1、上海市 2022 届高三数学模拟卷 上海市 2022 届高三数学模拟卷 一、填空题一、填空题1设集合=0，1，2，=1，若 ，则实数=2已知为虚数单位，若复数=13+4，则|=3不等式32 2的解集是 4若方程组+2=32+=2无解，则实数=5从总体中抽取 6 个样本：4，5，6，10，7，4，则总体方差的点估计值为 .6若数列的前 n 项和=23+13，则数列的通项=.7二项式(31)15 展开式中的常数项是 8小明给朋友发拼手气红包，1 毛钱分成三份（不定额数，每份是 1 分的正整数倍），若这三个红包被甲、乙、丙三位同学抢到，则甲同学抢到 5 分钱的概率为 9如图，为双曲线2222=1(0
2、)的右焦点，过作直线与圆2+2=2切于点，与双曲线交于点，且恰为线段的中点，则双曲线的渐近线方程是 .10若函数()=cos(+4)(0)在0，的值域为1，22，则 的取值范围是 11若分段函数()=32 023 0，将函数=|()()|，的最大值记作，那么当2 2时，2，+4的取值范围是 ；12已知向量 ，满足|=3，|=1，若存在不同的实数 1,2(12 0)，使得=+3，且()()=0(=1,2),则|12|的取值范围是 二、单选题二、单选题13设 0，则“=1”是“+2 恒成立”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件14已知0 ，若lim+1+2=2
3、5，则（）A=25B=5C=25Db=-515已知函数()=sincos（、为常数 0，R）在=4处取得最小值，则函数(34)是（）A偶函数，且图象关于点(，0)对称B偶函数，且图象关于点(32，0)对称C奇函数，且图象关于点(32，0)对称D奇函数，且图象关于点(，0)对称16已知数列，以下两个命题：若+，+，+都是递增数列，则，都是递增数列；若+，+，+都是等差数列，则，都是等差数列，下列判断正确的是（）A都是真命题B都是假命题C是真命题，是假命题D是假命题，是真命题三、解答题三、解答题17如图，正四棱锥中.（1）求证：平面；（2）若=2，=4 23，求二面角的余弦值.18已知()=3si
4、n+3cos(0)（1）设=(+)(0 2)是周期为的偶函数，求，；（2）若()=(3)在(2，3)上是增函数，求的最大值；并求此时()在0，的取值范围.19如图，是某景区的两条道路（宽度忽略不计，为东西方向），Q 为景区内一景点，A 为道路 上一游客休息区，已知 tan=3，=6（百米），Q 到直线 ，的距离分别为 3（百米），6 105（百米），现新修一条自 A 经过 Q 的有轨观光直路并延伸至道路 于点 B，并在 B 处修建一游客休息区.（1）求有轨观光直路 的长；（2）已知在景点 Q 的正北方 6 百米的 P 处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为 9 分钟，表演时，喷泉喷洒区域
5、以 P 为圆心，r 为半径变化，且 t 分钟时，=2 （百米）（0 9，0 1）.当喷泉表演开始时，一观光车 S（大小忽略不计）正从休息区 B 沿（1）中的轨道 以 2（百米/分钟）的速度开往休息区 A，问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由.20定义符号函数sgn()=1 01 1满足=1？请说明理由答案解析部分答案解析部分1【答案】0，22【答案】153【答案】(23，45)4【答案】25【答案】1336【答案】(2)17【答案】50058【答案】199【答案】y=2x10【答案】34，3211【答案】4，6012【答案】2,2 2)2 2，23)13【答案】A14【答案】D1
6、5【答案】D16【答案】D17【答案】（1）证明：因为是正棱锥，在面内射影是与的交点，即 面，又 ，与在面内相交，面；（2）解：=13 22 =4 23，=2，=2+2=2，则 与 为边长是 2 的正三角形，取的中点，连，则 ，是二面角的平面角，cos=3+382 3 3=13，=cos(13)18【答案】（1）解：()=3sin+3cos=2 3sin(+3)，设(+)=2 3sin(+)+3=2 3sin(+3)，因为(+)的周期为，故2=，故=2.所以(+)=2 3sin(2+2+3)，而(+)为偶函数，所以2+3=+2，即=2+12，因为0 2，故=12，综上，=2，=12.（2）解：
7、()=(3)=2 3sin(3+3)，令22 3+3 2+2，解得2563 2+63，故函数()的单调递增区间为2563，2+63，所以存在 使得2563 2 0，所以=0，故563 2363即0 0）.由|30+3|10=6 105，解得 0=3，所以(3,3).故直线 的方程为 =(6)，由 =3+6=0 得 =3,=9,即(3,9)，故 =(36)2+92=9 2，答：水上旅游线 的长为 9 2.（2）解：将喷泉记为圆 P，由题意可得(3,9)，生成 t 分钟时，观光车在线段 上的点 C 处，则 =2，0 9，所以(3+,9).若喷泉不会洒到观光车上，则 2 2 对 0,9 恒成立，即
8、2=(6)2+2=2212+36 4，当 =0 时，上式成立，当 (0,9 时，2 +186，(+186)min=6 26，当且仅当 =3 2 时取等号，因为 (0,1)，所以 1，(0)=0，所以(1)(0)1，1+2 0，或 1，32 0，解得：12或 32，所以实数的取值集合为(，12 32，+).（2）解：当=1时，()=22(21)，21 0，2+2(21)，21 0，所以()=22(21)，1 或 1，2+2(21)，1 1，因为()=()在区间(2，0)上有唯一零点，所以方程=()在区间(2，0)上有唯一的根，所以函数=与=()在区间(2，0)上有唯一的交点，函数=()的图象，如
9、图所示：当8 1时，()(1)2+2(2)322(1)23+23，所以2 23+231=22+3+3在 0，1)恒成立，所以2 2+3+3=8 4.当0 1时，()(1)22(2)sgn(2)21，）当 1时，上式22(2)21，所以2 22+1在 ，1)恒成立，所以2 2+1，此时0 1的数都成立；）当0 时，()(1)2+2(2)21，所以2 22+1在 0，)恒成立，当 14，即0 116时，2 2 +10 1，所以0 116；当14 1，即116 1时，2 2(14)214+1 716，所以116 716；所以0 716；综合可得：0 0，所以数列单调递增再证“必要性”假设存在 使得为偶数，则+1=2 1满足=1，理由如下：因为1=1，为奇数，所以2=1+2且2为偶数，3=1+2 假设为奇数时，；为偶数时，2当为奇数时，+1=+2，且+1为偶数；当为偶数时，+1=2 所以若+1为奇数，则+1；若+1为偶数，则+1 2因此对 都有 2所以正整数数列中的项的不同取值只有有限个，所以其中必有相等的项设集合=(，)|=，1且1=1(1 时，11=1，11=1，所以11=11所以若1 1，则11 且11 1，与1是中的最小元素矛盾所以1=1，且存在1 1满足=1
