1、 高三数学二模试卷一、单选题1已知 aR ， i 是虚数单位，若复数 z=a21+(a+1)i 为纯虚数，则 a= （） A0B1或-1C-1D12已知集合 A=1，2 ， B=2，4 ， C=z|z=xy，xA，yB ，则C中元素的个数为（） A1B2C3D43“ a=3 ”是“直线 ax+y3=0 与 3x+(a2)y+4=0 平行”的（） A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件4已知函数 f(x)=2x1，x0，x12，x0， 若 f(m)=3 ，则m的值为（） A3B2C9D2或95(2+x)(x+1x)4 的展开式中，常数项为（） A2B6C8D126济南市
2、洪家楼天主教堂于2006年5月被国务院列为全国重点文物保护单位.它是典型的哥特式建筑.哥特式建筑的特点之一就是窗门处使用尖拱造型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形.如图2， AC 和 BC 所在圆的圆心都在线段AB上，若 ACB=rad ， |AC|=b ，则 AC 的长度为（） Ab2sin2Bb2cos2Cbsin2D2bcos27如图，ABC是边长为3的等边三角形，D在线段BC上，且 BD=2DC ，E为线段AD上一点，若 ABE 与 ACD 的面积相等，则 BEAC 的值为（） A14B14C34D348已知数列 11 ， 21 ， 12 ， 31 ， 22 ， 13 ， 4
3、1 ， 32 ， 23 ， 14 ，其中每一项的分子和分母均为正整数.第一项是分子与分母之和为2的有理数；接下来两项是分子与分母之和为3的有理数，并且从大到小排列；再接下来的三项是分子与分母之和为4的有理数，并且从大到小排列，依次类推.此数列第n项记为 an ，则满足 an=5 且 n20 的n的最小值为（） A47B48C57D58二、多选题9袋中装有除颜色外完全相同的1个红球和2个白球，从袋中不放回的依次抽取2个球.记事件A=“第一次抽到的是白球”，事件B=“第二次抽到的是白球”，则（） A事件A与事件B互斥B事件A与事件B相互独立CP(B)=23DP(A|B)=1210下列不等关系中一定
4、成立的是（） Alog32log23B(15)25(12)15C(1+n)12n2 ， nN+11过抛物线 y2=4x 焦点F的直线交抛物线于A，B两点（A在第一象限），M为线段AB的中点.M在抛物线的准线l上的射影为点N，则下列说法正确的是（） A|AB| 的最小值为4BNFABCNAB面积的最小值为6D若直线AB的斜率为 3 ，则 AF=3FB12在棱长为1的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F，G分别为线段 CC1 ，CD，CB上的动点（E，F，G均不与点C重合），则下列说法正确的是（） A存在点E，F，G，使得 A1E 平面EFGB存在点E，F，G，使得 FEG+EFC+EGC
5、=C当 A1C 平面EFG时，三棱锥 A1EFG 与C-EFG体积之和的最大值为 12D记CE，CF，CG与平面EFG所成的角分别为 ， ， ，则 sin2+sin2+sin2=1三、填空题132022年4月24日是第七个“中国航天日”，今年的主题是“航天点亮梦想”.某校组织学生参与航天知识竞答活动，某班8位同学成绩如下：7，6，8，9，8，7，10，m.若去掉m，该组数据的第25百分位数保持不变，则整数 m(1m10) 的值可以是 （写出一个满足条件的m值即可）. 14已知 F1 ， F2 分别为双曲线 x2a2y2b2=1(a0，b0) 的左右焦点，点P在双曲线上，若 PF2F1F2 ，
6、PF1F2=30 ，则双曲线的离心率为 . 15在高为2的直三棱柱 ABCA1B1C1 中，ABAC，若该直三棱柱存在内切球，则底面ABC周长的最小值为 . 16已知函数 f(x)=|lnx|+ax+ax(a0) ，则函数 f(x) 的最小值为 ；若关于x的方程 ex+ex|lnalnxa|ax=0 有且仅有一个实根，则实数a的取值范围是 . 四、解答题17从某企业的某种产品中随机抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果制成如图所示的频率分布直方图.（1）求这100件产品质量指标值的样本平均数 x （同一组数据用该区间的中点值作代表）； （2）已知某用户从该企业购买了3件该产品，
7、用X表示这3件产品中质量指标值位于 35，45 内的产品件数，用频率代替概率，求X的分布列. 18已知 ABC 内角A，B，C的对边分别为a，b，c， A+C=2B ， ABC 的面积 S=34a . （1）求边c；（2）若 ABC 为锐角三角形，求a的取值范围. 19在底面为正三角形的三棱柱 ABCA1B1C1 中，平面ABC平面 BCC1B1 ， CBB1=60 ， AA1=2AB=4 . （1）证明： B1CA1C1 ； （2）求二面角 CABA1 的余弦值. 20已知 an 是递增的等差数列， a1+a5=18 ， a1 ， a3 ， a9 分别为等比数列 bn 的前三项. （1）求数
8、列 an 和 bn 的通项公式； （2）删去数列 bn 中的第 ai 项（其中 i=1，2，3， ），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列 cn ，求数列 cn 的前n项和 Sn . 21已知椭圆C的焦点坐标为 F1(1，0) 和 F2(1，0) ，且椭圆经过点 G(1，32) . （1）求椭圆C的方程；（2）若 T(1，1) ，椭圆C上四点M，N，P，Q满足 MT=3TQ ， NT=3TP ，求直线MN的斜率. 22已知函数 f(x)=eaxa ， a0 . （1）若曲线 y=f(x) 在点 (1，f(1) 处的切线在y轴上的截距为 1 ，求a的值； （2）是否存在实数t，使得有且仅有一个实
9、数a，当 x0 时，不等式 f(x)tx 恒成立？若存在，求出t，a的值；若不存在，说明理由. 答案解析部分1【答案】D2【答案】C3【答案】A4【答案】C5【答案】D6【答案】A7【答案】D8【答案】C9【答案】C,D10【答案】A,B,C11【答案】A,B,D12【答案】A,C,D13【答案】7或8或9或10（填上述4个数中任意一个均可）14【答案】315【答案】6+4216【答案】2a；(1e，+)17【答案】（1）解：由已知得： x=100.01510+200.04010+300.02510+400.02010=25 . （2）解：因为购买一件产品，其质量指标值位于 35，45 内的概
10、率为0.2， 所以 XB(3，0.2) ，所以 X=0，1，2，3 .P(X=0)=(10.2)3=0.512 ，P(X=1)=C310.2(10.2)2=0.384 ，P(X=2)=C320.22(10.2)=0.096 ，P(X=3)=0.23=0.008 ，所以X的分布列为X0123P0.5120.3840.0960.00818【答案】（1）解：因为 A+C=2B ， A+B+C= ，所以 B=3 ； 因为 S=12acsinB=34ac=34a ，所以 c=1 .（2）解：在 ABC 中，由正弦定理 asinA=csinC ， 由（1）知 B=3 ， c=1 ，代入上式得： a=sin
11、AsinC=sin(C+3)sinC=12sinC+32cosCsinC=12+32tanC ，因为 ABC 为锐角三角形，则 A+C=23，A=23C0) ，数列 bn 的公比为q， 由已知得 a1+a1+4d=18(a1+2d)2=a1(a1+8d) ，解得 a1=3 ， d=3 ，所以 an=3n ；所以 b1=a1=3 ， q=a3a1=3 ，所以 bn=3n .（2）解：由题意可知新数列 cn 为： b1 ， b2 ， b4 ， b5 ， 则当n为偶数时Sn=(b1+b4+b3(n2)2)+(b2+b5+b3(n2)1)=3(127n2)127+32(127n2)127=6(27n2
12、1)13 ，则当n为奇数时，Sn=Sn1+cn=Sn1+b3(n+12)2=Sn1+b3n12=6(27n121)13+33n12 ，综上： Sn=6(27n21)13，n为偶数6(27n121)13+33n12，n为奇数 .21【答案】（1）解：由题意可知，c=1， 设椭圆方程为 x2a2+y2a21=1 ，将点 (1，32) 代入椭圆方程，得 (a24)(4a21)=0 ，解得 a2=14 （舍）， a2=4 ，所以椭圆方程为 x24+y23=1 .（2）解：设 M(x1，y1) ， Q(x2，y2) ， N(x3，y3) ， P(x4，y4) ， T(1，1) ， 因为 MT=3TQ ，
13、所以 1x1=3(x21)1y1=3(y21) ，即 x2=4x13y2=4y13 ，又 M(x1，y1) ， Q(x2，y2) 都在椭圆上，所以 x124+y123=1 ， 14(4x13)2+13(4y13)2=1 ，即 x124+y123=114(4x1)2+13(4y1)2=9 ，-得 14(42x1)4+13(42y1)4=8 ，即 14(2x1)+13(2y1)=1 ，又 NT=3TP ，同理得 14(2x3)+13(2y3)=1 -得 14(x1x3)+13(y1y3)=0 ，所以 kMN=y1y3x1x3=1413=34 .22【答案】（1）解：由题意 f(x)=aeax ，
14、f(1)=aea ，又因为 f(1)=eaa ， 所以 f(x) 在 (1，f(1) 处的切线方程为 yea+a=aea(x1) ，即 y=aeaxaea+eaa ，令 x=0 ，得 aea+eaa=1 ， (ea+1)(1a)=0 ，因为 ea+10 ，所以 1a =0，a=1；（2）解： x0 ， f(x)tx 恒成立，即 eaxatx0 恒成立. 令 g(x)=eaxatx(x0) ， g(x)=aeaxt ，当 t0 时， g(x)=aeaxt0 恒成立，所以 g(x) 在 (0，+) 上单调递增，故当 x0 时， g(x)g(0)=1a0 ，只需 a1 即可，与有且仅有一个实数a矛盾
15、，不符合题意；当 t0 时，令 g(x0)=0 ，得 x0=1alnta ，当 x00 时，即 ta 时， g(x) 在 (0，+) 上单调递增，则 g(x)g(0)=1a0 ；当 x00 时，即 ta 时， g(x) 在 (0，x0) 上单调递减，在 (x0，+) 上单调递增，所以 g(x)g(x0)=tatalntaa0 ，综上， a1 ， 0a；由题意知，上述不等式关于a有唯一解.（i）若 t1 ，对于式， ta1 无解.对于式，令 (a)=1lntaa2t ， 0at ，(a)=1a2at=t2a2at ， (a)=0 时， a=t2 ，所以 (a) 在 (0，t2) 上单调递增，在 (t2，t) 上单调递减，故只需 (t2)=1lntt2t2t=0 即可，解得 t=e2 ，此时 a=e2 ，符合题意；（ii）若t=1，对于式，a=1，对于式， 1ln1aa20 ，当 a=12 时成立，不合题意；（）若 0t0) 恒成立.
