1、机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型ipA所谓所谓方阵方阵 可以对角化可以对角化,是指是指A与对角阵相与对角阵相似似.即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵,P使使 APP1 成立成立.A1.1.可对角化矩阵的性质可对角化矩阵的性质即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵,P使使112(,)nP APdiag 成立，那么：成立，那么：12,n A若若与对角阵相似与对角阵相似,即即是是A的的 n个特征值个特征值;而而P的第的第i列列是是 的对应于特征值的对应于特征值 的特征向量的特征向量i机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型说
2、明说明 如果如果 阶矩阵阶矩阵 的的 个特征值互不相等，个特征值互不相等，则则 与对角阵相似与对角阵相似推论推论nAAn如果如果 的特征方程有重根，此时不一定有的特征方程有重根，此时不一定有 个线性无关的特征向量，从而矩阵个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能不一定能对角化，但如果能找到对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量，个线性无关的特征向量，能对角化能对角化AAnnA2.2.矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件定理定理2 n阶方阵阶方阵A可以对角化可以对角化A有有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及
3、二次型()0iAE x 求求出出（1）求）求 的所有根的所有根（2）对每一特征值对每一特征值i 12,it 否则，将所有否则，将所有 12,nP 1PAP n 21),iniint 矩阵矩阵A对角化的步骤对角化的步骤:(重数为重数为的一个基础解系的一个基础解系若有一个若有一个,则则A不能对角化不能对角化;特征值对应的基础解系合在一起特征值对应的基础解系合在一起:0AE机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型定理定理1 对称矩阵的特征值为实数对称矩阵的特征值为实数.一、对称矩阵的性质.,221212121正交正交与与则则若若是对应的特征向量是对应的特征向
4、量的两个特征值的两个特征值是对称矩阵是对称矩阵设设定理定理ppppA 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型是是A的全部特征值的全部特征值.其中其中 设设A为为n阶对称矩阵阶对称矩阵,则必有则必有n阶正交矩阵阶正交矩阵Q,定理定理3 使使12n 12n,1QAQ 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型二、实对称矩阵的对角化1QAQ 12(,)nQppp(2)求特征值对应的线性无关的特征向量求特征值对应的线性无关的特征向量:(1)求全部特征值求全部特征值;,若特征值为单根若特征值为单根对特征向量单位化对特征向
5、量单位化;若特征值为重根若特征值为重根,对特征向量对特征向量正交化、单位化正交化、单位化;且且为正交阵为正交阵,1Q AQ(3)写出正交矩阵写出正交矩阵Q,及相似标准形及相似标准形机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型三、二次型的矩阵及秩三、二次型的矩阵及秩四、化二次型为标准形四、化二次型为标准形五、小结五、小结 思考题思考题二、二次型的表示方法二、二次型的表示方法一、二次型及其标准形的概念一、二次型及其标准形的概念第五节第五节 二次型及其标准形二次型及其标准形第五章 相似矩阵及二次型机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五章第五章 相似矩阵及二次型
6、相似矩阵及二次型一、二次型及其标准形的概念一、二次型及其标准形的概念 nnnnnnnnxxaxxaxxaxaxaxaxxxf1,13113211222222211121222 ,称为二次型称为二次型.的的二二次次齐齐次次函函数数个个变变量量含含有有定定义义nxxxn,121;,称称为为是是复复数数时时当当faij复二次型复二次型.,称称为为是是实实数数时时当当faij实二次型实二次型机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型只含有平方项的二次型只含有平方项的二次型2222211nnykykykf 称为二次型的标准形（或法式）称为二次型的标准形（或法式）例
7、如例如 312322213214542,xxxxxxxxf 都为都为二次型；二次型；23222132144,xxxxxxf 为二次型的标准形为二次型的标准形.323121321,xxxxxxxxxf 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型1 1用和号表示用和号表示 nnnnnnnnxxaxxaxxaxaxaxaxxxf1,13113211222222211121222 ,对二次型对二次型,aaijji 取取,2xxaxxaxxaijjijiijjiij 则则于是于是nnxxaxxaxaf1121122111 .1,xxajinjiij nnxxaxa
8、xxa2222221221 22211nnnnnnnxaxxaxxa 二、二次型的表示方法二、二次型的表示方法机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型2 2用矩阵表示用矩阵表示nnxxaxxaxaf1121122111 nnxxaxaxxa2222221221 22211nnnnnnnxaxxaxxa )()()(22112222121212121111nnnnnnnnnnxaxaxaxxaxaxaxxaxaxax nnnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxaxxx22112222121121211121),(机动 目录 上页 下页 返回
9、结束 第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型.,为对称矩阵为对称矩阵其中其中则二次型可记作则二次型可记作AAxxfT,21212222111211 nnnnnnnxxxxaaaaaaaaaA记记 nnnnnnnnxxxaaaaaaaaaxxx2121222211121121,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型三、二次型的矩阵及秩在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二称矩阵，也可唯
10、一地确定一个二次型这样，二次型与对称矩阵之间存在次型与对称矩阵之间存在一一对应一一对应的关系的关系;的矩阵的矩阵叫做二次型叫做二次型对称矩阵对称矩阵fA;的二次型的二次型叫做对称矩阵叫做对称矩阵Af.的秩的秩的秩叫做二次型的秩叫做二次型对称矩阵对称矩阵fA机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型解解,a,a,a321332211 ,aa22112 ,aa03113 .aa33223 .330322021 A.6432 3221232221的的矩矩阵阵写写出出二二次次型型xxxxxxxf 例例机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五章第五章 相似矩阵及二
11、次型相似矩阵及二次型例例2求下列二次型的矩阵求下列二次型的矩阵1)三元二次型三元二次型221231122(,)8;f x x xxx xx2)二元二次型二元二次型22121122(,)8.f x xxx xx解解 1)这是三元二次型这是三元二次型,所求矩阵为三阶实对称矩阵所求矩阵为三阶实对称矩阵140410.0002)这是二元二次型这是二元二次型,所求矩阵为三阶实对称矩阵所求矩阵为三阶实对称矩阵14.41机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型例例3 求求n元二次型元二次型jijinxxxxxf),(21的矩阵的矩阵A.解解:naiii1 0nji,1
12、 21jiijaa01/21/21/201/2 1/21/20A机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型例例4 求求n阶对称矩阵阶对称矩阵211121112A 所对应的二次型所对应的二次型.解：解：所对应的二次型为所对应的二次型为121(,)2.nijij nf x xxx x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型 nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx22112222121212121111,设设四、化二次型为标准形四、化二次型为标准形对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求对于二次
13、型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形可逆的线性变换，将二次型化为标准形),(cCij 记记记作记作则上述可逆线性变换可则上述可逆线性变换可 Cyx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型AxxfT 有有将其代入将其代入,AxxfT .yACCyTT CyACyT .,1ARBRBAACCBCT 且且也也为为对对称称矩矩阵阵则则矩矩阵阵为为对对称称如如果果令令任任给给可可逆逆矩矩阵阵定定理理机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型说明说明2222211nnTTykykykACyCy
14、就就是是要要使使变变成成标标准准形形经经可可逆逆变变换换要要使使二二次次型型,2 Cyxf.,),(212121 yyykkkyyynnn.成成为为对对角角矩矩阵阵也也就就是是要要使使ACCT;,1 ACCBAfCyx.T 变变为为的的矩矩阵阵由由但但其其秩秩不不变变后后二二次次型型经经可可逆逆变变换换机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型有有型型把此结论应用于二次把此结论应用于二次即即使使总有正交矩阵总有正交矩阵阵阵由于对任意的实对称矩由于对任意的实对称矩,.,1 APPAPPPAT 化化为为标标准准形形使使正正交交变变换换总总有有任任给给二二次次
15、型型定定理理fPyxaaxxafjiijnjijiij,21,2222211nnyyyf .,21的特征值的特征值的矩阵的矩阵是是其中其中ijnaAf 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型用正交变换化二次型为标准形的具体步骤用正交变换化二次型为标准形的具体步骤;,.1AAxxfT求求出出将将二二次次型型表表成成矩矩阵阵形形式式 ;,.221nA 的所有特征值的所有特征值求出求出;,.321n 征征向向量量求求出出对对应应于于特特征征值值的的特特 ;,.4212121nnnC 记记得得单单位位化化正正交交化化将将特特征征向向量量 .,.52211nn
16、yyffCyx 的的标标准准形形则则得得作作正正交交变变换换 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型解解1 1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 144241422217A 144241422217EA 9182 .,844141417 323121232221化成标准形化成标准形通过正交变换通过正交变换将二次型将二次型Pyxxxxxxxxxxf 例例2 2机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型从而得特征值从而得特征值.18,9321 得基础解系得基础解系代入代入将将,09
17、1 xEA 2 2求特征向量求特征向量 得得基基础础解解系系代代入入将将,01832 xEA ,)0,1,2(2 T.)1,0,2(3 T 3 3将特征向量正交化将特征向量正交化,11 取取.)1,1,21(1T ,22 ,2223233 得正交向量组得正交向量组.)1,54,52(3 T,)0,1,2(2 T,)1,1,21(1T 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型 ,3,2,1,iiii 令令得得,051522 ,3232311 .4554544523 .45503245451324525231 P 所所以以4 4将正交向量组单位化，得正交矩
18、阵将正交向量组单位化，得正交矩阵P机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型于是所求正交变换为于是所求正交变换为,45503245451324525231321321 yyyxxx.18189232221yyyf 且且有有机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型例例6 用正交变换化二次型用正交变换化二次型22212312323(,)2334f x x xxxxx x为标准型为标准型.解：解：二次型的矩阵二次型的矩阵200032,023AA 的的特特征征多多式式()(1)(2)(5),fAAE 特征值为特征值为1,
19、2,5,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型其对应的特征向量分别其对应的特征向量分别为为00111,0,.2201122 将这三个向量规范正交化得到将这三个向量规范正交化得到00122,0,.2202222 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型令令010220,2222022P则则125TP AP做正交变换做正交变换 ,XPY123(,)f x xx二二次次型型22212325.yyy化为标准型化为标准型机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型1.实二次型的化简问题，在理论和实际中实二次型的化简问题，在理论和实际中经常遇到，通过经常遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一在二次型和对称矩阵之间建立一一对应的关系一对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩将二次型的化简转化为将对称矩阵化为对角矩阵阵化为对角矩阵.2.实二次型的化简，并不局限于使用正交实二次型的化简，并不局限于使用正交矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运算更快的可逆变换下一节，我们将介绍另一种算更快的可逆变换下一节，我们将介绍另一种方法方法拉格朗日配方法拉格朗日配方法五、小结五、小结
