 4+1=1，22=6，解得2=6，2=3，故椭圆 的方程为 2+2=1.63（2）证明：设点(1，1)，(2，2)，因为 =1，11 21=1，312 223即(12)(22)3(11)(21)=0，*当直线 的斜率存在时，设方程为 =+，代入椭圆方程消去 得(22+1)2+4+226=0，0，+12，1 222+122+1=4=226.根据 1=1+，2=2+.代入*整理，得(132)12(3+23)(1+2)+1+632=0，结合根与系数的关系可得，22(4+3)5(421)=0，5(2+1)+(21)=0，当 =(21)时，直线 =+=2+1=(2)+1 过点(2，1
19、)，不符合条件，当 =5(2+1)时，直线方程为 =+5(2+1)=(+10)+5，故直线 恒过定点(10，5)，设(10，5)，1当直线 的斜率不存在时，点(1，1)，(1，1)，此时(12)2+323=0，又1+22631=1，可得 1=10（舍）或 1=2，与 点重合，与已知条件不符.直线 的斜率一定存在，故直线 恒过定点(10，5)由于 为定长，且 为直角三角形，为斜边，所以 的中点 满足|为定 值，点 为(4，3).1 1 【答案】（1）解：由题可知，(，0)，(0，)，设(，)，则 =(，)，=(+，)，因为|=7|，所以 =7，即=7(+)=7，解得=87=7，77492492即
20、点 的坐标为(8)，则 642+1=1，整理得 =3.，1因为点(3，)2422在椭圆 上，所以 3+1=1又 2=2+2，所以 =2，=1，=3故椭圆 的方程为 2+2=14（2）解：由题可知直线 的方程为 =+2，设点(1，1)，(2，2)，则(1，1).联立方程组2+2=1，4=+2，整理得(42+1)2+16+12=0，=(16)248(42+1)=64248 0 ，则 1+2=16 ，12=12，42+142+121 直线 的方程为 1=+2111221(+)，整理()+(+)=+1 22 1.42+1又 12+21=1(2 +2)+2(1 +2)=212 +2(1 +2)=8，令
21、=0，得 =12+21+122=，所以 112 恒过定点(0，)，故在 中，存在定点(0，424513)为斜边 的中点，使得|=|=，为定值.1 2【答案】（1）解：由已知=1，=2，所以2=22=3，因此椭圆的标准方程为2+2=1；43（2）解：设 A（1，1），B（2，2），C（3，3），D（4，4）直线1：=1(+1)，2：=2(1)联立方程32+42=12111=1(+1)得(3+42)2+82+4212=0，1+2=823+4211，12=142123+421，1|=1+2(1+2)2412=12(1+2)3+4211，32+42=12222联立方程=2(1)得(3+42)282+4
22、212=0，同理可得|=12(1+2)3+4222，11|12+=(1 3+4211+3+421+21+22122)=(1 6+72+72+822121+2+2+221 2121 2)12 117 由已知12=1，化简得+=定值.|13【答案】（1）解：由题意得：3=6，=6，=2，2=22=2，所以椭圆的方程为 2+2=162（2）解：设(0，0)，(1，1)，(2，2)，（）当直线 与 轴不重合时，设 的方程为 =+0226222020代入+=1 得：(+3)+2+6=0，则1+2=202+31 2=0262+3|2=(2+1)2，|2=(2+1)2，12 11(1+2)2212+=|2|
23、2(2+1)221 2=2 00 2(2+6)+(1832)002(26)2+(26)2当02+6=(026)2221830=(0 6)22，即 0=3 时，无论 取何值，11|2+2 的值恒为 2，得 点(3，0)，（）当直线 与 轴重合时，有(6，0)，(6，0)，(3，0)或(3，0)，|2|2均有 1+1=2 11由 i 和 ii 得，在 轴上是存在两点(3，0)，使得|2+|2为定值.24221 4【答案】（1）解：因为离心率为 3，故 22=3，解得 =2，又 =3，故 =3.在 12 中 有|1|=2，|2|=22=42，|12|=2=2 3，12=322，由余弦定理可得 122
24、=4+(42)22 2 (42)cos，化简可得 =1，故 =2，34椭圆 C 的方程为 2+2=1（2）解：当直线 l 的斜率不存在时，设点(0，0)，(0，0)，此时有 01+0100=2，解得 0=1，此时直线 l 的方程为 =1；当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 =+，(1)，(1，1)，(2，2)，联立4=+化简可得(42+1)2+8+424=0，1+2=2+2=18 42+1，12=42+112424，又直线 PA 与直线 PB 的斜率之和为 2，故 11+21=2，代入直线方程有1+1+2+1=2，化简得121+22+(1)12=2，代入韦达定理有 2(1)424
25、8=2，整理得 =1，故直线 =+=1 过定点(1，1)，当直线 l21的方程为 =1 时也满足，又 ，故存在，的中点(，0)得|为定值15【答案】（1）解：33由椭圆的离心率为2，得=2，于是23，2=5=|1 12|=，1 1 1112228 5 5 2 52=，因此=2，=3，=5，椭圆的方程为2+2=1；95（2）证明：易知，直线(EF)斜率不为 0，设方程为=+1，=+1，由 2+2=1 得(52+9)2+1040=0，95设(1，1)，(2，2)，则1+2=10，12=40，52+952+9则 1=10 252+91由直线 方程=1 1+3(+3)，得1+3=31；2由直线 方程=
26、2(3)，得2323=32；由此可得，|=1(23)=1(22)=1221 2(1+3)2(1+4)12+42=40 10 52+9 2(52+9 2)40 52+9+42=40+20+2(52+9)240+4(52+9)2=20+2(52+9)2220+2(52+9)22=1|1|为定值 21 6【答案】（1）解：由题意可知到定点的距离与到直线=1的距离相等2 的轨迹是抛物线且=1，=2，曲线的方程为2=44224（2）解：设直线的方程为=+，(1，1)，(2，2)2=4,=+2 4 4 =0，=1 6 2+1 6 0.1+2=41 2 =4，=1 2142，=121412214 切线的方程
27、为=2(1)+=22方程为=224联立得212=(1+2)(12)=1+2=2，=1 2241+222 1=4124=，即(2，)设的中点为(0，0)，0=1+2=2，轴2(2，22+)，(2，)，=22+2，|12|=4 2+132222 =2 2(+)4 +=4(+)2=4+=1222 =2，存在定点(0，0)使得|=42+2=4(1)+2=2=11 7 【答案】（1）解：由题意可知(2，2)，2设抛物线 C 在点 P 处的切线方程为=(+2)，2=2联立 2=(+2)得22(4+4)=0，由=422+4(4+4)=0解得=2，故切线方程为22=(+2)，令=0，得=2，即(0，2)，又(
28、0)，所以，2=122 (2+)2=2，解得=2，所以抛物线的方程为2=4（2）证明：由（1）可知(0，1)，显然直线的斜率存在，故可设直线的方程为=+1，(1，1)，(2，2).联立方程组2=4=+1，消去得244=0，所以1+2=4，12=4，所以1+2=(1+2)+2=42+2，得|=1+2+2=42+4，所以线段 AB 的中点为(1+21+222，)=(2，221+1)，中垂线所在直线的斜率=，21故线段 AB 中垂线所在的直线方程为2 1=(2)，令=0，得=22+3，所以|=22+2，|42+42|1所以=22+2=为定值，得证.1 8【答案】（1）解：椭圆：222212+=1(0
29、)的上下焦点分别为 (0，)，(0，)，左右顶点分别为1(，0)，2(，0)，因为四边形1122是面积为 8 的正方形，2所以有=且4 1 =8，解得=22=2+2=8，所以椭圆的标准方程为：2+2=1；84（2）解：因为1 2，所以|2|=|2|+1=|+|2|+|1|=|+|1|1|1|1|1|1|1|1|1|=|1|1|，因为 N 为 C 上且在 y 轴右侧的点，|2|+|1|所以|2|+|1|=2=4 2，|2|+|1|因此|1|=|1|(4 2|2|)，|2|+|1|同理可得：|2|=|2|(4 2|1|)，所以|1|+|2|=|1|(4 2|2|)+|2|(4 2|1|)=4 22
30、|1|2|2|+|1|2|+|1|2|+|1|，设1，2的方程分别为：=+1，=1，设(1，1)，(2，2)(1，2 2 2=|，由椭圆定义知，点 N 的轨迹是以，为左右焦点，长轴长为2 3的椭圆，而半焦距为 2，则短半轴长=(3)2(2)2=1，3所以曲线 C 的方程为2+2=1.（2）解：设圆心(0，020)，则有+320=3，圆：(020234)+()=，0422当2=3，即点(3，3)时，圆 P 与两坐标轴相切，则 OA，OB 分别为椭圆长半轴、短半轴，于是有|2+|2=3+1=4，20341当 时，设过点 O 的圆 P 的切线方程为=，其中直线 OA，OB 的方程分别为=，=2，由|
31、00|2+1 32022 0 020=得：(4 3)8+4 3=0，则1，21 2是此方程的二根，有=042304233=1，由=2+32=32得=31+32，设点(，)，(，2)，则=31+322，=31+3211，|2+|2=(1+2)2+(1+2)2=1213(1+2)1+23(1+2)1+321+322=2+1222+3(2+2)922+3(2+2)+11 212=2+1222+3(2+2)2+3(2+2)=4，20【答案】（1）解：由题意12综上得|2+|2=4，所以|2+|2是定值，此定值为 4.2=2+2 3=222 4+1=1，解得=2 2=2，=6所以椭圆的标准方程为2+2=1；82（2）解：因为直线的斜率为1，则设直线的方程为=1 +(0)，(，1)，(，)，21222联立=1 +2+2282=1，得2+2+224=0，则=424 (224)=4 (2+4)0，解得2 0或0 2，1+2=2，12=224，12直线的方程为1=11(2)，2111 1+11+22令=0，则 =21+2=21+2=4，2+22同理可得=4，1+222+221+222+22 4444则|+|=|+|=|+|=|4(1+2)+162161 2 +(22)(+)+(22)2|=|82+16216224+(22)(2)+(22)222412|=|8216|=4.所以|+|为定值.
