1、 高考数学二模试卷一、单选题1已知集合 A=0，1，2 ， B=x|x2+x20 ，则 AB= （） A0，1B0，1C2，1D0，1，22已知m，n是两条不重合的直线， 是一个平面， n ，则“ m ”是“ mn ”的（） A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3已知i是虚数单位，a，b均为实数，且 b+ai3+i=1i ，则点(a，b)所在的象限为（） A一B二C三D四4已知 a0 ，二项式 (x+ax2)6 的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为（） A36B30C15D105要得到函数 y=sin(2x+3) 的图象，只需将函数 y=cos2x
2、的图象（）A向左平移 12 个单位B向左平移 6 个单位C向右平移 12 个单位D向右平移 6 个单位6设随机变量X服从正态分布N(1， 2 )，若 P(X2a)=0.3 ，则 P(2aXa)= （） A0.2B0.3C0.4D0.67已知函数 f(x) 是偶函数，其导函数 f(x) 的图象见下图，且 f(x+2)=f(2x) 对 xR 恒成立，则下列说法正确的是（） Af(1)f(12)f(52)Bf(52)f(12)f(1)Cf(1)f(52)f(12)Df(12)f(1)0) 的一条渐近线方程为 y=43x ， F1 ， F2 分别为该双曲线的左右焦点， M 为双曲线上的一点，则 |MF
3、2|+16|MF1| 的最小值为（） A2B4C8D12二、多选题9教育部办公厅“关于进一步加强中小学生体质健康管频率理工作的通知”中指出，各地要加强对学生体质健康0.06重要性的宣传，中小学校要通过体育与健康课程、大课间、课外体育锻炼、体育竞赛、班团队活动，家校协同联动等多种形式加强教育引导，让家长和中小学生007科学认识体质健康的影响因素了解运动在增强体质、促进健康、预防肥胖与近视、锤炼意志、健全人格等方面的重要作用，提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力，某学校共有2000名男生，为了了解这部分学生的身体发育情况，学校抽查了100名男生的体重情况根据所得数据绘制样本的频率分
4、布直方图如图所示，则（） A样本的众数为 6712B样本的80%分位数为72 12C样本的平均值为66D该校男生中低于60公斤的学生大约为300人10已知O为坐标原点， A(3，0) ， B(32，32) ， P(cos，sin)(03) ，则下列结论正确的是（） AOAB 为等边三角形BOPOB 最小值为 3C满足 OPAB 的点P有两个D存在一点P使得 PA+PB=OP11某地举办数学建模大赛，本次大赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图，已知球的表面积为16 ，托盘由边长为8的等边三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠面成，如图，则下列结论正确的是（） A直线AD与平面DEF所成的角
5、为 3B经过三个顶点A，B，C的球的截面圆的面积为 83C异面直线AD与CF所成角的余弦值为 58D球上的点到底面DEF的最大距离为 23+63+212若函数 f(x)=lnx+a(x22x+1)(aR) 存在两个极值点 x1，x2(x1x2) ，则（） A函数 f(x) 至少有一个零点Ba2C0x112ln2三、填空题13设函数 x2+1，x0lnx，x0 ，若 f(a)=1 ，则 a= 14已知角的终边过点 A(3，y) ，且 sin(+)=45 ，则tan= 15已知抛物线 x2=2py(p0) 的焦点为F，O为坐标原点，A(t，1)是抛物线第一象限上的点， |AF|=5 ，直线AF与抛
6、物线的另一个交点为B，则 SAOB= 16十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础，著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间0，1均分为三段，去掉中间的区间段 (13，23) ，记为第1次操作；再将剩下的两个区间 0，13 ， 23，1 分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段：操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”，第三次操作后，依次从左到右第三个区间为 ，若使前n次操作去掉的所有区间长度之和不小于 2627 ，则
7、需要操作的次数n的最小值为 ( lg2=0.30 ， lg3=0.47 ) 四、解答题17已知数列 an 的首项 a1=12 ，且满足 an+1=an32an(nN) （1）证明 1an1 是等比数列，并求数列 an 的通项公式； （2）记 bn=n(1an1) ，求 bn 的前n项和 Sn 182021年12月17日，工信部发布的“十四五“促进中小企业发展规划明确提出建立”百十万千”的中小企业梯度培育体系，引导中小企业走向“专精特新”、“小巨人”、“隐形冠军”的发展方向，“专精特新”是指具备专业化、精细化、特色化，新颖化优势的中小企业下表是某地各年新增企业数量的有关数据：年份(年)20172
8、018201920202021年份代码(x)12345新增企业数量：(y)817292442参考公式：回归方程 y=a+bx 中，斜率和截距最小二乘法估计公式分别为 b=i=1n(xix)(yiy)i=1n(xix)2 ， a=ybx（1）请根据上表所给的数据，求出y关于x的线性回归方程，并预测2023年此地新增企业的数量；（2）若在此地进行考察，考察企业中有4个为“专精特新”企业，3个为普通企业，现从这7个企业中随机抽取3个，用X表示抽取的3个为“专精特新”全业个数，求随机变量X的分布列与期望19在2c=asinC+3ccosA ；3sin(A+C)cosA=3sinAsinB ；2cosA
9、(ccosB+bcosC)=3a ，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答 问题：已知 ABC 中，D为AB边上的一点，且BD=2AD，_（1）若 B=6 ，求BCD大小； （2）若CD=CB，求cosACB注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分20九章算术是中国古代张苍，耿寿昌所撰写的一部数学专著，是算经十书中最重要的一部，成于公元一世纪左右，是当时世界上最简练有效的应用数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系在九章算术商功篇中提到“阳马”这一几何体，是指底面为矩形，有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，现有“阳马” PABCD ，底面为边长为2的正方形，侧棱 PA
10、面 ABCD ， PA=2 ，E、F为边 BC 、 CD 上的点， CE=CB ， CF=CD ，点M为AD的中点 （1）若 =12 ，证明：面PBM面PAF； （2）是否存在实数 ，使二面角 PEFA 的大小为 45 ？如果不存在，请说明理由；如果存在，求此时直线 BM 与面 PEF 所成角的正弦值 21已知 ABC 的两个顶点A，B的坐标分别为 (3，0) ， (3，0) ，圆E是 ABC 的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R， |CP|=23 ，动点C的轨迹为曲线G （1）求曲线G的方程；（2）设直线l与曲线G交于M、N两点，点D在曲线G上，O是坐标原点 OM+ON=O
11、D ，判断四边形OMDN的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由 22已知函数 f(x)=cos2x+a(x21) ， g(x)=1cosx （1）当 a=0 时，求 f(x) 图象在( 4 ，f( 4 )处的切线方程； （2）当 a1 时，求 f(x) 的极值； （3）若 x(2，) ， f(x) 为函数 f(x) 的导数， f(x2)g(x) 恒成立，求a的取值范围 答案解析部分1【答案】A2【答案】A3【答案】B4【答案】C5【答案】C6【答案】C7【答案】D8【答案】B9【答案】A,B,D10【答案】A,D11【答案】A,C12【答案】A,C,D13【答案】0或e1
12、4【答案】4315【答案】4016【答案】29，727；917【答案】（1）证明：由题意得， an+1=an32an1an+1=3an2 ，所以 1an+11=3(1an1) ，即 1an1 是等比数列，则 1an1 的首项为 1a11=1 ，公比为3，所以 1an1=3n1 ，所以 an=13n1+1 （2）解：由（1）得： bn=n(1an1)=n3n1 ， 所以 Sn=1+23+3+32+n3n1，3Sn=3+232+(n1)3n1+n3n，得2Sn=1+3+32+3n1n3n=13n13n3n ，所以 Sn=(2n1)3n+14 .18【答案】（1）解： x=1+2+3+4+55=3
13、， y=8+17+29+24+425=24 ，i=15(xix)(yiy)=(2)(16)+(1)(7)+05+10+218=75 ，i=15(xix)2=4+1+0+1+4=10 ，所以 b=i=15(xix)(yiy)i=15(xix)2=7510=7.5 ， a=ybx=1.5 ，所以 y=1.5+7.5x 2023年，即当 x=7 时，由线性回归方程可得 y=54 ，所以估计2023年此地新增企业的数量的为54家（2）解：由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3， 因为 P(X=0)=C33C73=135 ， P(X=1)=C41C32C73=1235 ， P(X=2)=C42C31C
14、73=1835 ， P(X=3)=C43C73=435 ，所以X的分布列为X0123P13512351835435所以 EX=0135+11235+21835+3435=127 19【答案】（1）解：若选： 由正弦定理， 2sinC=sinAsinC+3sinCcosA ，因为 sinC0 ，故 2=sinA+3cosA ，所以 2sin(A+3)=2 ，即 sin(A+3)=1 又因为 0A0 ，所以 3cosA=3sinA ，显然 cosA0 ，故 tanA=33 又因为 0A0 ，所以 2cosA=3 ，即 cosA=32 .又因为 0A|AB| ，所以点C的轨迹为以点A和点B为焦点的椭
15、圆，所以 c=3 ， a=2 ，则 b=1 ，所以曲线G的方程为 x24+y2=1(y0)（2）解：由 y0 可知直线l的斜率存在，设直线l方程是 y=kx+m ， 由平面图形OMDN是四边形，可知 m0 ，代入到 x24+y2=1 ，得 (1+4k2)x2+8kmx+4m24=0所以 =18(4k+1m2)0 ， x1+x2=8km1+4k2 ， x1x2=4m241+4k2 所以 y1+y2=k(x1+x2)+2m=2m1+4k2 ，所以 |MN|=1+k244k2m2+11+4k2 ，又点O到直线MN的距离 d=|m|1+k2 ，由 OM+ON=OD ，得 xD=8km1+4k ， yD
16、=2m1+4k2 ，因为点D在曲线C上，所以将D点坐标代入椭圆方程得 1+4k2=4m2 由题意四边形OMDN为平行四边形，所以OMDN的面积为 S=1+k244k2m2+11+4k2|m|1+k2=4|m|4k2m2+11+4k2 ，由 1+4k2=4m2 ，代入得 S=3 ，故四边形OMDN的面积是定值，其定值为 3 22【答案】（1）解：当 a=0 时， f(x)=cos2x ， f(x)=2cosxsinx=sin2x ，故 k=f(4)=1 ， f(4)=cos24=12 ，所以 y12=1(x4) ，即 x+y124=0 ；（2）解：因为 f(x)=2cosxsinx+2ax=si
17、n2x+2ax ， 令 (x)=sin2x+2ax，(x)=2cos2x+2a=2(acos2x) ，当 a1 时， (x)0 恒成立，所以 f(x)=sin2x+2ax 单调递增，且 f(0)=0 ，则在(，0)上 f(x)0 )， f(x) )在(0，+)上单调递增；且 f(0)=1a ，所以，函数 f(x) 的极小值为1a，无极大值（3）解：已知 f(x)=sin2x+2ax ， f(x2)=sinx+ax ， 由 f(x2)g(x) ，即 sinx+ax1cosx 在 x(2，) 恒成立，即 asinx+1cosxx 在 x(2，) 恒成立设 (x)=sinx+1cosxx ， x(2，) ，(x)=x(cosx+sinx)(sinx+1cosx)x2 ，设 m(x)=x(cosx+sinx)(sinx+1cosx) ，m(x)=cosx+sinxxsinx+xcosxcosxsinx=x(cosxsinx) ，由 x(2，) 可得 cosx0 ，所以 m(x)=x(cosxsinx)0 ，则 m(x) 在 x(2，) 上单调递减，可得 m(x)m(2)=220 ，所以 (x)=m(x)x20 ， (x) 在 (2，) 上单调递减， (x)(2)=4 ，则a的取值范围是 4，+)
