1、第九章第九章 刚体的平面运动 在运动中，刚体上的任意一点与某一固定平面在运动中，刚体上的任意一点与某一固定平面始终保持相等的距离，这种运动称为平面运动。始终保持相等的距离，这种运动称为平面运动。AoB9-1刚体平面运动的概述和分解刚体平面运动的概述和分解“轮不转动仅随车平动”与“车不动仅轮转动”叠加而成 分解为：平动转动一平面运动的分解oR “轮仅随连杆转动”与“连杆不动仅行星轮转动”叠加而成 分解为：转动转动IAII1A2AS 二平面运动的简化syxsoM)(1tfxo)(2tfyo)(3tf oyxoyxyxo 平面图形的绝对运动可以看成是一个随基点的平动和绕基点的转动的合成。（牵连运动）
2、（相对运动）y x oABAoBxy 平面运动可取任意基点而分解为平移和转动,其中平移的速度和加速度与基点的选择有关,而平面图形绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选择无关。角位移,角速度,角加速度都是相对于动系而言的,因而都是相对的.但因我们采用的动系相对定系只移动而无转动,所以这些转动参数实质上也是相对于定系的,因而也是绝对的.虽然基点可任意选取，但在解决实际问题时，往往选取运动情况。9-2求平面图形内各点速度的基点法oovMoMvMvovoMoMvvv 平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和。BAABvvvoovMoMvovAAvBBAvBvAvBAABv
3、vvABBAABAABBvvv)()()(ABAABBvv)()(速度投影定理速度投影定理：同一平面图形上任意两同一平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。点的速度在这两点连线上的投影相等。半径为R的圆轮,在水平面上沿直线滚动而无滑动,如图示.已知轮心O的速度为vo,向右.求轮子的角速度及轮缘A,B,C,D上各点之速度.RABCDvovovAovovBovBvovcovovDovDAOOAvvvRvO0Rvo0AvBOOBvvvRvBOov22BOOBvvvOv2COOCvvvRvCOOvCOOCvvvOv2DOODvvvRvDOOv22DOODvvvOv2 直杆AB长L=200mm
4、，在铅垂面内运动，杆的两端分别沿铅直墙及水平面滑动，如图示，已知在某瞬时，=600，vB=20mm/s（）。求此瞬时杆AB的角速度及A端的速度vA。BvBAABBAvvvvBvABvA030ctgvvBA030sinBABvvsmm6.34smm40ABvABsrad2.00060cos30cosABvv030ctgvvBA 在图示椭圆规机构中，曲杆OC以匀角速度0绕O作转动，A，B两滑块作直线运动，求OC=AC=CB=r和角=300时滑块A，B的速度。oCBAoCv0 rvCAvBvCACACAvv)()(cossinCAvvCBCBCBvv)()(0 rvvCB30rvA例题 图示机构，传
5、送带AB以VA=2m/s 运动，同时半径 r=0.1m的圆柱体又沿传送带作纯滚动，在图示位 置具有角速度=15rad/s。求M点速度VM 和 V0。O ABVAyxMD AB:平动 圆柱体:平面运动基点：D点 VD=VA=2m/s VD VD VMD VM 矢量和矢量和 V VMM=V VD D+V VMDMD SmrMDVMD12.22解：rvvDosm5.3smCOSVVVMDDMX5.345 smVVMDMy5.145sin0smVVVMyMxM8.3222.234285.0MxMyVVtgO ABVAyxMDVD VD VMD VM VO 思考：带思考：带AB不动时，点不动时，点O、M
6、的速度如何的速度如何?smMDVsmrVMO12.25.19-3求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法定理：定理：一般情况，在每一瞬时，平面图形上都唯一地存在一个速度为零的点。AMCAvsAvAvMAvCNMAAMvvv0 ACvvACCAACvvv ACvAACvvACsCAvACvA BCvB DCvD 0CvABBvDvD瞬心在刚体上不是瞬心在刚体上不是一个固定点一个固定点,不同瞬不同瞬时具有不同的位置时具有不同的位置,在给定瞬时其位置在给定瞬时其位置是唯一确定的是唯一确定的!BvBAvACBvBAvA滚轮在固定直线轨道上做纯滚动的情况，圆轮半径为R纯滚动时，滚轮与轨道
7、相接触处的速度等于零。因此，接触点就是速度瞬心。已知平面上任意两点速度方位的情况分别过此两点做其速度矢的垂线，得交点C就是速度瞬心已知两点的速度平行且垂直于两点的连线情况此两点连线与此两点的速度矢端连线的交点就是速度瞬心此时，可以认为两速度的垂线交于无穷远处，这种情况称为瞬时平动，此时vB=vA已知两点速度平行且不垂直于两点的连线情况几种常见情况的速度瞬心确定方法CBvCDvCAvBDA CBvCAvBACBvCAvBA0CBvBAvACBvBAvAACDDvAvBvBABC vBvCCABC vBvCC瞬时平动CABvAvBvBvAABC例题，在图示结构中,已知曲柄O1A的角速度.图中O1A
8、=r,O2B=BC=l.确定平面运动杆件的瞬心.O1O2ABC C图示各平面机构的构件均作平面运动。（1）找出各刚体在图示位置的速度瞬心。（2）指出各刚体角速度的转向。（3）在图中画出M点的速度方向。OABMC1OVAVBVCVMVAAB1O2OMVBVMCCC图示各平面机构的构件均作平面运动。（1）找出各刚体在图示位置的速度瞬心。（2）指出各刚体角速度的转向。（3）在图中画出M点的速度方向。MD3OBC1OA2OVAVBVCVDVMCC 直杆AB长L=200mm，在铅垂面内运动，杆的两端分别沿铅直墙及水平面滑动，如图示，已知在某瞬时，=600，vB=20mm/s（）。求此瞬时杆AB的角速度及
9、A端的速度vA。求该顺时杆AB的中点D的速度.BvBAvACDvDBCvB060cosLvBsrad2.0ACvA060sinLsmm6.34DCvD2Lsmm20在图示椭圆规机构中，曲杆OD以匀角速度0绕O作转动，A，B两滑块作直线运动，求OC=AC=CB=r和角=300时滑块A，B的速度。ABDrrv0oDBAoDvAvBvAB 03cos20 rrvABA0sin2rrvABBCAB 图示为一平面连杆机构,等边三角形构件 ABC 的边长为a，三个顶点 A,B 和C分别与套筒A,杆O1B 和O2C铰接,套筒又可沿着杆OD 滑动.设杆O1B长为a并以角速度转动,求机构处于图示位置时杆OD的角
10、速度OD.OABCO1O2 60 D等边三角形构件ABC作 平面运动.C1为其瞬心vBvCC1vB=(O1B)=a vAcos30=vBcos60vAevrv060cosAevv a6363OAveOD动点：滑块A动系：OD例题.图示瞬时滑块A以速度 vA 沿水平直槽向左运动,并通过连杆AB 带动轮B 沿园弧轨道作无滑动的滚动.已知轮B的半径为r,园弧轨道的半径为R,滑块A 离园弧轨道中心O 的距离为l.求该瞬时连杆AB的角速度及轮B边缘上M1和M2点的速度.rROBlAvAM1M2 轮B和杆AB作平面运动C为轮B的瞬心.vB杆AB作瞬时平动.AB=0vA=vBrvrvABBvM1vM1=2
11、vB=2 vAvM2BMCMv)(22Br 2Av2Co030060DCBAoAvBvBCCvAB 如图所示机构，曲柄OA以匀角速度作顺时针转动，设OA=AB=r，BD=r，在图示瞬时，O，B，C三点位于同一铅垂线上，试求此时B，C两点的速度。3230sin0rABCAABACArv 0002 CArABABBBCvBCBBPv BPvBBC BCCCPv023 rvC瞬心法：CP00230cos r03rBPvPCB030cosBvABBABAvv)()(0060cos30cosBAvv00330rctgvvABBCCBCBvv)()(CBvv030cos023 rvCo030060DCBA
12、oAvBvCv速度投影法：如图所示机构，曲柄OA以匀角速度作顺时针转动，设OA=AB=r，BD=r，在图示瞬时，O，B，C三点位于同一铅垂线上，试求此时B，C两点的速度。3BAABvvv00360tan rvvAB0002323330cos rrvvBCo030060DCBAoAvBvCv基点法：AvBAvCBvBvBCBCvvv 如图所示机构，曲柄OA以匀角速度作顺时针转动，设OA=AB=r，BD=r，在图示瞬时，O，B，C三点位于同一铅垂线上，试求此时B，C两点的速度。3作瞬时平动的刚体，该瞬时体内各点有相同的速度，也有相同的加速度。课堂练习课堂练习例例 试判断下列情况的可能性。试判断下列
13、情况的可能性。已知：已知：ABCD为正方形，为正方形，VA=VB=VC=VD不可能不可能可能可能答：答：答：答：VD DAVA VB BC VC VD D AVA VB B C VC =45 图示机构的曲柄O1A以匀转速 n=120r/min转动。CD=L=40cm，OB=BC。在图示位置，O1A铅垂，AB水平，=600，=300。求此瞬时CD杆的角速度及滑块D的速度。An1OBCD OVAVBVCVD46021nAOAOvAOA11LABvv030cosCDvv030cosPDvDCDLvD234LvD3832 LvBBCvv2nBABAABaaaa ABaBA2 ABanBAAAaBAan
14、BAa BAa 9-4用基点法求平面图形内各点的加速度OBAa0=RanAO=R2aBOn =R2aB=2R 半径为R的圆轮，在直线轨道上只滚不滑，设该瞬时、已知，求此时轮心O的加速度a0，与地面的接触点A的加速度aA，轮缘上最高点B处的加速度aBn ，aB。oaAOaoaBOaA为瞬心OvRvOdtdvaoOAa平面运动刚体的瞬心速度为零，但加速度不为零。这也是瞬时转动和定轴转动的根本区别。dtdRR在图所示连杆机构中,已知:匀角速度,AB=CD=r,BC=L=2 r，试求图示位置=300时，CD杆的角速度及角加速度。3DACBvBvcBCaBnCBa CBanCa Cax西安交大2000r
15、vBBCvBBC21BCvv060cosBCvv2rvCCD2nCBCBBnCCaaaaaEv1yo2o1oxACDE060060B在图示连杆机构中,曲柄O1A以匀角速度=2rad/s绕轴O1转动，并通过连杆带动滑块D沿着过O1O2中点O的铅垂滑槽运动。设O1AO2BCD20cm，ABO1O240cm，ACCB。试求BO2O1DCB600时杆CD的中点E的速度、加速度和CD杆角加速度的大小。AvCvPDv32030cos30cos010AOvvCEPCvCCDCDAO1srad21yo2o1oxACDE060060BAvPnECECCnEEaaaaa nAaCaCaECanECa21Ao2EC
16、EC在图示连杆机构中,曲柄O1A以匀角速度=2rad/s绕轴O1转动，并通过连杆带动滑块D沿着过O1O2中点O的铅垂滑槽运动。设O1AO2BCD20cm，ABO1O240cm，ACCB。试求BO2O1DCB600时杆CD的中点E的速度、加速度和CD杆角加速度的大小。280scm240scmnDCDCCDaaaa 1yo2o1oxACDE060060BAvCnAaCa8021 Ao280scmCanDCaDCaDa030cos60cos60cos000 DCnDCCaaa0 DCa0CD 2DCDCnECECCnEEaaaaa 1yo2o1oxACDE060060BAvPnAaCaCaECanE
17、Ca8021 Ao402ECEC 0CD xy8060cos0nECCEaaa 34030cos0 ECCnEaaa8.105)()(22nEEEaaa EanEa例题.图示为一平面连杆机构,等边三角形构件 ABC 的边长为a 三个顶点 A,B 和分别与套筒A,杆O1B 和O1C铰接,套筒又可沿着杆OD 滑动.设杆O1B长为a并以角速度转动,求机构处于图示位置时杆OD的角速度OD.OABCO1O2 60 D解:等边三角形构件ABC作 平面运动.C1为其瞬心vBvCC1vB=(O1B)=a vAcos30=vBcos60vAevrvAevv21a6363OAveOD 边长为b的等边三角形平板AB
18、C，其A点铰接一套筒；杆OB=O2C=b；在图示位置时，AC边与杆O2C皆处于水平位置，杆OB为铅垂位置，=600，OB的角速度为0，角加速度为0=0。求该瞬时，杆O1D的角加速度1.ADC2OB1O0OBaBaABanABaABnABnBAaaaa20b2ABCb20b34bABCneaearacaCreneAaaaaa2DO1b12b20bDO1rDOv2120b63ABnABnBCreneaaaaaaa12b20bDO120b6320b20b34bABCADC2OB1O0OBaBanCBaCBaCBnCBBCaaaanCaCaCnCCaaaCBnCBBCnCaaaaabv2C20b31b
19、ABCbCO220b2ABCb20b340CB0nCBnCcos30a-cos60-aa32b-a20CBbaCBABC32-20ADC2OB1O0OBaBaABanABaABnABnBAaaaa20b2ABCb20b34bABCneaearacaCreneAaaaaa2DO1b12b20bDO1rDOv2120b63ABnABnBCreneaaaaaaa12b20bDO120b6320b20b34bABC32-200nA0AB0nBCecos30a-sin30a-sin30-aaa20eb63721-a20163721-图所示机构中，曲柄OA长r，以均角速度0绕o轴转动，带动连杆AC在套筒B
20、内滑动，套筒及其固连的杆BD可绕B铰转动，BD长l，且垂直于AC。求在AOB=900，ABO=300时，杆BD上D点的速度和加速度的大小及方向。DABC0300090O南航2000解：(a)AB作平动，),(,nBnABABABAaaaaaavv;/,/2211BOvAOvBA又.2121已知 O1A=O2B,图示瞬时 O1A/O2B 试问 (a),(b)两种情况下1和 2，1和2是否相等？(a)(b);/,/2211BOaAOaBABOAO21 (b)AB作平面运动,图示瞬时作瞬时平动,此时BAABvv ,0,/2211BOvAOvBA ABBABAaacossincossin2222221
21、111BOBOAOAOBAaaAB作瞬时平动时并由此看出即,ctg221211221ABnBABBABnAABAaaaa 即概念题:图示平行四连杆机构O1ABO2，ABC为一刚性三角形板，则C点的速度为:A.Vc=AC B.Vc=CO1 C.Vc=AO1 D.Vc=BCC点的切向加速度为:A.a=AO1 B.a=AC C.a=CO1 D.a=BCABCO2 O1 刚体的平面运动综合练习刚体的平面运动综合练习平动刚体上的()始终保持不变 平面运动刚体上的()始终保持不变任一条直线的方位任一点到某一固定平面的距离平面运动通常可以分解为_ 动和_动，_动与基点的选择无关._动与基点的选择有关.平转转
22、平 如图已知作平面运动的刚体上A点的速度vA，则B点的速度可能为图中的哪一种_?vAAB300450 平面图形某瞬时的角速度，角加速度，速度瞬心为C，则 A.v vA A=v vB B+_ B.a aA A=a aB B+_ C.v vA A=AC_ D.v vB B=_ CBv vABAB300300600300BA平面图形上A点的速度为vA，则B点速度可能为图中的哪一种?_a aABAB 下列平面图形中，那些速度分布是不可能的?用“、”表示vA ABvB vA vB vAvBAvB vA vB BvA vA ABvB ABvB vA ABvA vB v0=RvA=0半径为R的圆轮，在直线轨
23、道上只滚不滑，设该瞬时已知，则轮心O的速度v0=？与地面的接触点A的速度vA=？C点速度的大小及方向如何？OACRVC2判正误：已知某瞬时平面图形作瞬时平动，则下列表达式是否正确？0;0;0;0;BAABBAnBAABBAaaaavvRvA2图示圆轮边缘B点绞接杆AB，A端放在水平地面上，轮与地面只滚不滑，此瞬时A端速度为vA，B点位于轮上最高点，则此时圆轮的角速度0=？杆的角速度AB=？0ABOvAoBv9-1trxc0cos tryc0sin t0 9-3oR 20021tt 221t 221cos)(trRxA 221sin)(trRyA trRrR )()(22)(trrRtdtrrR
24、 AvCAv rvvvvACAACdtdtrrRrvA 9-4AvCAvCvCAACvvvsinACAvvACvCAABRctgvsincossin2R9-6AoAAov11 tan/21111ooAooACvAoAAADB)(11CoAoADvADBD cAvBv9-70 OAvvAEECvEDE DEDCDv ODvDOD C9-84.00AABOAvv 4BDvBBC 4BDvCDvBcCDE 4.0CDEEDEv cosFEvv 462.030cos0EFvv32.02 EFFC33.1FCvFEF AOCBDE9-9vAvBCvcvD9-9AOCBDEvAvBCvc9-9AOCBDv
25、AvBvcBACOvAvBvc9-9ABAvBvABAvBvBAAvBAvBCvxBCCv在例图所示连杆机构中,曲柄OC以匀角速度=2rad/s绕O轴顺时针向转动，而杆AD以匀速vA1.2m/s向右运动。设图示位置，曲柄OC处于铅垂位置，连杆BC处于水平位置。试求该瞬时杆BC的角速度。BAABvvvAAv500mmB400mmC300mmoCvBCCBvvvBCCBAAvvvvABAB BC sincoscosBCCAvvv)(cotCABCvvv 2BCvBCBC BC 9-18AvBv0 rvAPrABAP230tan0021 APvAABrPB402 rPBvABB9-1820122 r
26、BOvaBnBnAa AanAa AanBAa BAa BanBanBABAnAABnBaaaaaa 202 r OA20 OA2ABAB nBAABnBaaaa 0030sin30cos0030sin)(30cosnBAAnBBaaaa 9-19AvBvBAvAvBvCvCBv0060cos30cosBAvv060sinBCvv 030sinABAvv031 ABvABBA030sinBCBvv061 BCvCBCB9-19AaAanBAa BAanBABAnABaaaa 20 r2ABAB:ABnBAnABaaa0060cos60cos2031 raBBaBa CBanCBaCanCBCB
27、BCaaaa 2031 r2BCBC:BCnCBBCaaa2320123 r9-235.0 OAvvAD030cosDevv 060cosDrvv DOvEDo11 AvBvDvrvev9-23nBABAABaaaa 030cos0 BAAaa AaAanBAa BAaBa2 OA02ADAB yABAaa32 32 ABaBAAD9-23nDADAADaaaa AaAanDAa DAa eanearacacrneeDaaaaa crneenDADAAaaaaaaa ADAD 211DODO 0rDOv12 ceDAAaaaa 0030cos60cosDOaeDO11 9-25BevBrvBv
28、00 lOBvBe3230cos00 lvvBeB003160cos lvvBBrAvAvDAvDvDAADvvv0 OA3430cos00 lvvAD0033230tan lvvADA032 ADvDAADreDvvvBevvBDrvvv032 lvvvBDr9-25creaaaaaraeacaaaBaBrv02 BrBva00230cos 3420 laBAaAa DAanDAaDa DAnDAADaaaa2ADAD nDADaa030cos9820 laDDrDeDaaaDeaDraDaBaDrBDaaa20222.2 laaaBDDrBDeaa9-27rvPevavarvv APvAA
29、B 00120sin30sineavvABeraPCvvv 3333153av9-27 BAnBAABaaaaAaAanBAa BAaBa02ABAB ABAB x0060cos30cos0 BAnBAaa3AB nCea CearaCaCaacreneaaaaaa nCAaCDarABv 2 CAa CCACDaaa 030cos32CDa9-28AvBvPBPvBAB OAAOAv 030cosABvv BOvBCO11 CCevCrvCvCOCeCOv11 030cosCeCvv CCrvv219-28AaAanBAa BAanBa BanBABAAnBBaaaaa 211COBO 2ABAB nBAnBBaaa0030sin30cos xBOaBCO11 nCea CeaCraCkaCaCkCrnCeCeCaaaaa COCO11 211COCO CrCOv12 CkCeCaaa 030cos CrnCeCaaa030sin9-188-228-228-22
