1、 3.4 空间直线的方程1.参数方程参数方程.,00vMvM且平行于线过点则有一条唯一的直一非零向量给定空间一点.与直线共线的非零向量直线的方向向量 不唯一.0为方向向量的直线方程且以求过点例vM,;00321rOMeeeO并设在空间取仿射坐标系解则的向径上任意点,rOMMlxyzo1e2e3e0Mv0rMrl,0v tMM ,0v trr即.0v trr所以(3.4-1)(3.4-1).,为参数的向量式参数方程 tl,0一的对于直线来说并不是唯和点因方向向量注意Mv.也非唯一的方程所以直线的向量式参数,),(),(00000000zyxrzyxMzyxM则设点得则由又设)14.3(,ZYXv
2、zyxr.,000ZtzzYtyyXtxx，(3.4-2)(3.4-2).的坐标式参数方程l注注 向量方程向量方程(3.4-1)(3.4-1)较数量方程较数量方程(3.4-2)(3.4-2)形式简捷形式简捷,便于理论研究便于理论研究,这也是在理论问题上向量表示法的一这也是在理论问题上向量表示法的一个优越性个优越性.2.对称式对称式(或标准式或标准式)方程方程.000ZzzYyyXxx(3.4-3)(3.4-3)直线的一个直线的一个方向向量的坐标方向向量的坐标 注注1 在在(3.4-3)(3.4-3)中中,某个分母为某个分母为0应理解为它的分应理解为它的分子为子为0.01,32232012yzx
3、zyx如 注注2 应保持对称式方程的标准形式应保持对称式方程的标准形式,3421421zyxl：如()对称式方程对称式方程,3421812zyx由由()得得()两两平平面面的的交交线线3.两点式方程两点式方程.)2,1(),(1的方程的直线求过点例lizyxMiiiixyzo1M2rMrl 1r2M 则向量的方向为取解,),(,21lzyxMlMMv,zyxOMr),2,1(,izyxOMriiiii方程方程()不是不是 的对称式方程的对称式方程,所以向量所以向量l,3,2,8.的一个方向向量也不是l.(1,1,4)上一定点也不是点l3,2,4/3,2,8事实上,1212121221rrzzy
4、yxxMMv),(121rrtrrl的参数方程所以(3.4-4)(3.4-4).(),(),(121121121zztzzyytyyxxtxx坐标式参数方程(3.4-5)(3.4-5),121121121zzzzyyyyxxxx对称式方程(3.4-6)(3.4-6).)64.3(),54.3(),44.3(的两点式方程都叫l的几何意义参数方程中参数t单位向量直线的方向向量常取为在直角坐标系中,，cos,cos,cosv,0v trrl的参数方程则(3.4-7)(3.4-7).cos,cos,cos000tzztyytxx或(3.4-8)(3.4-8),coscoscos000zzyyxx对称式
5、方程(3.4-9)(3.4-9)由由(3.4-7)(3.4-7)可知可知.0间的距离与表示直线上两点MMt:直线的有关概念直线的方向向量的方弦直线的方向角与方向余.向角与方向余弦.直线的方向向量的分量直线的方向数 数之间的关系：直线的方向余弦与方向.cos,cos,cos222222222nmlnnmlmnmll(3.4-10)(3.4-10).,直线的方向角.cos,cos,cos直线的方向余弦.,直线的一组方向数nml注注 这里讨论的直线这里讨论的直线,一般不是有向直线一般不是有向直线.,分量成比例而共线向量方向向量的非零向量都可作为直线因为与直线共线的任意共线的直表示与非零向量所以常用Z
6、YXZYX,:).(数线的方向).(,:,数的直线的方向共线表示与非零向量在平面上用同样YXYX3472417143121zyxzyx与如方程.表示同一直线xyzo1 2 空间直线可看成两平面的交线空间直线可看成两平面的交线0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA 0022221111DzCyBxADzCyBxA(3.4-11)叫空间直线的一般方程叫空间直线的一般方程L（注：两平面不平行）（注：两平面不平行）4.一般式方程一般式方程(3.4-11)(3.4-11)5.射影式方程射影式方程.方程的特殊情形直线的标准方程是一般.3)-(3.4,表示为一般方程总可将标准方程事实上
7、则不妨设不全为中因为在,00,ZY,X,3)-(3.4Z可写成3)-(3.4.,0000ZzzYyyZzzXxx整理得.,dbzycazx(3.4-12)(3.4-12).的射影式方程l.,0000zZYydzZXxcZYbZXa式中.12)-(3.4轴的平面轴与行于中的两方程分别表示平xy.3)-(3.4线可看作这两个平面的交表示的直线lxyzol.,面的面与于又分别垂直个平面是过这两在直角坐标系下yozxozl因此因此,所求直线方程为所求直线方程为 22121 zyx例例2 2 求过点求过点(1,0,-2)且与平面且与平面3x+4y-z+6=0平行平行,又与直又与直线线 垂直的直线方程垂直
8、的直线方程.14213zyx解解:设所求直线的方向向量为设所求直线的方向向量为,s已知平面的法向量已知平面的法向量，1,4,3n已知直线的方向向量已知直线的方向向量,1,4,11s取取1sns 1411431kjisns2,1,248,4,86.化直线的一般方程为标准方程化直线的一般方程为标准方程三个二阶系数行列式中由于法,11)-(3.41,221122112211BABAACACCBCB不妨设不全为,0，02211BABA得直线的射影式与中的两式分别消去则由xy11)-(3.4方程).(1),(1221122112211221122112211ADADzACACBABAyDBDBzCBCB
9、BABAx从而得直线的标准方程,221102211022110BABAzzACACyyCBCBxx.0,0221122110221122110zBABAADADyBABADBDBx先求直线的一组方向数法2即它的一组方向数个二阶系数行列式就是则它的三给定一般方程由以上可看出,11)4.(3,221122112211BABAACACCBCB再求直线的一定点(*)例如中三个行列式不全为因为0,(*)，02211BABA解方程特别可令取任意指定的值则可使)0(0zzzz一特为方程组则组得11)-(3.4),(,00000zyxyyxx.),(,0000为直线上一定点点解zyxM从而得直线的标准方程.2
10、21102211022110BABAzzACACyyCBCBxx化直线的方程例3.0323012zyxzyx，.为标准方程.1式方程的射影得直线和由原方程组分别消去解法lyz.5271xzxy，：以这些方程表达5271zxyxx的标准方程为所以l.52711zyx的方向数为解法l2),5(:)7(:11312:3221:2111,59,52:,0yxz解得再设.)0,59,52(为直线上一定点则的标准方程为所以l.5759152zyx别为中两平面的法向量分在直角坐标系下)114.3(,22221111CBAnCBAn的方向向量可取为故直线l.22211121CBACBAkjinnv例例3 3
11、用对称式方程及参数方程表示直线用对称式方程及参数方程表示直线.043201 zyxzyx解解在直线上任取一点在直线上任取一点),(000zyx取取10 x,063020000 zyzy解得解得2,000 zy点坐标点坐标),2,0,1(因所求直线与两平面的法向量都垂直因所求直线与两平面的法向量都垂直取取21nns ,3,1,4对称式方程对称式方程,321041 zyx得参数方程得参数方程.3241 tztytx,321041tzyx 令令例例 3 3 一一直直线线过过点点)4,3,2(A，且且和和y轴轴垂垂直直相相 交交，求求其其方方程程.解解因因为为直直线线和和y轴轴垂垂直直相相交交,所以交点为所以交点为),0,3,0(B取取BAs ,4,0,2所求直线方程所求直线方程.440322 zyx.44223 zxy或或 数学美的形式多种多样，法国数学数学美的形式多种多样，法国数学家彭加勒精辟地概括为简单美、对称美家彭加勒精辟地概括为简单美、对称美、清晰美和奇异美等，这些形式有机的、清晰美和奇异美等，这些形式有机的结合成抽象数学的主要特征结合成抽象数学的主要特征和谐。和谐。一门科学只有当它成功地运用数学一门科学只有当它成功地运用数学时才能达到真正完善的地步。时才能达到真正完善的地步。马克思马克思练习题练习题；)4(1191P4(2).(4)2(3)2(2201；P
