1、数列（解答数列（解答题题）大数据之五大数据之五年年（2018-2022）高考真题高考真题汇汇编（新高考卷编（新高考卷与与全国理科全国理科）一、解答题一、解答题1已知 为等差数列，是公比为 2 的等比数列，且 22=33=44（1）证明：1=1；（2）求集合|=+1，1 500 中元素个数2记 为数列 的前 n 项和已知 2+=2+1（1）证明：是等差数列；（2）若 4，7，9 成等比数列，求 的最小值3记 为数列 的前 n 项和，已知 1=1，是公差为 1，的等差数列.3（1）求 的通项公式；（2）证明：1+1+1 成立的 n 的最小值31235设 是首项为 1 的等比数列，数列 满足 =，已
2、知，3 ，9 成等差数列.（1）求 和 的通项公式；（2）记 和 分别为 和 的前 n 项和.证明：0，231，且数列 是等差数列证明：是等差数列7已知数列an的各项均为正数，记 Sn 为an的前 n 项和，从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立.数列an是等差数列：数列 是等差数列；a2=3a1 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.8记 Sn 为数列an的前 n 项和，bn 为数列Sn的前 n 项积，已知 2+1=2.1证明：数列bn是等差数列；2求an的通项公式.9已知 是公差为 2 的等差数列，其前 8 项和为 64 是公比大于 0 的等比数列，1=4，32=48（1）
3、求 和 的通项公式；（2）记 =2+1，.（i）证明 22 是等比数列；（ii）证明=1+122 2 2()10已知数列 满足 1=1，+1=+1，为奇数+2，为偶数（1）记 =2，写出 1，2，并求数列 的通项公式；（2）求 的前 20 项和11设数列an满足 a1=3，+1=34 1计算 a2，a3，猜想an的通项公式并加以证明；2求数列2nan的前 n 项和 Sn12设 是公比不为 1 的等比数列，1 为 2，3 的等差中项（1）求 的公比；（2）若 1=1，求数列 的前 n 项和13已知公比大于 1 的等比数列 满足 2+4=20,3=8（1）求 的通项公式；（2）求 1223+(1)
4、1+1.14已知公比大于 1 的等比数列 满足 2+4=20,3=8（1）求 的通项公式；（2）记 为 在区间(0,()中的项的个数，求数列 的前 100 项和 100 15已知 为等差数列，为等比数列，1=1=1,5=5(43),5=4(43)（）求 和 的通项公式；+1（）记 的前 项和为 ，求证：+2 0，+1 2所以 2 2，即 1+1+1 即：25 26，整理可得：(1)(6)0，解得：6，又 为正整数，故 的最小值为 7.5【答案】（1）因为 是首项为 1 的等比数列且 1，32，93 成等差数列，所以 62=1+93，所以 61=1+912，1 1，所以 3=3.（2）证明：由（
5、1）可得 =1 (1 1)1 13233 =31(1)，332313=1+2+1+，3 32331=1+2+1+33+1，23311 3233得 =1+1 3 3+11(1 1)1 13=33 3+12=11(1)33+1，431 所以=(13)2 3，31 所以=(1)31 24343 (1)=2 32 3 0，所以 0)，则 =(+)2 ，当 =1 时，1=1=(+)2；当 2 时，=1=(+)2(+)2=(2+2)；因为 也是等差数列，所以(+)2=(2+2)，解得 =0；所以 =2(21)，所以 2=31.选作条件证明：因为 2=31，是等差数列，所以公差 =21=21，2所以 =1+
6、(1)=21 ，即=1，因为+1 =1(+1)1=1，所以 是等差数列.选作条件证明：设=+(0)，则 =(+)2 ，当 =1 时，1=1=(+)2；当 2 时，=1=(+)2(+)2=(2+2)；因为 2=31，所以(3+2)=3(+)2，解得 =0 或 =4；3当 =0 时，1=2，=2(21)，当 2 时，1=22 满足等差数列的定义，此时 为等差数列；433当 =4 时，=+=，1=0)，所以 32=121=4(2)=48，解得 =4（负值舍去），所以 =11=4，；4（2）（i）由题意，=2+1=42+1，24)42所以 2=(42+1 2(44+1)=2 4，2所以 2 0，且2+
7、12+222=2 4+12 4=4，所以数列 22 是等比数列；22+1（ii）由题意知，=(21)(2+1)=421 422 42 222 22，所以22+1422 222 2221 21=，所以+12 122 =1 21，设=1=1 123 =+，212021222122122232则 1=1+2+3+，22111 22两式相减得 =1+1 212=1 (1 1)1 122 2=2+22，+2所以=4 21，所以=1+12 1 22=1 1+2=(4)1)，则3=12=82+4=1+13=20，整理可得：225+2=0，1,=2,1=2，数列的通项公式为：=2 21=2.（2）解：由于：(
8、1)1+1=(1)1 2 2+1=(1)122+1，故：1223+(1)1+1=2325+2729+(1)1 22+1=231(22)822+31(22)55=(1).1 4【答案】（1）解：由于数列 是公比大于 1 的等比数列，设首项为 1，公比为 q，依题意有1+13=20，解得解得 1112=82=2,=2，或 =32,=1(舍)，所以 =2，所以数列 的通项公式为 =2 .（2）解：由于 21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128，所以1 对应的区间为：(0,1，则 1=0；2,3 对应的区间分别为：(0,2,(0,3，则 2=3=1，即有 2 个
9、1；4,5,6,7 对应的区间分别为：(0,4,(0,5,(0,6,(0,7，则 4=5=6=7=2，即有 22 个2；8,9,15 对应的区间分别为：(0,8,(0,9,(0,15，则 8=9=15=3，即有 23 个3；16,17,31 对应的区间分别为：(0,16,(0,17,(0,31，则 16=17=31=4，即有 24个 4；32,33,63 对应的区间分别为：(0,32,(0,33,(0,63，则 32=33=63=5，即有 25个 5；64,65,100 对应的区间分别为：(0,64,(0,65,(0,100，则 64=65=100=6，即有37 个 6.所 以 100=1 2
10、+2 22+3 23+4 24+5 25+6 37=480.1 5【答案】解：()设等差数列 的公差为 d，等比数列 的公比为 q.由 1=1，5=5(43)，可得 d=1.从而 的通项公式为 =.由 1=1,5=4(43)，又 q0，可得 24+4=0，解得 q=2，从而 的通项公式为 =21.2()证明：由()可得 =(+1)，故 +2=1414222(+1)(+2)(+3)，+1=(+1)(+2)，从而+22+12=1+1)(+2)0，(所以+2 2+1.()当 n 为奇数时，=(32)=(32)21=2+1 21，+2(+2)+2当 n 为偶数时，+1211=，对任意的正整数 n，有=
11、121=1(22 222)=22 1，2+1 212+1和2=1=1214=1+3+5+23+21442434141由得 4=12=42+43+44+1 3 5 23 214+4+1 由得342=1442=+122 2144+12(1 1)1 144=44 1 214+1，2(1 1)1 144由于 44 1 214+13 344=2 211 214412=156+53 4+1，从而得：=12=9 9 45 6+5.2=1因此，=21+=142=12+1 9 4 96+5 4.所以，数列 的前 2n 项和为42+1 9 4 96+54.1 6【答案】解：（）解：设等差数列 的公差为 d，等比数
12、列 的公比为 q 依题意，得3=3+23215+4=3，解得 =3，故 =3+3(1)=3,=3 31=3.所以，的通项公式为 =3，的通项公式 为 =3.（）解：11+22+22=(1+3+5+21)+(21+42+63+2)(1)=3+6+(6 31+12 32+18 33+6 3)2=32+6(1 31+2 32+3)=1 31+2 32+3 .3=1 32+2 33 +33+1 ，132-得，=2=3323+3+1=3(13)=(21)3+1+3.所以，1 12 2+=32+62 2=32+3 (21)3+1+32=(21)3+2+62+92()21 7【答案】（1）解：由题设得 4(
13、+1+1)=2(+)，即+1+1=1+)又(2因为 a1+b1=l，所以 +是首项为 1，公比为 1 的等比数列 由题设得 4(+1+1)=4()+8，即+1+1=+2 又因为 a1b1=l，所以 是首项为 1，公差为 2 的等差数列21（2）由（1）知，+=1，=21 222(1，222=111(+)()=+18【答案】解：（I）根据三者成等比数列，可 知(3+8)2=(2+10)(4+6)，故(10+2+8)2=(10+10)(10+3+6)，解得 d=2，故 =10+2(1)=212；（）由（I）知 =(10+212)=211，2该二次函数开口向上，对称轴为 n=5.5，故 n=5 或
14、6 时，取最小值-30.19【答案】（1）设数列的公差为 d，由题意有：a1=-7，S3=3a2=-15a2=-5，d=2an=a1+（n-1）d=-7+2（n-1）=2n-9 所以an的通项公式为：an=2n-9（2）由（1）知数列an的前 n 项和 =(1+)=(7+29)=(8)22Sn=n（n-8）=n2-8n=（n-4）2-16-16当 n=4 时取等，所以 Sn 的最小值为-162 0【答案】（1）解：因为 1=1，a5=4a3 q4=4q2 q=2 =21 或 =(2)121（2）解：=1 21=21又 =6321=632=64=62 1【答案】解：（），1 =ln2，2+3=5ln2+=5ln2=4ln2，144=ln2+(1)ln2=ln2，4 1=3ln2，则=ln2。（）=ln2=2，211+2+.+=2 21=2+12，
