1、 高三数学高考及选考科目适应性考试试卷一、单选题1已知集合A=xR|x0，B=xR|1x1，则R(AB)=（）A(，0)B1，0C0，1D(1，+)2人们对数学研究的发展一直推动着数域的扩展，从正数到负数、从整数到分数、从有理数到实数等等.16世纪意大利数学家卡尔丹和邦贝利在解方程时，首先引进了i2=1，17世纪法因数学家笛卡儿把i称为“虚数”，用a+bi(a、bR)表示复数，并在直角坐标系上建立了“复平面”若复数z满足方程z2+2z+5=0，则z=（）A1+2iB2iC12iD2i3已知椭圆C：x24+y2=(0)，则该椭圆的离心率e=（）A33B12C32D524已知某几何体的三视图如图所
2、示，则该几何体的体积为（）A1223B12C122D1235下图中的函数图象所对应的解析式可能是（）Ay=12|x1|By=|12x1|Cy=2|x1|Dy=|2x1|6若实数x，y满足的约束条件x+10x+y+10xy20，则z=y+3x的取值范围是（）A3，1)B(，3(1，+)C3，3D(，33，+)7ABC中，“AB”是“cos2A0，b0)，直线l交双曲线两条渐近线于点A、B，M为线段AB的中点，设直线l、OM的斜率分别为k1、k2，若k1k2=32，则渐近线方程为 13已知ABC是圆心为O，半径为R的圆的内接三角形，M是圆O上一点，G是ABC的重心若OMOG，则AM2+BM2+CM
3、2= 14已知函数f(x)=loga(9ax)，g(x)=loga(x2ax)，若对任意x11，2，存在x23，4使得f(x1)g(x2)恒成立，则实数a的取值范围为 15如图，在ABC中，D为BC边上一近B点的三等分点，AB=3，AC=2，C=3，则sinBADsinDAC= ，SACD= 16设a，b，cR，a0，若函数y=ax2+bx+c有且仅有一个零点，且2a2+3ab+8ac=1，则a+b的最小值为 ，a+b+ab的最小值为 17盆子中有大小相同的球共6个，其中标号为1的球有3个，标号为2的球有2个，标号为3的球有1个，第1次从盒子中任取1个球，放回后第2次再任取1个球，记第1次与第
4、2次取到的球的标号之和为，则P(=3)= E()= 三、解答题18函数f(x)=Asin(x+)，xR（其中A0，02）部分图象如图所示，P(13，A)是该图象的最高点，M，N是图象与x轴的交点（1）求f(x)的最小正周期及的值；（2）若PMN+PNM=4，求A的值19如图，三棱台ABCA1B1C1中，ABC=90，A1A=A1B=A1C=3，AB=BC=2（1）证明：A1C1A1B；（2）求直线A1C1与平面A1CB所成的角20已知非零数列an满足a1=1，an(an+22)=an+1(an+12)，nN（1）若数列an是公差不为0的等差数列，求它的通项公式；（2）若a2=5，证明：对任意n
5、N，a1+a2+a3+an3n221如图，已知抛物线C：x2=4y，直线l过点T(0，t)(t0)与抛物线交于A、B两点，且在A、B处的切线交于点P，过点P且垂直于x轴的直线l分别交抛物线C、直线l于M、N两点直线l与曲线C：x2=4(y+t)交于C、D两点（1）求证：点N是AB中点；（2）设DMN、PAB的面积分别为S1、S2，求S1S2的取值范围22设a为实数，函数f(x)=aex+xlnx+1（1）当a=1e时，求函数f(x)的单调区间；（2）判断函数f(x)零点的个数答案解析部分1【答案】D2【答案】C3【答案】C4【答案】B5【答案】A6【答案】B7【答案】C8【答案】C9【答案】D
6、10【答案】D11【答案】6；-16012【答案】y=62x13【答案】6R214【答案】(0，1)(1，3)15【答案】66；3+3616【答案】277；9817【答案】13；10318【答案】（1）解：函数f(x)=Asin(x+)的最小正周期T=2=2，因P(13，A)是函数f(x)图象的最高点，则13+=2k+2，kZ，而02，有k=0，=6，所以函数f(x)的最小正周期为2，=6.（2）解：由（1）知，f(x)=Asin(x+6)，由x+6=0得x=16，即点M(16，0)，由x+6=2得x=116，即点N(116，0)，于是得tanPMN=A13(16)=2A，tanPNM=A11
7、613=23A，而PMN+PNM=4，则tan(PMN+PNM)=tanPMN+tanPNM1tanPMNtanPNM=2A+23A12A23A=1，又A0，解得A=721，所以A=721.19【答案】（1）证明：由题，取AC中点D，连接A1D、BD，由A1A=A1C，AB=BC，则ACA1D、ACBD，又A1D、BD面A1BD，故AC面A1BD，因为A1B面A1BD，故ACA1B，又ACA1C1，则A1C1A1B，得证；（2）解：由题，ABC=90，则AD=BD=CD，又A1A=A1B，A1D=A1D，故AA1DBA1D，故A1DB=A1DA=90.分别以DB、DC、DA1为x、y、z轴建立
8、如图空间直角坐标系，易得B(2，0，0)，C(0，2，0)，A1(0，0，1)，A(0，2，0)，A1C=(0，2，1)，A1B=(2，0，1)，AC=(0，22，0)，设平面A1CB法向量n=(x，y，z)，则nA1B=2xz=0nA1C=2yz=0，令x=1，则n=(1，1，2)，故cosn，AC=22222=12，故直线AC与平面A1CB所成的角为6.即直线A1C1与平面A1CB所成的角为6.20【答案】（1）解：因为数列an是公差不为0的等差数列，故设公差为d，(d0).又an(an+22)=an+1(an+12)，nN，则(an+1d)(an+1+d2)=an+122an+1，化简得
9、d(d2)=0，又d0，故d=2，因为a1=1，则a2=3，a3=5，且a1(a32)=a2(a22)所以an=a1+(n1)d=2n1，故数列an的通项公式为an=2n1.（2）证明：因为an(an+22)=an+1(an+12)，nN，所以an+22an+1=an+12an，又a1=1，a2=5，则an+12an=a22a1=3，故an+12=3an，即an+1+1=3(an+1)，nN所以数列an+1是首项为2，公比为3的等比数列，故an+1=23n1，an=23n11，则对任意的nN，a1+a2+a3+an=2(30+31+32+3n1)n=21(13n)13n=3nn13n2，当n=
10、1时等号成立.21【答案】（1）证明：因为点T(0，t)(t0)的直线l过与抛物线C：x2=4y交于A、B两点，所以直线的斜率存在，可设l：y=kx+t.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x2=4yy=kx+t，消去y可得：x24kx4t=0，所以x1+x2=4k，x1x2=4t.对抛物线C：x2=4y可化为y=14x2，求导得：y=12x，所以以A(x1，y1)为切点的切线方程为yy1=12x1(xx1)，整理得：y=12x1x14x12.同理可求：以B(x2，y2)为切点的切线方程为y=12x2x14x22.两条切线方程联立解得：xP=2k，yP=t，所以P(2k，t).过点P且垂直
11、于x轴的直线l为：x=2k，所以xN=2k.所以xN=x1+x22，即点N是AB中点.（2）解：设=DNP.因为点D到MN的距离为|DN|sin，所以SDMN=12|MN|DN|sin.因为点B到MN的距离为|BN|sin，所以SPAB=2SBPN=212|NP|BN|sin.所以S1S2=12|MN|DN|sin212|NP|BN|sin=|MN|DN|2|NP|BN|.由（1）可知：点N是AB中点.同理可证：点N是CD中点.所以S1S2=|MN|DN|2|NP|BN|=|MN|12|CD|2|NP|12|AB|=|MN|CD|2|NP|AB|.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x2=
12、4yy=kx+t，消去y可得：x24kx4t=0，所以x1+x2=4k，x1x2=4t.所以|AB|=(1+k2)(x1x2)2=4(1+k2)(k2+t).由（1）可知：P(2k，t)，N(2k，2k2+t)，所以|NP|=2k2+2t.同理可求：|CD|=4(1+k2)(k2+2t)，|MN|=k2+t.所以S1S2=|MN|CD|2|NP|AB|=12(k2+t)4(1+k2)(k2+2t)(2k2+2t)4(1+k2)(k2+t)=14k2+2tk2+t=141+1k2t+1因为k2t0，所以k2t+11，所以01k2t+11，所以11+1k2t+12，所以11+1k2t+12，所以1
13、4141+1k2t+10，则f(x)单调递增，当x(1，+)时f(x)0)，则g(x)=a(x1)exx2+1x1x2=(x1)(aex+1)x2，当a0时，aex+10，令g(x)=0x=1，则函数g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+)上单调递增，所以g(x)min=g(1)=ae+10，此时函数g(x)无零点，即函数f(x)无零点；当a0时，令g(x)=0x=1或x=ln(1a)，若1ea0，则1ln(1a)，列表如下：x(0，1)1(1，ln(1a)ln(1a)(ln(1a)，+)g(x)-0+0-g(x)极小值极大值当1ea1e2时，g(e2)=aee2e2+2+e2e2ee2e
14、2+2+e2=ee24+2+e20，当1e2ae2时，e1a(1a)3，g(1a)=a2e1a+ln(1a)a=aae1a1aln(1a)+1aa(1a)31a(1a1)+10，此时函数g(x)有1个零点，则函数f(x)有1个零点；若aln(1a)，列表如下：x(0，ln(1a)ln(1a)(ln(1a)，1)1(1，+)g(x)-0+0-g(x)极小值极大值所以g(x)min=g(ln(1a)=aeln(1a)ln(1a)+lnln(1a)+1ln(1a)=lnln(1a)0，g(e2)0，则此时函数g(x)有2个零点，即函数f(x)有2个零点；综上，当a0时，函数f(x)在(0，+)上没有零点，当1e2a0时，函数f(x)在(0，+)上有1个零点，当a1e2时，函数f(x)在(0，+)上有2个零点.
