1、 高三数学第三次模拟考试试卷一、单选题1设集合 M=x|x2=x ， N=x|lgx0 ，则 MN= （） A0,1B(0,1C0,1)D(,12在复平面内，复数z对应的点是(1，1)，则zz+1=（）A1+iB1+iC1iD1i3下列一组数据1、2、2、3、4、4、5、6、6、7的30%分位数为（）A2B3C4D254若等比数列an的各项均为正数，且a1a10=9，则log9a1+log9a2+log9a10=（）A6B5C4D1+log3525马林梅森（MarinMersenne，1588-1648）是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物梅森在欧几里得、费
2、马等人研究的基础上对2p1作了大量的计算、验证工作人们为纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如2p1（其中p是素数）的素数，称为梅森素数（素数也称质数）在不超过30的素数中，随机选取3个不同的数，至少有一个为梅森素数的概率是（）A815B15C715D651206一热水放在常温环境下经过t分钟后的温度T将合公式：TTa=(12)t(T0Ta)，其中Ta是环境温度，T0为热水的初始温度，h称为半衰期一杯85的热水，放置在25的房间中，如果热水降温到55，需要10分钟，则一杯100的热水放置在25的房间中，欲降温到55，大约需要多少分钟?（）（lg20.3010，lg30.4771）A11.3B13
3、.2C15.6D17.17函数y=f(2x1)是R上的奇函数，函数y=f(x)图像与函数y=g(x)关于y=x对称，则g(x)+g(x)=（）A0B-1C2D18已知抛物线y2=4x的焦点为F，过F的直线与抛物线交于A，B两点，A位于第一象限，则|AF|+3|BF|的最小值是（）A23B23+1C23+2D23+4二、多选题9下列命题正确的是（）A“a1”是“1a0，则logaMN=logaM+logaND若ac2bc2，则ab10已知长方体ABCDA1B1C1D1，AB=AA1=2，BC=1，则下列结论正确的是（）A平面A1BD/平面B1D1CB直线C1A平面A1BDC直线B1C与直线BD所
4、成的锐角为3D四面体ABDA1外接球的半径为3211已知函数f(x)=2cos(x+)(0，|1，下列选项正确的是（）A点(0，0)是函数f(x)的零点Bx1(0，1)，x2(1，3)，使f(x1)f(x2)C函数f(x)的值域为e1，+)D若关于x的方程f(x)22af(x)=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是(0，+)12e三、填空题13已知半径为R的圆O内有一条长度为2的弦AB，则OAAB= 14(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为 15已知F1，F2分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的左，右焦点，直线l：y=3x与椭圆C的一个交点为M，若MF1MF2，
5、则椭圆的离心率为 16已知空间四边形PABC，PAPB，PBPC，PCPA，PA=PB=PC=3，球心O在平面ABC上，且与直线PA、直线PB、直线PC都相切，则球O的半径为 （直线与球面有唯一公共点称为直线与球相切）四、解答题17在(2ca)sinC=(b2+c2a2)sinBb，cos2AC2cosAcosC=34，3cbcosA=tanA+tanB这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中，问题：在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，b=23，_（1）求角B（2）求2ac的范围18已知四棱锥PABCD，底面ABCD是平行四边形，且CBDB侧面PCD是边长为2的等边三角形，且平面
6、PCD平面ABCD点E在线段PC上，且直线PA/平面BDE（1）求证：PE=EC；（2）设二面角PBDC的大小为，且tan=6求直线BE与平面ABCD所成的角的正切值19已知数列an中，满足a1=a，a2=b，an+1=k(an+an+2)对任意nN都成立，数列an的前n项和为Sn（1）若an是等差数列，求k的值；（2）若a=b=1，且an+an+1是等比数列，求k的值，并求Sn202022年3月，全国大部分省份出现了新冠疫情，对于出现确诊病例的社区，受到了全社会的关注为了把被感染的人筛查出来，防疫部门决定对全体社区人员筛查核酸检测，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有k个人，
7、把这k个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k个人的血液全为阴性，因而这k个人只要检验一次就够了；如果为阳性，为了明确这k个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这k个人再逐个进行检验假设在接受检验的人群中，随机抽一人核酸检测呈阳性概率为p=0.003，每个人的检验结果是阳性还是阴性是相互独立的（1）若该社区约有2000人，有两种分组方式可以选择：方案一是：10人一组；方案二：8人一组请你为防疫部门选择一种方案，并说明理由；（2）我们知道核酸检测呈阳性，必须由专家二次确认，因为有假阳性的可能；已知该社区人员中被感染的概率为0.29%，且已知被感染的人员核酸检测呈阳性的概率为99.9%，若检测
8、中有一人核酸检测呈阳性，求其被感染的概率（参考数据：（0.9978=0.976，0.99710=0.970，）21设双曲线C：x23y2=1，其右焦点为F，过F的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点（1）求直线l倾斜角的取值范围；（2）直线AO（O为坐标原点）与曲线C的另一个交点为D，求ABD面积的最小值，并求此时l的方程22已知函数f(x)=x14(2a)x212ax2lnx(e=2.71828)（1）当a=12时，证明函数f(x)有两个极值点；（2）当00，所以tanB=3，因为0B，所以B=3（2）解：在ABC中，由（1）及b=23，bsinB=asinA=csinC=2332=4，故a
9、=4sinA，c=4sinC，2ac=8sinA4sinC=8sinA4sin(23A)=8sinA23cosA2sinA=6sinA23cosA=43sin(A6)因为0A23，则6A6212sin(A6)1，2343sin(A6)43所以2ac的范围为(23，43)18【答案】（1）证明：连AC交BD于F，连EFABCD是平行四边形，AF=FC直线PA/平面BDE，PA面PAC，面PAC面BDE=EF，PA/EFPE=EC（2）解：方法一：取DC中点O，OC中点G，连PO，OF，GE，BG侧面PCD是边长为2的等边三角形PO=3，POCD平面PCD平面ABCD，平面PCD平面ABCD=CD
10、PO平面ABCDOD=OC，DF=FBFOBC，FO=12BCCBDBFOBDPFBDPFO是二面角PBDC的平面角PFO=tan=POFO=6FO=22BC=2BD=CD2BC2=2=BCBOCD，BO=1BG=BO2+OG2=52，OG=GCPOEG，EG=32，EG平面ABCDEBG为直线EB与平面ABCD所成的角tanEBG=EGBG=155方法二：取中CD点O，连PO，则POCD，从而PO平面ABCD，以B为原点，以DB，BC，OP的正方向为x轴，y轴，z轴方向建立空间直角坐标系令BC=m，则C(0，m，0)，D(4m2，0，0)，P(124m2，m2，3)BD=(4m2，0，0)，
11、BP=(124m2，m2，3)设平面PBD的法向量m=(x，y，z)，则4m2x=0124m2x+m2y+3z=0令y=1，得m=(0，1，m23)平面BCD的法向量n=(0，0，1)由tan=6得cos=17，即得m=2C(0，2，0)，P(22，22，3)，E(24，324，32)设OE与平面ABCD所成的角为则sin=|32(24)2+(324)2+(32)2|=64tan=155OE即BE与平面ABCD所成的角得正切值15519【答案】（1）解：若an是等差数列，则对任意nN，an+1an=an+2an+1，即2an+1=an+an+2，所以an+1=12(an+an+2)，故k=12
12、.（2）解：因为a1=a2=1且an+1=k(an+an+2)得a3=1k1，a4=1k21k1，又an+an+1是等比数列，则(a2+a3)2=(a1+a2)(a3+a4)即1k2=2(1k22)，得k=12.当k=12时，a1=1，a2=1，an=1，故an+an+1是以2为首项，公比为1的等比数列，此时an的前n项和Sn=n；当k=12时，an+1=12(an+an+2)，即2an+1=anan+2，所以an+2+an+1=(an+1+an)，且a1+a2=20所以an+an+1以a1+a2=2为首项，公比为-1的等比数列，又an+3+an+2=(an+2+an+1)=an+1+an，所
13、以，当n是偶数时，Sn=a1+a2+a3+a4+an1+an=(a1+a2)+(a3+a4)+(an1+an)=n2(a1+a2)=n，当n是奇数时，a2+a3=(a1+a2)=2，Sn=a1+a2+a3+a4+an1+an=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+(an1+an)=1+n12(2)=2nSn=2n，n=2k1n，n=2k，(kN)综上，当k=12时，Sn=n，当k=12时Sn=2n，n=2k1n，n=2k，(kN).20【答案】（1）解：设方案一中每组的化验次数为，则的取值为1，11，P(=1)=0.99710=0.970，P(=11)=10.99710=0.03，的分布列为：
14、111p0.9700.030E()=10.97+110.33=1.300故方案一的化验总次数的期望值为：200E(X)=2001.3=260次设方案二中每组的化验次数为，则的取值为1，9P(=1)=0.9978=0.976，P(=9)=10.9978=0.0238，的分布列为：12p0.9760.024E()=10.976+90.024=1.192方案二的化验总次数的期望为250E()=2501.192=298次2600，y1+y2=4mm23，y1y2=1m23则=16m24(m23)0x1+x2=m(y1+y2)+4=4m2m23+40x1x2=(my1+2)(my2+2)=m2y1y2+
15、2m(y1+y2)+4=m2m238m2m23+40，解得3m33或k33，综上，直线l倾斜角的取值范围为(6，56)（2）解：因为O是AB中点，所以SABD=2SOAB=212|OF|y1y2|=2(y1+y2)24y1y2=2(4mm23)23m23=212m2+12(m23)2，令t=m23，则t3，0)SABD=43t+4t2=434t2+1t=434u2+u，其中u=1t，且u(，13又y=3u2+u在(，13单调减，所以SABD433，当u=13，即m=0时求得，此时直线l的方程为x=222【答案】（1）解：定义域为(0，+)当a=12时f(x)=x58x2+14x2lnx，f(x
16、)=154x+12xlnx+14x=1x+12xlnx令F(x)=1x+12xlnx，F(x)=12(lnx1)x(0，e)时，F(x)0，F(x)单调递增F(x)min=F(e)=112e0，F(e2)=10所以x1(0，e)，x2(e，+)使F(x1)=F(x2)=0此时x(0，x1)时，F(x)0，f(x)单调递增，x(x1，x2)时，F(x)0，f(x)单调递增x1，x2是函数f(x)的两个极值点（2）解：g(x)=x14(2a)x212ax2lnx12bx2bx在(0，+)上单调递减g(x)=1xaxlnxbxb0恒成立b1xaxlnxx+1恒成立x1时，令G(x)=1xaxlnx0a1，G(x)=1alnxa01xaxlnxx+10，b00x1时，lnx0，00，1xaxlnxx+11xxlnxx+1令(x)=1xxlnxx+1，x(0，1)，(x)=x3lnx(x+1)2令(x)=x3lnx，(x)=11x0，(1e3)=1e30，(x)0，(x)单调递增x(x0，1)时，(x)0，(x)0，(x)单调递减(x)max=(x0)=1x0x0lnx0x0+1=1x0x0(x03)x0+1=x0+1x0(1e4，1e3)x0+1(1+1e4，1+1e3)(x)max1+1e3，b1+1e3综上b1+1e3
