1、前页后页返回机动第五节第五节 极限运算法则极限运算法则n一、一、n二、二、n三、三、n四、内容小结四、内容小结返回前页后页返回机动一、一、均均为为无无穷穷小小。及及则则为为有有界界函函数数，均均为为无无穷穷小小，而而及及）时时，（设设定定理理 )uxuuxxxxx)(.10 推推论论：穷穷小小；有有限限个个无无穷穷小小之之和和是是无无 为为常常数数）；是是无无穷穷小小（AA穷穷小小。有有限限个个无无穷穷小小之之积积是是无无 证明前页后页返回机动oyx.sinlimxxx 求求例如例如解解:,1sin x01lim xx 而而由定理1 可知.0sinlimxxxxxysin如图示如图示 y=0
2、是xxysin的水平渐近线.返回前页后页返回机动二、二、则有则有若若,)(lim,)(limBxgAxf )()(limxgxf i）（;)(lim)(limBAxgxf 定理定理2.)()(limxgxf ii）（;)(lim)(lim BAxgxf )()(limxgxf iii）（)(lim)(limxgxfBA.0 ）（B证（证（i）:据题意有BxgAxf)(,)(其中,为无穷小)故)()()()(BAxgxf)()(BA系系知知由由函函数数极极限限和和无无穷穷小小关关BAxgxf )()(lim（类类似似可可证证其其他他）前页后页返回机动推论推论 2.)(lim)(limxfCxfC
3、(C 为常数)推论推论 3.nnxfxf)(lim)(lim(n 为正整数),)(lim,)(limBxgAxf且),()(xgxf则.BA(P45 定理定理 5 自学自学)推论推论 1.,lim,limByAxnnnn 若若则有,00)(时时且且当当 ByniiiBAyxnnnlim)(lim)(nnnyx iBAnnnyx lim)(iiBA定理定理 3.前页后页返回机动 .13lim 1 21）（求求例例1434xxxx解：解：234)1(143 xxx )(1 1232 xxx6123 21 )(limxxx原原式式222)1()123()1(xxxx前页后页返回机动0).(lim 2
4、 aaxaxaxax22求求例例解：解：axaxaxax1lim 22原原式式axaxaxaxax1)(lim22 axaxaxaxax1)(lima21 前页后页返回机动 lim 2 lim 1 3 ）（）（求求例例52123357243322323 xxxxxxxxxx730为非负常数)nmba,0(00mn 当(如如P47 例例7)mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110,00ba,0,mn 当mn 当一般结果：一般结果：返回前页后页返回机动三、三、定理定理4.设,)(lim0axxx且 x 满足100 xx,)(ax 又,)(limAufau则有)(lim0 xfxxAuf
5、au)(lim 说明说明:若定理中若定理中,)(lim0 xxx则类似可得)(lim0 xfxxAufu)(lim证明前页后页返回机动解解:方法方法 1.11lim.1 xxx 4求求例例,xu 则,1lim1ux令11112uuxx1 u 原式)1(lim1uu2方法方法 211lim1xxx1)1)(1(lim1xxxx)1(lim1xx2前页后页返回机动 .1 1 lim 5 0 xxnx求求例例 11-1 提提示示：uuuuun-n-n21解：解：1 1 n nuxux，令令11lim1 nuuu原原始始 n1 11 1 lim 0 nxxnx或或11lim211 uuunnu前页后页
6、返回机动.)1(lim.2xxxx 6 求求例例解解:原式=xxxx1lim21111lim2xx21方法方法 2 令,1xt tttt1111lim2021则原式=22011limttt111lim20tt 0t方法方法 1 前页后页返回机动.7 1lim321 xnxxxx nx例例2)1(nn解：解：111121 xxxxnx)()()(lim原原式式 )()(lim111211 xxxxnnxn 21前页后页返回机动四、内容小结四、内容小结返回1.极限运算法则(1)无穷小运算法则(2)极限四则运算法则(3)复合函数极限运算法则注意使用条件2.求函数极限的方法(1)分式函数极限求法0)1
7、xx 时,用代入法(分母不为 0)0)2xx 时,对00型,约去公因子x)3时,分子分母同除最高次幂(2)复合函数极限求法设中间变量前页后页返回机动)(xf解解:利用前一极限式可令bxaxxxf2322)(再利用后一极限式,得xxfx)(lim30可见0,3ba是多项式,且,22)(lim23xxxfx,3)(lim0 xxfx求.)(xf)(lim0 xbax故xxxxf322)(23返回前页后页返回机动均均为为无无穷穷小小。及及则则为为有有界界函函数数，而而均均为为无无穷穷小小，）时时，（设设定定理理 uxuuxxx)(,.10 证：证：（i）设,0lim0 xx,0lim0 xx,0,0
8、1当100 xx时,有2,02当200 xx时,有2,min21取时,有则当00 xx 22因此.0)(lim0 xx即当0 xx 时,为无穷小量.前页后页返回机动返回（ii）,),(,0101xx 故故Mu 使使,0lim0 xx 而言，而言，就就 M,0 ,02，),(20 xx 有有 ,min21 取取则当),(0 xx时,就有uu MM故,0lim0uxx即u是0 xx 时的无穷小.有有界界，据据题题意意，函函数数)(xuu 前页后页返回机动定理定理4.设,)(lim0axxx且 x 满足100 xx时,)(ax 又,)(limAufau则有)(lim0 xfxxAufau)(lim证证:Aufau)(lim,0,0当au0时,有 Auf)(axxx)(lim0,0,02当200 xx时,有ax)(对上述取,min21则当00 xx时ax)(au 故0Axf)(Auf)(,(*)因此(*)式成立.返回
