1、复复 习习1、平面向量基本定理的内容是什么？、平面向量基本定理的内容是什么？2、什么是平面向量的基底？、什么是平面向量的基底？平面向量的基本定理平面向量的基本定理:向量的基底向量的基底:不共线的平面向量不共线的平面向量 e1,e2 叫做这叫做这一平面内所有向量的一组基底一平面内所有向量的一组基底.如果如果 e1,e2是同一平面内的两个不共是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一线的向量，那么对于这一平面内的任一向量向量 a ，有且只有一对实数，有且只有一对实数 1,2 使使得得a=1 e1+2 e21在平面内有点在平面内有点A和点和点B，怎样表示向量，怎样表示向量？ABOxy思
2、考思考1:1:A AB B任一向量任一向量a，用这组基底，用这组基底能不能表示能不能表示?2.分别与分别与x 轴、轴、y 轴方向相同的两单位向量轴方向相同的两单位向量i、j 能否作为平面向量的基底能否作为平面向量的基底?ijaABCDoxyij思考：思考：如图，在直角坐标系中，如图，在直角坐标系中，已知已知A(1,0),B(0,1),C(3,4),D(5,7).设设 ，填空：，填空：,O Ai O Bj （1）|_,|_,|_;ijOC（2）若用）若用 来表示来表示 ，则：，则：,i j,OC OD _,_.OCOD34ij 57ij 1153547（3）向量）向量 能否由能否由 表示出来？表
3、示出来？CD,i j 23CDij 探索探索1:以以O为起点，为起点，P为终点的向量能为终点的向量能否用坐标表示？如何表示？否用坐标表示？如何表示？oPxya4321-1-2-3-2246ij），（23P3 2(3,2)OPij O4321-1-2-3-2246ij），（yxP(,)O P xi yjxy 向量的坐标表示O向量向量 P（x，y）一一 一一 对对 应应O P 在平面直角坐标系内，起点不在坐标在平面直角坐标系内，起点不在坐标原点原点O的向量如何用坐标来表示的向量如何用坐标来表示?探索探索2:Aoxy 可通过向量的可通过向量的平移，将向量的起点平移，将向量的起点移到坐标的原点移到坐标
4、的原点O处处.解决方案解决方案:aaOxyAijaxy+axiy j+OAxiy j ABCDoxyija平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示如图，如图，是分别与是分别与x轴、轴、y轴方向相同轴方向相同的单位向量，若以的单位向量，若以 为基底，则为基底，则,ij,i j x xy y 对对于于该该平平面面内内的的任任一一向向量量a a ，有有且且只只有有一一对对实实数数、，可可使使 a ax x=i i +y yj j 这里，我们把（这里，我们把（x,y）叫做）叫做向量向量 的（直角）坐标，记作的（直角）坐标，记作a(,)ax y其中，其中，x x叫做叫做 在在x x轴上的坐标，轴上的坐标，y
5、 y叫做叫做 在在y y轴上的坐标，轴上的坐标，式叫做式叫做向量的坐标表示向量的坐标表示。aa1、把、把 a=x i+y j 称为称为向量基底形式向量基底形式.2、把、把(x,y)叫做向量叫做向量a的（直角）坐标的（直角）坐标,记为：记为：a=(x,y),称其为称其为向量的坐标形式向量的坐标形式.3、a=x i+y j=(x,y)4、其中、其中 x、y 叫做叫做 a 在在X、Y轴上的坐标轴上的坐标.单位向量单位向量 i=（1，0），），j=（0，1）思考思考:3两个向量相等的条件，利用坐标如何表示？两个向量相等的条件，利用坐标如何表示？1以原点以原点O为起点作为起点作 ，点，点A的位置由谁确定
6、的位置由谁确定?aOA 由由a 唯一确定唯一确定2点点A的坐标与向量的坐标与向量a 的坐标的关系？的坐标的关系？2121yyxxba 且且向量向量a坐标（坐标（x，y）一一 一一 对对 应应若若a以为起点以为起点,两者相同两者相同OxyijaA(x,y)aCO 例例1 1A A(-1 1,3 3),B B(1 1,-3 3)，C C(4 4,1 1)，D D(3 3,4 4)，求求向向量量O OA A,O OB B,O OD D,的的坐坐标标。变形变形:如图分别用基底如图分别用基底 ，表示向量表示向量 、，并求出它们的坐标。并求出它们的坐标。ijabcd AA1A2解：如图可知解：如图可知12
7、2 3a AA AAij (2,3)a同理同理 b=-2i+3j=(-2,3);b=-2i+3j=(-2,3);c=-2i-3j=(-2,-3);c=-2i-3j=(-2,-3);d=2i-3j=(2,-3).d=2i-3j=(2,-3).思考：思考：已知已知你能得出你能得出 的坐标吗？的坐标吗？1122(,),(,)ax ybx y,ab aba 平面向量的坐标运算：平面向量的坐标运算：两个向量和（差）的坐标分别等于这两个两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）向量相应坐标的和（差）12121212(,)(,)a bxx yya bxx yy 11(,)axy 实数与向量的
8、积的坐标等于用这个实实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的坐标数乘原来向量的坐标探究探究3向量的加法：yxoabx1x2x1+x2y1y2y1+y2ab已知已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则则a+b=(x1+x2,y1+y2)ab向量的减法：同理可得同理可得数乘向量的坐标运算数乘向量的坐标运算已知已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则则a-b=(x1-x2,y1-y2)oyxx1x2y1y2abx1x2y1y2已知已知a=(x,y)和实数和实数，则，则a=（x,y）),(),(),(),(),(11212121212211yxayyxxbayyxxbayxbyxa则
9、：向量的坐标运算法则 练习练习:已知已知 求求 的坐标。的坐标。(2,1),(3,4)ab,34ab abab 例例2.如图，已知如图，已知求求 的坐标。的坐标。1122(,),(,)A xyB xyAB xyOBA解：解：AB OB OA 2211(,)(,)x yx y2121(,)x x yy 一个向量的坐标等于表示此向量的一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。这是一个重要结论这是一个重要结论！例例3.如图，已知如图，已知 的三个顶点的三个顶点A、B、C的的坐标分别是（坐标分别是（-2，1）、（）、（-1，3）、（）、（3，
10、4），），试求顶点试求顶点D的坐标。的坐标。ABCDABCDxyO解法：解法：设点设点D的坐标为（的坐标为（x,y）(1,3)(2,1)(1,2)(3,4)(,)(3,4)ABDCx yxyABDC 且且(1,2)(3,4)xy 1324 xy解得解得 x=2,y=2所以顶点所以顶点D的坐标为（的坐标为（2，2）例例3.如图，已知如图，已知 的三个顶点的三个顶点A、B、C的的坐标分别是（坐标分别是（-2，1）、（）、（-1，3）、（）、（3，4），），试求顶点试求顶点D的坐标的坐标。ABCDABCDxyO解法解法2：由平行四边形法则可得由平行四边形法则可得(2(1),1 3)(3(1),4 3
11、)(3,1)BDBABC 而而(1,3)(3,1)(2,2)ODOBBD 所以顶点所以顶点D的坐标为（的坐标为（2，2）变形变形:如图，已知如图，已知 平行四边形的三个顶点的坐标平行四边形的三个顶点的坐标分别是（分别是（-2，1）、（）、（-1，3）、（）、（3，4），），试求第四个顶点的坐标试求第四个顶点的坐标。xyO(-2,1)(-2,1)(-1,3)(-1,3)(3,4)(3,4)课堂小结课堂小结:2 加、减法法则加、减法法则.3 实数与向量积的运算法则实数与向量积的运算法则：4 向量坐标向量坐标.若若A(x1,y1),B(x2,y2)1 向量坐标定义向量坐标定义.则则 =(x2 -x1,y2 y1)ABa +b=(x2,y2)+(x1,y1)=(x2+x1,y2+y1)a -b=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1)a=(x,y )=(x,y)
