1、二重积分的计算二重积分的计算习题课习题课 二重积分的计算方法是累次积分法，化二重二重积分的计算方法是累次积分法，化二重积分为累次积分的步骤是：积分为累次积分的步骤是：作出积分区域的草图作出积分区域的草图选择适当的坐标系选择适当的坐标系选定积分次序，定出积分限选定积分次序，定出积分限1.关于坐标系的选择关于坐标系的选择 这要从积分区域的形状和被积函数的特点这要从积分区域的形状和被积函数的特点两个方面来考虑两个方面来考虑一、主要内容一、主要内容被积函数呈被积函数呈 )(),(22xyfyxf 常用极坐标常用极坐标其它以直角坐标为宜其它以直角坐标为宜2.关于积分次序的选择关于积分次序的选择选序原则选
2、序原则能积分，能积分，少分片，少分片，计算简计算简3.关于积分限的确定关于积分限的确定二重积分的面积元二重积分的面积元 )(rdrdddxdyd 为正为正确定积分限时一定要保证下限小于上限确定积分限时一定要保证下限小于上限积分区域为积分区域为圆形、扇形、圆环形圆形、扇形、圆环形看图定限看图定限 穿越法定限穿越法定限 和和不等式定限不等式定限先选序，后定限先选序，后定限直角坐标系直角坐标系.先先 y 后后 x，过任一过任一x a,b,作平行于作平行于 y 轴的直线轴的直线穿过穿过D的内部的内部从从D的下边界曲线的下边界曲线)(1xy 穿入穿入 内层积分的下限内层积分的下限从上边界曲线从上边界曲线
3、)(2xy 穿出穿出内层积分的上限内层积分的上限.先先 x 后后 y过任一过任一 y c,d 作平行于作平行于 x 轴的直线轴的直线定限定限左边界左边界 )(1yx 内层积分的下限内层积分的下限右边界右边界 )(2yx 内层积分的上限内层积分的上限则将则将D分成若干个简单区域分成若干个简单区域再按上述方法确定每一部分的上下限再按上述方法确定每一部分的上下限分片计算，结果相加分片计算，结果相加极坐标系极坐标系积分次序一般是积分次序一般是 后先r过极点过极点O作任一极角为作任一极角为 ),(的射线的射线从从D的边界曲线的边界曲线)(1 r穿入穿入,从从)(2 r穿出穿出.如如D须分片须分片)(1
4、r内下限内下限)(2 r内上限内上限具体可分为三种情况具体可分为三种情况)()(,21 rrr 极点在极点在D的边界上的边界上)()(,21 rrr 是边界在极点处的切线的极角是边界在极点处的切线的极角 ,)(1 r绝大多数情况下为绝大多数情况下为0极点在极点在D的内部的内部)(0,20 rr 化累次积分后化累次积分后外限是常数外限是常数内限是外层积分变量的函数或常数内限是外层积分变量的函数或常数极坐标系下勿忘极坐标系下勿忘 r极点在极点在D的外部的外部4.关于对称性关于对称性 利用对称性来简化重积分的计算是十分有效的，利用对称性来简化重积分的计算是十分有效的，它与利用奇偶性来简化定积分的计算
5、是一样的，不它与利用奇偶性来简化定积分的计算是一样的，不过重积分的情况比较复杂，在运用对称性是过重积分的情况比较复杂，在运用对称性是要兼顾要兼顾被积分函数和积分区域两个方面，被积分函数和积分区域两个方面，不可误用不可误用对对 DdxdyyxfI),(若若D关于关于 x 轴对称轴对称时时当当),(),()1(yxfyxf 0 I时时当当),(),()2(yxfyxf 2),(2DdxdyyxfI 0,),(2 yDyxD若若D关于关于 y 轴对称轴对称时时当当),(),()1(yxfyxf 0 I时时当当),(),()2(yxfyxf 1),(2DdxdyyxfI 0,),(),(1 xDyxy
6、xD若若D关于关于原点原点对称对称时时当当),(),()1(yxfyxf 0 I时时当当),(),()2(yxfyxf 3),(2DdxdyyxfI 0,0,),(3 yxDyxD 奇函数关于对称域的积分等于奇函数关于对称域的积分等于0 0，偶函，偶函数关于对称域的积分等于对称的部分区域数关于对称域的积分等于对称的部分区域上积分的两倍，完全类似于对称区间上奇上积分的两倍，完全类似于对称区间上奇偶函数的定积分的性质偶函数的定积分的性质.对于变量对于变量x,yx,y来说，可以简述为来说，可以简述为 “你你对称，我对称，我奇偶奇偶”、简单地说就是：简单地说就是：1.设积分区域设积分区域 D 关于关于
7、 x 轴对称，轴对称，D1 是是 D 中对应于中对应于 y 0 的部分。的部分。(1)(,)f x yy若被积函数关于是偶函数，即(,)(,).f xyf x y1 (,)2(,).DDf x y df x y d则(2)(,)f x yy若被积函数关于是奇函数，即(,)(,).f xyf x y (,)0.Df x y d则对称性的证明则则证证（1）积分区域如图：）积分区域如图：).()(,:21xyyxybxaD由积分区域由积分区域 D 关于关于 x 轴对称性轴对称性).()(21xyxy oxyab)(1xyy )(2xyy 1D21()()(,)(,)byxayxDf x y ddxf
8、 x y dy22()()(,)byxayxf x y dydx222()()()0 (,)2(,)yxyxyxfyf x y dyf x y dy关于是偶函数于是于是 dyxfD),(22()()(,)byxayxf x y dydx2()02(,)byxaf x y dydx dyxfD),(2 1 （2）积分区域如图：）积分区域如图：).()(,:21xyyxybxaD由积分区域由积分区域 D 关于关于 x 轴对称性轴对称性).()(21xyxy 21()()(,)(,)byxayxDf x y ddxf x y dyoxyab)(1xyy )(2xyy 1D22()()(,)byxay
9、xf x y dydx22()()(,)0 yxyxfyf x y dy关于是奇函数于是于是 dyxfD),(22()()(,)byxayxf x y dydx2 00badx二、例题分析二、例题分析例例.交换下列积分顺序22802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI解解:积分域由两部分组成:,200:2211xxyD822 yx2D22yxo21D221xy 222280:22xxyD21DDD将:D视为Y型区域,则282yxy20 yDyxyxfIdd),(282d),(yyxyxf20dy解解axy2 22xaxy 22yaax 原式原式=ayaaaydxyxfdy
10、02222),(aayaadxyxfdy0222),(.),(2222 aaaaydxyxfdya2aa2a例例 计算计算 DxyyxyDdxdyxy1,2,:,22解解D 211yyxyY型型I =21122yydxxydy 若先若先 y 后后 x 由于由于D的下边界曲线在的下边界曲线在 x 的不同范的不同范围内有不同的表达式，围内有不同的表达式，须分片积分，计算较麻烦。须分片积分，计算较麻烦。213249)(dyyyy212121解解 dxexy不能用初等函数表示不能用初等函数表示先先改改变变积积分分次次序序.原原式式 xxxydyedxI22112xy xy 121)(dxeexx.21
11、83ee 例例 计算计算 DxyxyDdxdyxxy2,:,1)1sin(2解解根据积分区域的特点根据积分区域的特点14-12应先对应先对 x 后对后对 y 积分积分dxxxydyIyy 21221)1sin(但由于但由于 1)1sin(xx对对 x 的积分求不出，无法计算，的积分求不出，无法计算，须改变积分次序。须改变积分次序。先先 x 后后 y 有有dyxxydxxx 4121)1sin(dxxxxx1)1sin()2(210241 dxxxxx 4121)1sin()45(21 41)1sin()4(21dxxx)3sin3(21 dyxxydxIxx 101)1sin(奇函数奇函数解解
12、03 xy32 yyx422 sin4 r03 yx61 yyx222 sin2 rdxdyyxD)(22 36sin4sin22rdrrd).32(15 例例 计算计算 Ddyx)(222242:xyxxD 解解积分区域由不等式给出积分区域由不等式给出在不等式中取等号所得的曲线是两个半圆在不等式中取等号所得的曲线是两个半圆但它们围不成区域但它们围不成区域224,2xxx 要要使使都有意义都有意义必须限制必须限制 2,0 x因此因此D只能在只能在x=0 ，x=2 之间之间确定了积分区域后，再看被积函数结合积分区域的确定了积分区域后，再看被积函数结合积分区域的特点，化成极坐标计算较为简单特点，化
13、成极坐标计算较为简单20 显然显然 r 呢？呢？极点在极点在D的边界上，所以的边界上，所以20 r 那就错了那就错了不能以为极点不能以为极点O在区域的边界上在区域的边界上就误以为对就误以为对 r 积分的下限为积分的下限为0定定 r 的积分限，应先固定的积分限，应先固定2,0 以原点为起点作射线以原点为起点作射线这射线和两个半圆相交这射线和两个半圆相交 cos2 r穿入穿入;从从从从2 r穿出穿出.积分限如何确定积分限如何确定尽管极点在尽管极点在D的边界上的边界上但极角为但极角为 )2,0(的射线并不是从极点穿入的射线并不是从极点穿入2cos2,20 r 而不是而不是20,20 r 202cos
14、22rdrrdI45)221432(4204)cos1616(41d域域D的极坐标表示为的极坐标表示为 Ddxdyyx)cos(2020:yxD解解例例 计算计算2 yxD1D2 12)cos()cos(DDdxdyyxdxdyyxI 2020)cos(xdyyxdx 2022)cos(xdyyxdx 20202sincossin2sin dxxdxx2 Ddxdyyx 2)sin(yxD0,0:三、对称性的应用例举例例.(1)22:1.cos0.DD xyxyd则 222(2),:4 .Dxy dDxyy及轴围成的右半闭区域xyo22224xy1D解解D 区域关于区域关于 x 轴对称，且轴对
15、称，且2 (,).f x yxy设(,)(,),f xyf x y1222DDxy dxy d而而2104,:02.xyDy1222DDxy dxy d而而2104,:02.xyDy1222DDxy dxy d因此，因此，64.152242002ydyxy dx2220(4)yydy(3),:1.x yDedDxy解：能否用对称性？解：能否用对称性？x yDed12x yx yDDeded01111101xxxyxyxxdxe e dydxe e dy 012112110()()xxeedxeedx1.eexyo111 1 xy 11 xyxy 11 xy2D1Do（4）计算,dd)1ln(2
16、yxyyxID其中D 由,42xy1,3xxy所围成.oyx124xyxy32D1D1x解解:令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如图所示)显然,1上在D),(),(yxfyxf,2上在D),(),(yxfyxfyxyyxIDdd)1ln(120yxyyxDdd)1ln(224(5)计算计算 Ddyxyfx)(1 221,1,:3 xyxyDD2D1解解 DDdyxxyfxdI )(22 Ddyxxyf0)(22 DDxdxd1 52 I 0133xxdyxdx52 Ddyxx)232(2222:ayxD 解解D关于关于 x,y 轴及原点对称轴及原点对称故故 Ddyx0)32(Ddyx
17、)(2122 DDdydx 22 20043421aadrrd Dad222 故故 Ddyxx)232(22424aa （6）计算计算1)(81)(2)()(),(1,0,),(),(,),(.12xyDxyCxyBxyAyxfxxyyDdudvvufxyyxfyxfD等于所围区域，则是由其中且连续设习题解析习题解析0)()sincos(4)(2)(sincos2)()sincos()1,1()1,1(),1,1(.21111DdxdyyxxyCxydxdyBydxdyxAdxdyyxxyDDxOyDDDDD在第一象限的部分，则是为顶点的三角形区域，和平面上以是设3.arctandDyx围成的
18、第一象限的区域0,4122yxyyx2222sin4.dDxyxy4122yx5.交换积分次序:2202022002),(),(xxdyyxfdxdyyxfdx1)(81)(2)()(),(1,0,),(),(,),(.12xyDxyCxyBxyAyxfxxyyDdudvvufxyyxfyxfD等于所围区域，则是由其中且连续设习题解答习题解答0)()sincos(4)(2)(sincos2)()sincos()1,1()1,1(),1,1(.21111DdxdyyxxyCxydxdyBydxdyxAdxdyyxxyDDxOyDDDDD在第一象限的部分，则是为顶点的三角形区域，和平面上以是设.643dddd221402140rrrr.4dsind2120rr3.arctandDyx围成的第一象限的区域0,4122yxyyx2222sin4.dDxyxy4122yx2202022002),(),(.5xxdyyxfdxdyyxfdxyydxyxfdy222210),(1-220
