1、自动控制原理自动控制原理2009年年12月月中国科学技术大学中国科学技术大学工业自动化研究所工业自动化研究所吴刚吴刚第九章第九章频域稳定性频域稳定性目录目录9.1 引引论论9.2 S平面的映射围线平面的映射围线9.3 Nyquist判据判据9.4 相对稳定性与相对稳定性与Nyquist判据判据9.5 频域中的时域性能标准频域中的时域性能标准9.6 系统带宽系统带宽9.7 具有纯滞后的控制系统的稳定性具有纯滞后的控制系统的稳定性9.8 设计实例设计实例9.9 频域中的频域中的PID控制器控制器 9.10 应用控制设计软件分析频域稳定性应用控制设计软件分析频域稳定性9.11 系列设计系列设计案案例
2、：磁盘驱动器读例：磁盘驱动器读取取系统系统 9.12 总总结结习题习题作业：作业：E9.4、E9.12、E9.14、E9.16、E9.17、E9.19、E9.25、E9.29、P9.2、P9.4、P9.7、P9.9、P9.11、P9.14、P9.24、P9.28、AP9.1、AP9.3、DP9.4、DP9.8 作业要求：题目中要求绘制作业要求：题目中要求绘制Bode图、极坐标图、图、极坐标图、Nichols图，如果是判断稳定性的，请用手工作图，如果是判断稳定性的，请用手工作图；如果是计算增益裕量、相位裕量的，可以图；如果是计算增益裕量、相位裕量的，可以用用MATLAB作图，并直接在图中标明增益
3、裕量、作图，并直接在图中标明增益裕量、相位裕量等数值，集中在一起打印，贴到作业相位裕量等数值，集中在一起打印，贴到作业本上本上本章研究系统的频域稳定性和相对稳定性本章研究系统的频域稳定性和相对稳定性1932年，年，H.Nyquist提出频域稳定性判据提出频域稳定性判据Nyquist稳定性判据稳定性判据Nyquist stability criterion的的理论基础是复变函数论中的柯西定理理论基础是复变函数论中的柯西定理Cauchys theorem闭环系统特征方程：闭环系统特征方程：9.1 引论引论 10F sL s 对单回路控制系统：对单回路控制系统：cL sGs G s H s对多回路控
4、制系统，闭环系统特征方程：对多回路控制系统，闭环系统特征方程：10nm qF ssLL Ls 是信号流图的特征式单回路反馈控制系统单回路反馈控制系统为保证闭环系统稳定性，为保证闭环系统稳定性，F(s)的全部零点必须的全部零点必须位于左半位于左半S平面平面H.Nyquist将右半将右半S平面映射到平面映射到F(s)平面，并提平面，并提出出Nyquist判据判据9.1 引论引论围线映射围线映射contour map：依函数关系：依函数关系F(s)将围线将围线或轨迹从一个平面映射或转换到另一平面或轨迹从一个平面映射或转换到另一平面s是复变量，是复变量，s=+j，s平面平面F(s)也是复变量，也是复变
5、量，F(s)=u+jv，F(s)平面平面函数函数F(s)=2s+1，将，将S平面单位边长、封闭的正平面单位边长、封闭的正方形围线，映射到方形围线，映射到F(s)平面两倍边长、封闭的平面两倍边长、封闭的正方形围线，中心右移一个单位。正方形围线，中心右移一个单位。S平面围线平面围线的点的点A、B、C、D，映射成，映射成F(s)平面点平面点A、B、C、D，在两个平面上沿曲线变化的方向相同，在两个平面上沿曲线变化的方向相同 2121212ujvF ssjuv，9.2 s平面上的映射围线平面上的映射围线保角映射保角映射conformal mapping：s平面上围线的平面上围线的角度映射到角度映射到F(
6、s)平面上角度不变平面上角度不变沿围线顺时针方向移动为正方向沿围线顺时针方向移动为正方向沿围线正方向移动时，右侧的区域称为围线包沿围线正方向移动时，右侧的区域称为围线包围区域围区域clockwise and eyes right9.2 s平面上的映射围线平面上的映射围线依依F(s)=2s+1=2(s+1/2)映射的正方形围线映射的正方形围线对单位正方形围线，考虑对单位正方形围线，考虑s的有理函数的有理函数F(s)：2sF ss9.2 s平面上的映射围线平面上的映射围线F(s)平面上的围线包围了平面上的围线包围了F(s)平面的原点平面的原点对系统输出：对系统输出：1111kkkkkkniiMkk
7、PPY sT s R sR sR ssF sPKszN sD sN sF sL sD sD ssp 、分别为通路增益、通路余子式9.2 s平面上的映射围线平面上的映射围线F(s)的零点是系统特征方程的根的零点是系统特征方程的根柯西定理柯西定理Cauchys theorem：如果：如果S平面上围线平面上围线s顺时针包围顺时针包围F(s)的的Z个零点、个零点、P个极点，但不个极点，但不通过任何一个零点、极点，则对应的通过任何一个零点、极点，则对应的F(s)平面平面上围线上围线F顺时针包围原点顺时针包围原点N=Z-P周周函数函数F(s)，有，有1个零点、个零点、1个极点，个极点，Z=1，P=1：9.
8、2 s平面上的映射围线平面上的映射围线S平面围线包围平面围线包围F(s)的的1个零点、个零点、1个极点，个极点，F(s)平面围线不包围原点，或包围原点平面围线不包围原点，或包围原点N=Z-P=0次次 01/2sF sNZPs，柯西定理也称柯西定理也称幅角原理幅角原理principle of the argument当当S平面上的点平面上的点s沿围线沿围线s顺时针移动时，由于顺时针移动时，由于零点、极点的影响，零点、极点的影响，F(s)的相角会发生不同的的相角会发生不同的变化。仔细研究这种变化，可以更好地理解柯变化。仔细研究这种变化，可以更好地理解柯西定理。西定理。考虑函数：考虑函数：9.2 s
9、平面上的映射围线平面上的映射围线 1212121212121212|zzppszszF sspspF sF sF sszszszszspspspspF s当当s沿围线沿围线s移动一周移动一周360，相角，相角p1、p2、z2净变化净变化0，而，而z1顺时针变化顺时针变化360，F(s)相角相角的总变化也是的总变化也是360，因为，因为s只包围只包围F(s)的一个的一个零点零点9.2 s平面上的映射围线平面上的映射围线如果如果s包围包围F(s)的的Z个零点、个零点、P个极点，个极点，F(s)的的相角变化相角变化2Z2P弧度，则弧度，则F(s)平面中围线平面中围线F的净相角变化为：的净相角变化为：
10、9.2 s平面上的映射围线平面上的映射围线F包围包围F(s)平面平面原点原点N=ZP周周上图中，上图中，s包围包围F(s)的的1个零点，因此，个零点，因此，F顺时顺时针包围原点针包围原点1周周若若N为负值，则表示为负值，则表示 F逆时针包围原点逆时针包围原点N周周222FZPNZPS平面中围线平面中围线s包围包围3个零点、个零点、1个极点，则：个极点，则：9.2 s平面上的映射围线平面上的映射围线3 12N F(s)平面中围线平面中围线F顺时针包围原点顺时针包围原点2次次9.2 s平面上的映射围线平面上的映射围线S平面中围线平面中围线s包围包围0个零点、个零点、1个极点，则：个极点，则：0 1
11、1N F(s)平面中围线平面中围线F逆时针包围原点逆时针包围原点1次次闭环系统特征方程：闭环系统特征方程：1110niiMkkKszF sL ssp 9.3 Nyquist判据判据闭环系统稳定的充分必要条件：闭环系统稳定的充分必要条件：F(s)的所有零的所有零点都位于左半点都位于左半S平面平面在在S平面取围线平面取围线s 包围全部右半包围全部右半S平面，用柯西平面，用柯西定理确定定理确定F(s)在围线在围线s中是否有零点：在中是否有零点：在F(s)平平面中绘制面中绘制F，确定，确定F围绕原点的周数围绕原点的周数N，则，则F(s)在围线在围线s中零点（即，中零点（即，F(s)的不稳定零点或闭的不
12、稳定零点或闭环系统不稳定极点）的数目环系统不稳定极点）的数目Z=N+PNyquist围线：围线围线：围线s从从-j 到到+j通过虚轴，此通过虚轴，此围线映射出频率特性围线映射出频率特性F(j)；s其余部分是半其余部分是半径径r（r）的半圆周，此围线映射到一个点。）的半圆周，此围线映射到一个点。在在F(s)平面上映射出的围线平面上映射出的围线F即即Nyquist图或极图或极坐标图坐标图9.3 Nyquist判据判据Nyquist稳定判据的基本思路：绘制稳定判据的基本思路：绘制Nyquist围围线线s的映射曲线的映射曲线F，依柯西定理，根据，依柯西定理，根据F包围包围原点的周数，得到原点的周数，得
13、到Nyquist围线围线s包围包围F(s)零点零点（即系统的不稳定特征根）的个数（即系统的不稳定特征根）的个数Z=N+P，从，从而判断系统的稳定性而判断系统的稳定性对特征方程：对特征方程：9.3 Nyquist判据判据L(s)是开环传递函数，容易因式分解，是开环传递函数，容易因式分解，L(j)是是开环频率特性；开环频率特性；F(s)因式分解比较麻烦因式分解比较麻烦围线围线F对对F(s)平面上原点平面上原点（0，j0）的包围，转的包围，转变为围线变为围线L对对L(s)平面上（平面上（1，j0）点的包围）点的包围 11F sL sL sF s 有：Nyquist稳定判据稳定判据Nyquist st
14、ability criterion：n开环传递函数开环传递函数L(s)在右半在右半S平面没有不稳定极平面没有不稳定极点点(P=0)，反馈系统稳定的充分必要条件是，反馈系统稳定的充分必要条件是，L(s)平面上的围线平面上的围线L不包围不包围(1，j0)点点n开环传递函数开环传递函数L(s)在右半在右半S平面有不稳定极点平面有不稳定极点(P0)，反馈系统稳定的充分必要条件是，反馈系统稳定的充分必要条件是，L(s)平面上的围线平面上的围线L逆时针包围逆时针包围(1，j0)点点次数等于次数等于L(s)不稳定极点的个数不稳定极点的个数闭环系统稳定的充分必要条件：闭环系统稳定的充分必要条件：L(s)平面上
15、的平面上的围线围线L逆时针包围逆时针包围(1，j0)点的次数点的次数N，等于，等于开环系统环路传递函数开环系统环路传递函数L(s)不稳定极点的个数不稳定极点的个数P关键：关键：Z=N+P=0，稳定，稳定9.3 Nyquist判据判据例例9.1 有两个实极点的系统有两个实极点的系统 单回路控制系统，环路传递函数：单回路控制系统，环路传递函数：12121110011/10cKL sGs G s H sssK，9.3 Nyquist判据判据00.10.761210201001009679.670.750.26.82.240.1000-5.7-41.5-50.7-74.7-129.3-150.5-17
16、3.7-180L jL jS平面上围线平面上围线s的正虚轴部分的正虚轴部分+j，映射为，映射为L(s)平面上平面上Nyquist图；负虚轴部分图；负虚轴部分-j，映射到，映射到L(s)平面与平面与Nyquist图关于实轴对称；图关于实轴对称；r的半圆的半圆周映射为周映射为L(s)平面的原点平面的原点9.3 Nyquist判据判据L(s)在右半在右半S平面没有不稳定极点，平面没有不稳定极点，P=0如果该系统稳定，应有如果该系统稳定，应有N=Z=0这就要求在这就要求在L(s)平面上，平面上，Nyquist围线不能包围围线不能包围(1，j0)点点由图可知，无论由图可知，无论K取何值，围线不包围取何值
17、，围线不包围(1，j0)点。因此，点。因此，K0时，闭环系统总是稳定的时，闭环系统总是稳定的9.3 Nyquist判据判据例例9.2 在原点有一个极点的系统在原点有一个极点的系统 单回路控制系统：单回路控制系统：1cKL sGs G s H sss9.3 Nyquist判据判据a)S平面的原点：柯西定理要求平面的原点：柯西定理要求S平面的平面的Nyquist围围线不能通过系统的任何零点、极点。对于原点线不能通过系统的任何零点、极点。对于原点处处L(s)的极点，用半径为的极点，用半径为（0）的半圆周绕）的半圆周绕过原点处的极点。过原点处的极点。S平面无穷小半圆周为：平面无穷小半圆周为：00009
18、0090 0limlimlimjjjseKKL see ，时，；时，时，有：L(s)平面中，这部分映射围线的形状也是一个平面中，这部分映射围线的形状也是一个半圆周；半径无穷大；相角从半圆周；半径无穷大；相角从=0处的处的90变成变成=0处的处的0，再变到，再变到=0+处的处的-90b)从从=0+变化到变化到=+的部分：在的部分：在S平面这部分平面这部分围线上，有围线上，有s=j，在，在L(s)平面中，这部分映射平面中，这部分映射围线就是围线就是L(s)的的Nyquist图（极坐标图）图（极坐标图）：9.3 Nyquist判据判据 12|0180limlim1 lim/2tansjL sL jK
19、L jjjK 当时，幅值趋向于、相角趋向于：9.3 Nyquist判据判据c)从从=+变化到变化到=的部分：的部分：围线围线s中这一中这一部分被映射到部分被映射到L(s)平面的原点平面的原点：22lim|limjjs rerrKL ser 从从+变到变到=，从从+90变到变到90，L(s)围线的相位从围线的相位从+180变到变到180；r时，时，L(s)围线的幅值为围线的幅值为0或者某个常数或者某个常数d)从从=变化到变化到=0的部分：的部分：|sjL sLj即即L(j)的复共轭。从的复共轭。从=变化到变化到=0的这的这部分极坐标图，与部分极坐标图，与 从从+变到变到=0+的这部分的这部分极坐
20、标图极坐标图，关于实轴对称，关于实轴对称L(s)在右半平面无极点，在右半平面无极点，P=0。若系统稳定，应。若系统稳定，应有有N=Z=0，围线，围线L不包围不包围L(s)平面平面(-1，j0)点点从图可见，无论增益从图可见，无论增益K、时间常数、时间常数取何值，围取何值，围线线L都不包围都不包围(-1，j0)点。因此，系统稳定点。因此，系统稳定9.3 Nyquist判据判据从本例可得两个一般性结论：从本例可得两个一般性结论：1.从从 0的围线的围线L与与0+的围线的围线复共轭，在复共轭，在L(s)平面中平面中L(s)=GC(s)G(s)H(s)的的极坐标图关于实轴对称。研究稳定性时，只极坐标图
21、关于实轴对称。研究稳定性时，只需画出需画出0+的围线的围线L（注意原点附近的（注意原点附近的小半圆周）小半圆周）9.3 Nyquist判据判据(.02)jsrerL s 当且时，的幅值通常趋向于 或某个常数例例9.3 三个极点的系统三个极点的系统 单回路系统：单回路系统：1211cKL sGs G s H ssss9.3 Nyquist判据判据围线围线L在在0+的部分的部分L(j)：122121 22224 2 21212111222422121 2111/11tantan21KL jjjjKjKK 21 22224 2 2121221 21 21/1()01101/KL jv 令虚部为0：，
22、9.3 Nyquist判据判据当当=0+时，时，L(j)的幅值无穷大，相角的幅值无穷大，相角90当当+时时，L(j)的幅值趋近于的幅值趋近于0，相角趋近，相角趋近于于270：111231 231 21limlimtantan213 lim2L j 在在L(s)平面中围线穿越实轴，平面中围线穿越实轴，L与实轴交点：与实轴交点：21 2122224 2 212121/121 21 222121 2121 21 KuKK 9.3 Nyquist判据判据在该频率下，在该频率下，L(j)对应的实部为对应的实部为：围线围线L的的L(j)部分与部分与L(j)关于实轴对称关于实轴对称S平面上围绕原点的小半园映
23、射到平面上围绕原点的小半园映射到L(s)平面上，平面上，成为半径无穷大的半园成为半径无穷大的半园当当r时，时，s平面的半园平面的半园rej映射到映射到L(s)平面的平面的原点原点9.3 Nyquist判据判据如图，如图，L包围包围(1，j0)点两次点两次N=2，P=0，系，系统不稳定。统不稳定。Z=N+P=2，右半，右半S平面有两个极点平面有两个极点围线围线L与与L(s)平面负实轴交点位于平面负实轴交点位于(1，j0)点点右侧，右侧，L不包围不包围(1，j0)点，系统稳定：点，系统稳定：9.3 Nyquist判据判据1 212121 21KK ，围线围线L与与L(s)平面负实轴交于平面负实轴交
24、于(1，j0)点，点，系系统临界稳定：统临界稳定：121 2K 121 2K 围线围线L与与L(s)平面负实轴交点位于平面负实轴交点位于(1，j0)点点左侧，左侧，L包围包围(1，j0)点两次，系统不稳定：点两次，系统不稳定：12211K2KL ss s，系统稳定 12211K2KL ss s，临界稳定 12211K2KL ss s，系统不稳定200limlimKL j 例例9.4 原点处有原点处有2个重极点的系统个重极点的系统 单回路系统：单回路系统：9.3 Nyquist判据判据 2121/24261tan1cKL sGs G s H sssKKL jj L(j)的相角小于等于的相角小于等
25、于180，对，对0+0），环路传递函数：），环路传递函数：9.3 Nyquist判据判据对对S平面围绕原点的半圆周，与平面围绕原点的半圆周，与K2=0相同：相同：11000/2/2limlimlim180jjseKKL se，从逆时针变到考虑考虑S平面上半径平面上半径r无穷大的半圆周：无穷大的半圆周：12limlim22jjjs rerrseK KL ser，顺时针从变到围线围线L在在L(s)平面原点逆时针从平面原点逆时针从/2变到变到/22222223122112224322221212241/1/121212121001/1111(10)11 101KKLKKjKKKK jL jjKKKK
26、uK KK KK KK KSZNPK K 虚部为：，实部为：，时，围线逆时针包围点，点 周，右半 平面上闭环极点个数为：因此，当时，系统稳定9.3 Nyquist判据判据求求L(j)与实轴的交点：与实轴的交点：例例9.6 在右半在右半S平面有平面有1个零点的系统个零点的系统 开环稳定、非最小相位的单回路系统：开环稳定、非最小相位的单回路系统：9.3 Nyquist判据判据 2222122121limlim/25/202cK sL sGs G s H ssKjKjL jjjKL jL jKL jK 当时，有：当时，当时，L(j)的幅值与的幅值与K成比例，可以绘制成比例，可以绘制L(j)/K的的N
27、yquist图图这这3个典型值决定了映射围线与实轴的个典型值决定了映射围线与实轴的3个交点个交点当当K=1/2时，时，L(j)与实轴相交于与实轴相交于-1+j0点点当当0K1/2时，围线围绕时，围线围绕-1+j0点点1周周N=1，L(s)位位于右半于右半S平面的极点数平面的极点数P=0，则，则Z=N+P=1，闭环，闭环系统在右半平面有系统在右半平面有1个极点，系统不稳定个极点，系统不稳定9.3 Nyquist判据判据L(j)/K的的Nyquist图Nyquist判据可以判断闭环系统的绝对稳定性，判据可以判断闭环系统的绝对稳定性，也可以用来定义和确定相对稳定性也可以用来定义和确定相对稳定性用极坐
28、标图用极坐标图L(j)与与(1，j0)点的接近程度来衡点的接近程度来衡量系统的相对稳定性量系统的相对稳定性考虑频率特性函数：考虑频率特性函数：1211cKL jGjG jHjjjj9.4 相对稳定性与相对稳定性与Nyquist判据判据 随着增益随着增益K的增长，极坐标图接近的增长，极坐标图接近1+j0点，最点，最终包围终包围1+j0点点极坐标图与实轴交点的横坐标为：极坐标图与实轴交点的横坐标为：1 212Ku 1211KL jjjj的极坐标图增益达到临界值增益达到临界值时，系统在虚轴上有极点时，系统在虚轴上有极点：121 21uK 9.4 相对稳定性与相对稳定性与Nyquist判据判据 当增益
29、当增益K低于临界值时，系统稳定性增强低于临界值时，系统稳定性增强用临界增益与实际增益之间的差额，衡量系统用临界增益与实际增益之间的差额，衡量系统的相对稳定性，称为增益裕量。即增益被放大的相对稳定性，称为增益裕量。即增益被放大增益裕量倍时，系统达到临界稳定的增益裕量倍时，系统达到临界稳定的1+j0点点增益裕量增益裕量gain margin：相频特性相频特性180的频的频率上率上(相位交界频率相位交界频率)，增益，增益L(j)的倒数的倒数11|1dB20 log20 logdBggKL jdKdd 增益裕量对数测度增益裕量1 212 1 21212212 1 2121/1018011|120.51
30、420 log412dB412dBL jjL jKL jdKKKKd 当，增益裕量：如果，时系统稳定时，增益裕量为：或增益增大 倍()，系统达到稳定边界9.4 相对稳定性与相对稳定性与Nyquist判据判据 增益裕量增益裕量相角为相角为180时，如果要使系统临界时，如果要使系统临界稳定（稳定（Nyquist图与实轴交于图与实轴交于1+j0点），系统点），系统增益需要增加的倍数增益需要增加的倍数相位裕量相位裕量phase margin：幅频特性：幅频特性L(j)=1的频率上的频率上(增益交界频率增益交界频率)，在，在L(j)平面中，使平面中，使L(j)通过通过(1，j0)点所要旋转的相位角点所要
31、旋转的相位角相位裕量衡量实际系统与临界稳定系统的相位相位裕量衡量实际系统与临界稳定系统的相位差额，是使系统到达临界稳定需要增加的相角差额，是使系统到达临界稳定需要增加的相角相位裕量相位裕量增益为单位幅值时，增益为单位幅值时，如果要使系统临如果要使系统临界稳定（界稳定（Nyquist图与实轴交于图与实轴交于1+j0点），点），系系统相位需要增加的相移统相位需要增加的相移PM用用Bode图、对数幅相图评估系统相对稳定性。图、对数幅相图评估系统相对稳定性。L(j)平面上平面上1+j0点是临界稳定点；对数幅频点是临界稳定点；对数幅频特性图特性图0dB点点、相频特性图、相频特性图180点；点；对数幅对数
32、幅相图中临界稳定点为相图中临界稳定点为0dB点、点、180点点9.4 相对稳定性与相对稳定性与Nyquist判据判据 1211KL jjjj的极坐标图对系统：对系统：111 0.21Ljjjj9.4 相对稳定性与相对稳定性与Nyquist判据判据 在在Bode图、对数幅相图上得到如下结果：图、对数幅相图上得到如下结果：n对数幅频特性为对数幅频特性为0dB的频率上，相位的频率上，相位137，相位裕量为相位裕量为180137=43n相频特性为相频特性为180的频率上，增益的频率上，增益15dB，增益裕量为增益裕量为15dB对系统：对系统：增益裕量为增益裕量为5.7dB，相位裕量为相位裕量为20反馈
33、系统反馈系统L1(j)比比L2(j)相对更稳定相对更稳定2211Ljjj11Bode1 0.21Ljjjj的图12211 0.2111LjjjjLjjj对数幅相图 2222222222222242222222422222011 1440410412nnnnnnnnnccncncnccnncnL sL js sjjsssjL j ，闭环特征方程：闭环特征根：增益交界频率处幅值为：单回路系统回路传递函数：单回路系统回路传递函数：9.4 相对稳定性与相对稳定性与Nyquist判据判据 pm1142141801801 18090tan90tan412222tan4 1/2cccnL jL j 系统的相
34、位裕量：9.4 相对稳定性与相对稳定性与Nyquist判据判据 二阶欠阻尼系统，开环频率特性相位裕量与闭二阶欠阻尼系统，开环频率特性相位裕量与闭环极点阻尼比环极点阻尼比的关系，是频域响应与时域响应的关系，是频域响应与时域响应之间的关系之间的关系阻尼比与相位裕量（角度）有近似线性关系：阻尼比与相位裕量（角度）有近似线性关系：pm0.010.7，也适用于具有一对欠阻尼主导极点的高阶系统也适用于具有一对欠阻尼主导极点的高阶系统二阶系统闭环极点阻尼比与开环频率特性相位裕量的关系二阶系统闭环极点阻尼比与开环频率特性相位裕量的关系系统开环频率特性为：系统开环频率特性为：11 0.21L jjjj 24 c
35、KL sGs G s H ss s9.4 相对稳定性与相对稳定性与Nyquist判据判据 相位裕量为相位裕量为43，闭环系统主导极点的阻尼比，闭环系统主导极点的阻尼比近似为近似为:闭环系统阶跃响应的百分比超调量：闭环系统阶跃响应的百分比超调量：pm0.010.43单回路控制系统开环传递函数：单回路控制系统开环传递函数：2/1.10022%POe使系统临界稳定的增益使系统临界稳定的增益K=K*=128 24 KL sKs s，增益裕量与增益 的关系 24 KL sKs s，相位裕量与增益 的关系 24 KL ss s，增益裕量与相位裕量的关系反馈系统在时域中的瞬态响应由系统闭环频率反馈系统在时域
36、中的瞬态响应由系统闭环频率响应决定，需要建立闭环频率特性、开环频率响应决定，需要建立闭环频率特性、开环频率特性、时域响应之间的关系特性、时域响应之间的关系Nyquist稳定判据、稳定裕量采用开环频率特性稳定判据、稳定裕量采用开环频率特性1ccYjGjG jTjR jGjG jHj9.5 频域中的时域性能标准频域中的时域性能标准单回路系统闭环、开环频率特性的关系为：单回路系统闭环、开环频率特性的关系为：cL jGjG jHj对单位反馈系统有对单位反馈系统有H(j)=1：11jccGjG jL jTjMeGjG jL j 222222222222 22211111ccGjG jujvuvMGjG
37、jujvuvuvMuvMuM vuv两边平方：9.5 频域中的时域性能标准频域中的时域性能标准闭环频率特性闭环频率特性T(j)、开环频率特性、开环频率特性GCG(j)的的关系很容易在关系很容易在GCG(j)平面中研究，平面中研究，GCG(j)平平面的坐标为面的坐标为u和和v：cGjG jujv闭环频率特性闭环频率特性的幅值为：的幅值为：2222222222222222222222222222222221122112111111011MuMvM uMM uMuvMMM uMMMuvMMMMMMuvMMMMuvMM，平面上的圆，圆心，半径9.5 频域中的时域性能标准频域中的时域性能标准不同的不同的
38、M值得到不同的圆，这个圆簇称值得到不同的圆，这个圆簇称等等M圆圆M1：直线：直线u=0.5左侧左侧 MK1闭环系统幅频特性图，闭环系统幅频特性图，K2K1增益增益K=K1的开环频率响应曲线与幅值为的开环频率响应曲线与幅值为M1的的圆相切，切点处频率为圆相切，切点处频率为r1增益增益K=K2的开环频率响应曲线与的开环频率响应曲线与幅值为幅值为M2的的圆相切圆相切，切点处频率为，切点处频率为r2切点的频率切点的频率r就是系统谐振频率，闭环频率响就是系统谐振频率，闭环频率响应幅值达到谐振峰值应幅值达到谐振峰值Mp开环频率响应曲线与各个等开环频率响应曲线与各个等M圆的交点，在对圆的交点，在对应频率上，
39、闭环频率响应的幅值为应频率上，闭环频率响应的幅值为M通过开环系统极坐标图、等通过开环系统极坐标图、等M园，可以绘制闭园，可以绘制闭环系统幅频特性图环系统幅频特性图K=K2时，开环频率响应曲线与时，开环频率响应曲线与M1圆两次相交在圆两次相交在频率频率1和和2处，闭环频率响应幅值均为处，闭环频率响应幅值均为M19.5 频域中的时域性能标准频域中的时域性能标准K=K1时，闭环系统截止频率（带宽）为时，闭环系统截止频率（带宽）为B1，其开环幅频特性与其开环幅频特性与M=0.707的等的等M圆相交于圆相交于B1开环系统幅频特性增益交界频率（过零频率、开环系统幅频特性增益交界频率（过零频率、穿越频率穿越
40、频率crossover frequency）c、闭环系统幅、闭环系统幅频特性截止频率（带宽）频特性截止频率（带宽）B的近似关系：的近似关系：9.5 频域中的时域性能标准频域中的时域性能标准1.60.20.8Bc，1122tantan11tanvvujvTjujvuuvNuvu两边取正切：闭环系统相位相等，构成闭环系统相位相等，构成等等N圆圆：22222201111 1224111112 22vuvuNuvNNuvNN，平面上的圆，圆心，半径9.5 频域中的时域性能标准频域中的时域性能标准通过开环系统极坐标图、等通过开环系统极坐标图、等N圆圆，可以绘制闭，可以绘制闭环系统相频特性图环系统相频特性
41、图Nichols图图：N.B.Nichols将等将等M圆、等圆、等N圆迭加圆迭加到对数幅相图到对数幅相图等等M圆单位为圆单位为dB等等N圆单位为度圆单位为度例例9.7 用用Nichols图研究稳定性图研究稳定性 单位反馈控制系统开环频率特性为：单位反馈控制系统开环频率特性为：11 0.21cGjG jjjj9.5 频域中的时域性能标准频域中的时域性能标准由由Nichols图，闭环系统频率响应的谐振峰值图，闭环系统频率响应的谐振峰值Mp=0.25dB，谐振频率，谐振频率r=0.8，在，在r处闭环系处闭环系统相位为统相位为72闭环系统闭环系统3dB带宽带宽B=1.33，在在B处处闭环系统闭环系统相
42、位相位1420.82.5dB721.33142rpBM 谐振频率谐振峰值相位截止频率相位例例9.8 三阶系统三阶系统 单位反馈系统开环频率特性为：单位反馈系统开环频率特性为：20.641cGjG jjjj9.5 频域中的时域性能标准频域中的时域性能标准开环系统共轭复极点的阻尼比开环系统共轭复极点的阻尼比=0.5由由Nichols图，相位裕量图，相位裕量30如果闭环系统存在一对主导共轭复极点，由相如果闭环系统存在一对主导共轭复极点，由相位裕量估计这对共轭复极点的阻尼比为：位裕量估计这对共轭复极点的阻尼比为：闭环系统谐振频率闭环系统谐振频率r=0.88，谐振峰值，谐振峰值+9dBpm0.010.3
43、020 log9dB2.8ppMM，2Nichols0.641cG G jjjj图由相位裕量、谐振峰值所估计的由相位裕量、谐振峰值所估计的值是不同的值是不同的可见，频域、时域之间的关系是不清晰和不确可见，频域、时域之间的关系是不清晰和不确定的定的本例中，开环频率特性的形状比较特殊，它从本例中，开环频率特性的形状比较特殊，它从0dB轴迅速滑向轴迅速滑向180线，从而导致了有显著线，从而导致了有显著差异的估计结果差异的估计结果9.5 频域中的时域性能标准频域中的时域性能标准12|212.80.7070.18prMT，如果闭环系统可以近似为一对共轭复极点，由如果闭环系统可以近似为一对共轭复极点，由闭
44、环系统幅频特性谐振峰值与二阶系统阻尼比闭环系统幅频特性谐振峰值与二阶系统阻尼比的关系，可以估计得到阻尼比：的关系，可以估计得到阻尼比：由闭环特征方程由闭环特征方程1+L(s)求共轭复极点阻尼比：求共轭复极点阻尼比：20.770.2250.82600.1240.770.1125nq sssss 实极点位置：共轭复极点的实部：9.5 频域中的时域性能标准频域中的时域性能标准说明共轭复极点不是闭环系统主导极点，不能说明共轭复极点不是闭环系统主导极点，不能主导闭环系统响应。在本例中，不能忽略实极主导闭环系统响应。在本例中，不能忽略实极点的影响，这个实极点在某种程度上会影响闭点的影响，这个实极点在某种程
45、度上会影响闭环系统的阻尼环系统的阻尼本例中，采用闭环谐振峰值本例中，采用闭环谐振峰值Mp估计得到的闭估计得到的闭环阻尼比环阻尼比=0.18，接近于真实阻尼比，接近于真实阻尼比在使用频域、时域的近似关系时，要小心谨慎在使用频域、时域的近似关系时，要小心谨慎闭环控制系统的输出要能够准确、快速、稳定闭环控制系统的输出要能够准确、快速、稳定地复现输入信号地复现输入信号闭环控制系统带宽闭环控制系统带宽B能够很好地衡量系统逼真能够很好地衡量系统逼真复现信号的频率范围复现信号的频率范围对低频增益为对低频增益为0dB的系统，带宽为增益降低到的系统，带宽为增益降低到3dB的频率范围的频率范围系统阶跃响应速度与带
46、宽系统阶跃响应速度与带宽B大致成正比，调整大致成正比，调整时间与带宽时间与带宽B大致大致成反比成反比两个一阶闭环系统传递函数：两个一阶闭环系统传递函数：1211151T sTsss9.6 系统带宽系统带宽带宽越宽，阶跃响应速度越快，复现斜波输入带宽越宽，阶跃响应速度越快，复现斜波输入信号的逼真度越高信号的逼真度越高一阶闭环系统幅频特性一阶闭环系统幅频特性9.6 系统带宽系统带宽一阶闭环系统阶跃响应一阶闭环系统阶跃响应9.6 系统带宽系统带宽一阶闭环系统斜波响应一阶闭环系统斜波响应两个二阶闭环系统传递函数：两个二阶闭环系统传递函数：34221009001010030900T sTsssss9.6
47、 系统带宽系统带宽两个系统的阻尼比均为两个系统的阻尼比均为0.5，自然频率分别为，自然频率分别为10和和30闭环系统带宽越宽，时域响应速度越快闭环系统带宽越宽，时域响应速度越快nBP.O.TPTST30.51012.716%0.36s0.8sT40.53038.116%0.12s0.27s二阶闭环系统幅频特性二阶闭环系统幅频特性9.6 系统带宽系统带宽二阶闭环系统阶跃响应二阶闭环系统阶跃响应9.6 系统带宽系统带宽时延时延time delay系统中某一点发生的事件，在系系统中某一点发生的事件，在系统中另一点产生效果，之间的时间间隔称为时统中另一点产生效果，之间的时间间隔称为时延。也称延。也称纯
48、滞后纯滞后pure time delay 1 radsTdj TddGseTGjeGjT ，为时延时延对反馈系统稳定性有不利影响，这种影响时延对反馈系统稳定性有不利影响，这种影响可以用可以用Nyquist稳定性判据来确定稳定性判据来确定时延环节不引入新的零、极点，不改变系统的时延环节不引入新的零、极点，不改变系统的幅频特性，但会增大系统相位滞后幅频特性，但会增大系统相位滞后在有物质移动的系统中，物料从输入点（控制在有物质移动的系统中，物料从输入点（控制点）到输出点（测量点），需要经过一定时间点）到输出点（测量点），需要经过一定时间9.7 具有纯滞后的控制系统的稳定性具有纯滞后的控制系统的稳定性
49、轧钢机控制系统：马达调整轧辊的间距，以减轧钢机控制系统：马达调整轧辊的间距，以减小板材的厚度偏差。钢板速度小板材的厚度偏差。钢板速度v，轧辊与测量点，轧辊与测量点距离距离d，轧辊间距调整和厚度测量之间时延：，轧辊间距调整和厚度测量之间时延：dTv9.7 具有纯滞后的控制系统的稳定性具有纯滞后的控制系统的稳定性要减小时延的影响，就必须减少控制点与测量要减小时延的影响，就必须减少控制点与测量点之间的距离，或者加快板材的移动速度点之间的距离，或者加快板材的移动速度实际生产中，常常无法做到，无法忽略时延对实际生产中，常常无法做到，无法忽略时延对系统的影响。系统开环传递函数为：系统的影响。系统开环传递函
50、数为：sTcj Tcj TcccGs G s eL jGjG jeL jGjG jeGjG jL jGjG jT 绘制时延系统绘制时延系统Bode图，分析图，分析0dB、180点的点的稳定性稳定性9.7 具有纯滞后的控制系统的稳定性具有纯滞后的控制系统的稳定性例例9.9 液位控制系统液位控制系统9.7 具有纯滞后的控制系统的稳定性具有纯滞后的控制系统的稳定性阀门调节和液体流出之间的时延为：阀门调节和液体流出之间的时延为：231.5 1 301/9/31sTAfsTL sGs G s Gs eessss系统开环传递函数为：系统开环传递函数为：325/1dTvmsmTs如果流速，管道截面积1，时延
