1、曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面方程的定义：曲面方程的定义：如如果果曲曲面面S与与三三元元方方程程0),(zyxF有有下下述述关关系系：一、空间曲面与空间曲线一、空间曲面与空间曲线研究空间曲面有研究空间曲面有两个基本问题两个基本问题：（1 1）已知一曲面的几何轨迹，建立曲面方程）已知一曲面的几何轨迹，建立曲面方程（2 2）已知一三元方程）已知一三元方程 研究曲面形状研究曲面形状0),(zyxF以下给出几例常见的曲面：以下给出几例常见的曲面：解解设设),(zyxM是球面上任一点，是球面上任一点，RMM|0根据题意有根据题意有 Rzzyyxx 2
2、02020 2202020Rzzyyxx 所求方程为所求方程为特别：特别：球心在原点时方程为球心在原点时方程为2222Rzyx 0222 DCzByAxzyx,的二次方程的二次方程此方程是此方程是zyx:它它有有以以下下特特点点;1,.1222均为均为项的系数相等项的系数相等zyx.,.2等乘项等乘项方程中没有方程中没有zxyzxy表示一个球面。表示一个球面。一般地一般地,方程方程例如例如:方程方程04624222 zyxzyx配方得配方得18)3()1()2(222 zyx这是球心在这是球心在)3,1,2(半径为半径为 的球面方程的球面方程.23例例 2 2 求求与与原原点点O及及)4,3,
3、2(0M的的距距离离之之比比为为2:1的的点点的的全全体体所所组组成成的的曲曲面面方方程程.解解设设),(zyxM是曲面上任一点，是曲面上任一点，,21|0 MMMO根据题意有根据题意有 ,21432222222 zyxzyx .911634132222 zyx所求方程为所求方程为二、柱面二、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:这条定曲线这条定曲线 叫叫柱面的柱面的准线准线，动，动直线直线L 叫柱面的叫柱面的母线母线.给定一曲线给定一曲线,如果动直线如果动直线L沿曲线沿曲线 平行移动平行移动,则动直线则动直线L所形成的曲面所形成的曲面,称为柱面称为柱面.L播放播放二、柱面二、柱面观察柱面
4、的形观察柱面的形成过程成过程:这条定曲线这条定曲线 叫叫柱面的柱面的准线准线，动，动直线直线L 叫柱面的叫柱面的母线母线.给定一曲线给定一曲线,如果动直线如果动直线L沿曲线沿曲线 平行移动平行移动,则动直线则动直线L所形成的曲面所形成的曲面,称为柱面称为柱面.L二、柱面二、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:这条定曲线这条定曲线 叫叫柱面的柱面的准线准线，动，动直线直线L 叫柱面的叫柱面的母线母线.给定一曲线给定一曲线,如果动直线如果动直线L沿曲线沿曲线 平行移动平行移动,则动直线则动直线L所形成的曲面所形成的曲面,称为柱面称为柱面.L二、柱面二、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程
5、:这条定曲线这条定曲线 叫叫柱面的柱面的准线准线，动，动直线直线L 叫柱面的叫柱面的母线母线.给定一曲线给定一曲线,如果动直线如果动直线L沿曲线沿曲线 平行移动平行移动,则动直线则动直线L所形成的曲面所形成的曲面,称为柱面称为柱面.L二、柱面二、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:这条定曲线这条定曲线 叫叫柱面的柱面的准线准线，动，动直线直线L 叫柱面的叫柱面的母线母线.给定一曲线给定一曲线,如果动直线如果动直线L沿曲线沿曲线 平行移动平行移动,则动直线则动直线L所形成的曲面所形成的曲面,称为柱面称为柱面.L二、柱面二、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:这条定曲线这条定曲线 叫叫
6、柱面的柱面的准线准线，动，动直线直线L 叫柱面的叫柱面的母线母线.给定一曲线给定一曲线,如果动直线如果动直线L沿曲线沿曲线 平行移动平行移动,则动直线则动直线L所形成的曲面所形成的曲面,称为柱面称为柱面.L二、柱面二、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:这条定曲线这条定曲线 叫叫柱面的柱面的准线准线，动，动直线直线L 叫柱面的叫柱面的母线母线.给定一曲线给定一曲线,如果动直线如果动直线L沿曲线沿曲线 平行移动平行移动,则动直线则动直线L所形成的曲面所形成的曲面,称为柱面称为柱面.L二、柱面二、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:这条定曲线这条定曲线 叫叫柱面的柱面的准线准线，动，动
7、直线直线L 叫柱面的叫柱面的母线母线.给定一曲线给定一曲线,如果动直线如果动直线L沿曲线沿曲线 平行移动平行移动,则动直线则动直线L所形成的曲面所形成的曲面,称为柱面称为柱面.L二、柱面二、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:这条定曲线这条定曲线 叫叫柱面的柱面的准线准线，动，动直线直线L 叫柱面的叫柱面的母线母线.给定一曲线给定一曲线,如果动直线如果动直线L沿曲线沿曲线 平行移动平行移动,则动直线则动直线L所形成的曲面所形成的曲面,称为柱面称为柱面.L二、柱面二、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:这条定曲线这条定曲线 叫叫柱面的柱面的准线准线，动，动直线直线L 叫柱面的叫柱面的
8、母线母线.给定一曲线给定一曲线,如果动直线如果动直线L沿曲线沿曲线 平行移动平行移动,则动直线则动直线L所形成的曲面所形成的曲面,称为柱面称为柱面.L二、柱面二、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:这条定曲线这条定曲线 叫叫柱面的柱面的准线准线，动，动直线直线L 叫柱面的叫柱面的母线母线.给定一曲线给定一曲线,如果动直线如果动直线L沿曲线沿曲线 平行移动平行移动,则动直线则动直线L所形成的曲面所形成的曲面,称为柱面称为柱面.L二、柱面二、柱面这条定曲线这条定曲线 叫叫柱面的柱面的准线准线，动，动直线直线L 叫柱面的叫柱面的母线母线.给定一曲线给定一曲线,则动直线则动直线L所形成的曲面所形
9、成的曲面,称为柱面称为柱面.如果动直线如果动直线L沿曲线沿曲线 平行移动平行移动,观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:下面建立母线平行某坐标轴下面建立母线平行某坐标轴,准线在与母线垂直准线在与母线垂直的坐标平面上的柱面方程的坐标平面上的柱面方程.设柱面的母线平行设柱面的母线平行z轴轴,准线准线 是是xoy平面上的平面上的一曲线一曲线 00),(zyxF求柱面求柱面 的方程的方程.在所求柱面上任取一点在所求柱面上任取一点),(zyxM 则则M在某条在某条母线上母线上,该母线与该母线与 的交点为的交点为),0,(000yxM由母线平行由母线平行z轴知轴知MM0),1,0,0(即即xyzo 0M
10、M解解:反之反之,若点若点),(zyxM满足满足,0),(yxF则则,)0,(yx而而),(zyx在过在过)0,(yx的母线上的母线上所以点所以点M在所求曲面上在所求曲面上.,100000zzyyxx 即即00,yyxx 又又0M在在 上上,故故,0),(),(00 yxFyxF,0),(yxF为所求曲面方程为所求曲面方程.综上知综上知:0),(yxF缺缺z坐标的方程坐标的方程在空间在空间表示母线平行表示母线平行z轴的柱面轴的柱面,其准线方程是其准线方程是 00),(zyxF 00),(:yzxF 00),(:xzyF类似类似,0),(zxF缺缺y坐标的方程坐标的方程在空间在空间表示母线平行表
11、示母线平行y轴的柱面轴的柱面,其准线方程是其准线方程是0),(zyF缺缺x坐标的方程坐标的方程在空间在空间表示母线平行表示母线平行x轴的柱面轴的柱面,其准线方程是其准线方程是例例1222)1(Ryx 表示母线平行表示母线平行z轴的轴的圆柱面圆柱面，准线是准线是xoy平面上的圆平面上的圆,方程为方程为 0222zRyxo2)2(xz 表示母线平行表示母线平行y轴的轴的抛物柱面抛物柱面，准线是准线是xoz平面上的抛物线平面上的抛物线,方程为方程为.02 yxzxozyxyzxozyxy 平面平面xy )3(表示母线平行表示母线平行z轴的平面轴的平面.12222 czby椭圆柱面椭圆柱面 /轴轴x1
12、2222 byax双曲柱面双曲柱面 /轴轴zpzx22 抛物柱面抛物柱面 /轴轴y准线为：准线为：012222xczby准线为：准线为：012222zbyax准线为：准线为：022ypzx例例2三、旋转曲面三、旋转曲面定义定义 一条平面一条平面曲线绕其平面上曲线绕其平面上的一条定直线旋的一条定直线旋转一周所成的曲转一周所成的曲面称为旋转曲面面称为旋转曲面.这条定直线叫这条定直线叫旋转曲面的旋转曲面的轴轴播放播放三、旋转曲面三、旋转曲面定义定义 以一条平以一条平面曲线绕其平面面曲线绕其平面上的一条直线旋上的一条直线旋转一周所成的曲转一周所成的曲面称为旋转曲面面称为旋转曲面.这条定直线叫这条定直线
13、叫旋转曲面的旋转曲面的轴轴三、旋转曲面三、旋转曲面定义定义 以一条平以一条平面曲线绕其平面面曲线绕其平面上的一条直线旋上的一条直线旋转一周所成的曲转一周所成的曲面称为旋转曲面面称为旋转曲面.这条定直线叫这条定直线叫旋转曲面的旋转曲面的轴轴三、旋转曲面三、旋转曲面定义定义 以一条平以一条平面曲线绕其平面面曲线绕其平面上的一条直线旋上的一条直线旋转一周所成的曲转一周所成的曲面称为旋转曲面面称为旋转曲面.这条定直线叫这条定直线叫旋转曲面的旋转曲面的轴轴三、旋转曲面三、旋转曲面定义定义 以一条平以一条平面曲线绕其平面面曲线绕其平面上的一条直线旋上的一条直线旋转一周所成的曲转一周所成的曲面称为旋转曲面面
14、称为旋转曲面.这条定直线叫这条定直线叫旋转曲面的旋转曲面的轴轴三、旋转曲面三、旋转曲面定义定义 以一条平以一条平面曲线绕其平面面曲线绕其平面上的一条直线旋上的一条直线旋转一周所成的曲转一周所成的曲面称为旋转曲面面称为旋转曲面.这条定直线叫这条定直线叫旋转曲面的旋转曲面的轴轴三、旋转曲面三、旋转曲面定义定义 以一条平以一条平面曲线绕其平面面曲线绕其平面上的一条直线旋上的一条直线旋转一周所成的曲转一周所成的曲面称为旋转曲面面称为旋转曲面.这条定直线叫这条定直线叫旋转曲面的旋转曲面的轴轴三、旋转曲面三、旋转曲面定义定义 以一条平以一条平面曲线绕其平面面曲线绕其平面上的一条直线旋上的一条直线旋转一周所
15、成的曲转一周所成的曲面称为旋转曲面面称为旋转曲面.这条定直线叫这条定直线叫旋转曲面的旋转曲面的轴轴三、旋转曲面三、旋转曲面定义定义 以一条平以一条平面曲线绕其平面面曲线绕其平面上的一条直线旋上的一条直线旋转一周所成的曲转一周所成的曲面称为旋转曲面面称为旋转曲面.这条定直线叫这条定直线叫旋转曲面的旋转曲面的轴轴三、旋转曲面三、旋转曲面定义定义 以一条平以一条平面曲线绕其平面面曲线绕其平面上的一条直线旋上的一条直线旋转一周所成的曲转一周所成的曲面称为旋转曲面面称为旋转曲面.这条定直线叫这条定直线叫旋转曲面的旋转曲面的轴轴三、旋转曲面三、旋转曲面定义定义 以一条平以一条平面曲线绕其平面面曲线绕其平面
16、上的一条直线旋上的一条直线旋转一周所成的曲转一周所成的曲面称为旋转曲面面称为旋转曲面.这条定直线叫这条定直线叫旋转曲面的旋转曲面的轴轴三、旋转曲面三、旋转曲面定义定义 以一条平以一条平面曲线绕其平面面曲线绕其平面上的一条直线旋上的一条直线旋转一周所成的曲转一周所成的曲面称为旋转曲面面称为旋转曲面.这条定直线叫这条定直线叫旋转曲面的旋转曲面的轴轴三、旋转曲面三、旋转曲面定义定义 以一条平以一条平面曲线绕其平面面曲线绕其平面上的一条直线旋上的一条直线旋转一周所成的曲转一周所成的曲面称为旋转曲面面称为旋转曲面.这条定直线叫这条定直线叫旋转曲面的旋转曲面的轴轴三、旋转曲面三、旋转曲面定义定义 一条平面
17、一条平面曲线绕其平面上曲线绕其平面上的一条定直线旋的一条定直线旋转一周所成的曲转一周所成的曲面称为旋转曲面面称为旋转曲面.这条定直线叫这条定直线叫旋转曲面的旋转曲面的轴轴下面建立以下面建立以yoz平面上的曲线绕平面上的曲线绕z轴旋转的曲轴旋转的曲面方程面方程.00),(:xzyF,轴旋转轴旋转绕绕 z),0(000zyM),0(000zyM设设;)1(0zz|022yyxd 如图如图轴轴的的距距离离到到点点zM)2(将将 代入代入2200,yxyzz 0),(00 zyF设设yoz平面上曲线平面上曲线xozy0),(zyF Md在在 上上,则有则有0M转到转到),(zyxM时时,满足满足与与
18、到到z轴的距离相等轴的距离相等,0M,0),(00 yxF当当将将 代入代入2200,yxyzz ,0,22 zyxF得得同同理理：yoz坐坐标标面面上上的的已已知知曲曲线线0),(zyF绕绕y轴轴旋旋转转一一周周的的旋旋转转曲曲面面方方程程为为 .0,22 zxyF0),(00 zyF .0,22 zyxF .0,22 zyxF .0,22 zyxF xoy坐坐标标面面上上的的已已知知曲曲线线0),(yxF绕绕y轴轴旋旋转转一一周周的的旋旋转转曲曲面面方方程程为为 .0,22 yzxF例例2 2 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程成的旋
19、转曲面的方程绕绕x轴轴旋旋转转绕绕z轴轴旋旋转转122222 czyax122222 czayx解解:旋转双曲面旋转双曲面pzyx222 旋转抛物面旋转抛物面解解:绕绕y轴轴旋旋转转绕绕z轴轴旋旋转转122222 czxay122222 czayx解解:旋转椭球面旋转椭球面注意注意:上述例建立旋转曲面方程的方法是在旋转曲上述例建立旋转曲面方程的方法是在旋转曲线和旋转轴在同一个平面上的条件下进行的，线和旋转轴在同一个平面上的条件下进行的，若旋转曲线和旋转轴不在同一个平面上，则必若旋转曲线和旋转轴不在同一个平面上，则必须用建立旋转曲面的两个不变条件进行须用建立旋转曲面的两个不变条件进行例例 直线直
20、线1101zyx 绕轴旋转一周，求旋绕轴旋转一周，求旋转曲面的方程转曲面的方程解：解：xyz 0M在直线上取一点在直线上取一点),(0000zyxM则则,10 x,00zy 当当0M绕轴旋转绕轴旋转到到),(zyxM则有则有 M;)1(0zz 202022yxyx 轴轴的的距距离离到到点点zM)2(与与 到到z轴的距离相等轴的距离相等,0M用用0zz ,10 x代入上式，化简得代入上式，化简得,1222zyx ,00zy 即所求曲面方程为即所求曲面方程为.1222 zyx)0,0,1(四、锥面四、锥面设空间一定点设空间一定点0P和一定曲线和一定曲线,过过 上每一点引一上每一点引一条过条过0P的
21、直线，这些直线形成的曲面叫做锥面。的直线，这些直线形成的曲面叫做锥面。定点定点0P称为锥面的称为锥面的顶点顶点.定曲线定曲线 称为锥面的称为锥面的准线准线.构成锥面的动直线构成锥面的动直线,称为称为锥面的锥面的母线母线.0P 例例1 试建立顶点在原点试建立顶点在原点,准线为准线为 1122zyx的圆锥面方程的圆锥面方程.解解:在准线上任取一点在准线上任取一点),1,(000yxM则则,12020 yx作母线作母线,0OM在在0OM上任取一点上任取一点),(zyxM点点M在所求锥面上在所求锥面上,由由,0MOM三点共线知三点共线知,OM0OM即有即有,100zyyxx 即即,0zxx ,0zyy
22、 代入代入12020 yx得得222zyx 圆锥面圆锥面xyzo 0M M常见锥面及方程常见锥面及方程:22zxy 22zyx 221zxz xyzoxyzoxyzo1 0),(0),(zyxGzyxF空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程xozy1S2S 空间曲线可看作空间两曲面的交线空间曲线可看作空间两曲面的交线.五、空间曲线及其方程五、空间曲线及其方程:例如例如 0122zyx表示表示xoy平面上的平面上的圆心圆心在原点半径为在原点半径为1的圆的圆.oxyz该圆还可表示为下列形式该圆还可表示为下列形式:例例1 1 方程组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？6332122zyxyx解解1
23、22 yx表示圆柱面，表示圆柱面，6332 zyx表示平面，表示平面，6332122zyxyx交线为椭圆交线为椭圆.都表示都表示xoy平面上的平面上的圆心在原点半径为圆心在原点半径为1的圆的圆.,01222 zzyx或或 1122222yxzyx例例2 2 方程组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？4)2(222222ayaxyxaz解解222yxaz 上半球面上半球面,4)2(222ayax 圆柱面圆柱面,交线如图交线如图.)()()(tzztyytxx 当当给给定定1tt 时时，就就得得到到曲曲线线上上的的一一个个点点),(111zyx，随随着着参参数数的的变变化化可可得得到到曲曲线线
24、上上的的全全部部点点.六、空间曲线的参数方程六、空间曲线的参数方程:t为参数为参数0M MPt 解解xyzo 动点从动点从 出发，经过出发，经过 t，运，运动到点动到点 取时间取时间 t 为参数，为参数，tax cos tay sin vtz 螺旋线的参数方程螺旋线的参数方程0M),.,(zyxMtOPM 0则得则得tax cos tay sin vtz 螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的参数方程还可以写为 bzayaxsincos),(vbt七、空间曲线在坐标面上的投影七、空间曲线在坐标面上的投影如图如图:投影曲线的研究过程投影曲线的研究过程.空间曲线空间曲线投影柱面投影柱面投影曲线投影曲线
25、设空间曲线的一般方程：设空间曲线的一般方程：0),(0),(zyxGzyxF将曲线方程组消去变量将曲线方程组消去变量z后得：后得：0),(yxH曲线关于曲线关于 的的投影柱面投影柱面,xoy求它在求它在xoy平面上的投影曲线平面上的投影曲线.方程中缺方程中缺z坐标坐标,表示母线平行表示母线平行z的柱面的柱面,称为称为空间曲线在空间曲线在 面上的面上的投影曲线投影曲线,xoy 00),(zyxH该柱面与该柱面与xoy面交线为面交线为方程为方程为类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影 00),(xzyR 00),(yzxT面上的面上的投影曲线：投影曲线
26、：yoz面上的面上的投影曲线：投影曲线：xoz将曲线方程组消去变量将曲线方程组消去变量y后得后得 0),(0),(zyxGzyxF将曲线方程组消去变量将曲线方程组消去变量x后得后得例例 1 求曲线求曲线 在坐标面上的投影在坐标面上的投影.211222zzyx解解消去变量消去变量z后得后得,4322 yx在在 面上的投影为面上的投影为xoy,04322 zyx所以在所以在 面上的投影为线段面上的投影为线段.xoz;23|,021 xyz（3）同理在）同理在 面上的投影也为线段面上的投影也为线段.yoz.23|,021 yxz（2）因为曲线在平面）因为曲线在平面 上，上，21 z 211222zz
27、yx截线方程为截线方程为 0222zyxxzy解解如图如图,（1）消消去去z得得投投影影,004522 zxxyyx（2）消去）消去y得投影得投影,0042522 yxxzzx（3）消消去去x得得投投影影.00222 xzyzy xzyzyx2202解解,22222 zxzxy交线方程为交线方程为消消去去z得得投投影影柱柱面面,122 yx在在 面上的投影为面上的投影为xoy.0122 zyx曲面方程的概念曲面方程的概念旋转曲面的概念及求法旋转曲面的概念及求法.柱面的概念柱面的概念(母线、准线母线、准线).0),(zyxF小小 结结空间曲线的一般方程、参数方程空间曲线的一般方程、参数方程空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影 0),(0),(zyxGzyxF )()()(tzztyytxx 00),(zyxH 00),(xzyR 00),(yzxT
