1、1.3.3 已知三角函数值求角已知三角函数值求角2k，kZ2k，(2k1)(kZ)(2k1)，2(k1)(kZ)我们知道，任意给定一个角，只要这我们知道，任意给定一个角，只要这个角的三角函数值存在，就可以求出这个角的三角函数值存在，就可以求出这个三角函数值；反过来，已知一个三角个三角函数值；反过来，已知一个三角函数值，也可以求出与它对应的角。函数值，也可以求出与它对应的角。1.已知正弦值，求角已知正弦值，求角例例1、已知、已知 sinx=，12（1）若）若 ，求，求x；（2）若）若 ，求，求x；（3）若）若 xR，求，求x的取值集合。的取值集合。2,2x)2,0 x(1)若若 ，求，求x；2,
2、2x解：因为解：因为 ，所以，所以x是第一或第二象是第一或第二象限的角，由正弦函数的图象知道限的角，由正弦函数的图象知道sin =或或sin =.得在得在 时，时，x=21sinx66521212,2x6(2)若若 ，求，求x；)2,0 x解得解得x1=，x2=.665（3）若）若 xR，求，求x的取值集合。的取值集合。比较（比较（1），（），（2）得）得x的取值集合是的取值集合是5|2,|2,66x xkkZx xkkZ 由例由例1可知，在函数可知，在函数y=sinx的的非单调区间非单调区间上，上，对于一个已知的正弦值，有对于一个已知的正弦值，有多个角和它对应多个角和它对应，如在如在0，2上
3、，有两个角的正弦值都是上，有两个角的正弦值都是 ，而在而在R上，有无穷多个角的正弦值都是上，有无穷多个角的正弦值都是 .2121 但在一个但在一个y=sinx的的单调区间单调区间上，只有上，只有一个角一个角和已知的正弦值对应和已知的正弦值对应，比如在区间，比如在区间 上，只有上，只有 的正弦值等于的正弦值等于2,2x621 一般地，对于正弦函数一般地，对于正弦函数y=sinx，如果已知，如果已知函数值函数值y(y1,1)，那么在，那么在 上上有唯一的有唯一的x值和它对应，记为值和它对应，记为x=arcsiny(其中其中1y1，)22x2,2x 即即arcsiny(|y|1)表示表示 上正弦等于
4、上正弦等于y的那个角的那个角,2 2 的意义：的意义：(1)表示一个角，角的正弦值为表示一个角，角的正弦值为a,(2)即即(2)角的范围是角的范围是aarcsin2,2arcsin a)11(aaa )sin(arcsinaarcsin练习：练习：（1）表示什么意思？表示什么意思？21arcsin表示表示 上正弦值等于上正弦值等于 的那个角，即角的那个角，即角 ，2,2 216 21arcsin621arcsin 故故（2）若）若2,2,23sin xx ，则，则x=（3）若）若2,2,7.0sin xx，则，则x=已知三角函数值求角已知三角函数值求角7.0arcsin3)23arcsin(例
5、例2.已知已知cosx=0.5，解：（解：（1）由于）由于cosx=0.5，所以，所以x是第一或第四是第一或第四象限的角象限的角.因为因为cos =0.5，所以符合条件在第一象限的，所以符合条件在第一象限的角角x=.33（1）若）若 ，求，求x；（2）若）若 ，求，求x；（3）若）若 xR，求，求x的取值集合。的取值集合。)2,0 x,0由诱导公式知由诱导公式知cos(2x)=cosx，所以所以cos()=cos =0.5，即在第四象限，符合条件的角即在第四象限，符合条件的角x=.53353aarccos的意义：的意义：首先首先 表示一个角，角的余弦值为表示一个角，角的余弦值为a ，即，即角的
6、范围是角的范围是 aarccos,0arccos a)11(aaa )cos(arccos根据余弦函数的图象和性质寻找区间使其满足：根据余弦函数的图象和性质寻找区间使其满足：使符合条件的使符合条件的 的角的角x有且只有一个，而且有且只有一个，而且包括锐角包括锐角ax cos)11(ayx 在闭区间在闭区间 上，符合条件上，符合条件 的角的角x，叫做，叫做实数实数 a 的反余弦，记作的反余弦，记作 ，即，即 ，其中，其中 ，且且 ,0)11(cos aaxaarccosaxarccos,0 xxacos 已知三角函数值求角已知三角函数值求角练习：练习：（1）已知）已知 ，求求x21cos x2,
7、0 x353 或或 x（2）已知）已知 ，求求x的取值集合的取值集合61coscos x2,0 x299,61已知三角函数值求角已知三角函数值求角例例3.已知已知tanx=，且，且x ,求求x的值的值.33(,)2 2 解：因为正切函数在解：因为正切函数在 上是增函数，上是增函数，所以正切值等于所以正切值等于 的角的角x有且只有有且只有1个个.33(,)22由由tan()=tan =,6633所以所以x=6（3）已知）已知 ，求求x的取值集合的取值集合.4665.0cos x2,0 x)4665.0arccos(2),4665.0arccos(已知三角函数值求角已知三角函数值求角4665.0arccos2,4665.0arccos
