1、弹性力学第四章 平面问题的极坐标解答 极坐标中的平衡微分方程 极坐标中的几何方程和物理方程 极坐标中的应力函数与相容方程 应力分量的坐标变换式 轴对称应力和相应的位移 圆环或圆筒受均布压力。压力隧洞 半平面体在边界上受集中力 半平面体在边界上受分布力极坐标中的平衡微分方程xyOdrdrPABCrrrkrkddrr)(rddrrrrdrrrrdrrd极坐标中的平衡微分方程,0rF,0Frr1rrrr0rk021krrrrr推导得（极坐标中的平衡微分方程）（径向轴）（切向轴）极坐标中的几何方程和物理方程dxyOrPPABdrruAB1drruurrdurr)(duurr1.几何方程(1)只有径向变
2、形，无环向变形。rur1rrur1111rrur1极坐标中的几何方程和物理方程(2)只有环向变形，无径向向变形。dyxOrPBdrAP A B uduudrruu22极坐标中的几何方程和物理方程PAPAAP 0drdrdr2rPBPBBP PBPPBB rduduuur12222rruru极坐标中的几何方程和物理方程整理得：rurrurrur1ruruurrr1 极坐标下的几何方程极坐标中的几何方程和物理方程2.物理方程平面应力情形：)(1rrE)(1rErrrEG)1(21由于与直角坐标同是正交坐标，所以形式相同，但需变换符号。极坐标中的几何方程和物理方程平面应变情形：)1(12rrErrr
3、EG)1(21)1(12rE极坐标中的应力函数与相容方程xyOrxy（1）极坐标与直角坐标间的关系：222yxrxyarctancosrx sinry cosrxxrsinryyrrryxsin2rrxycos2极坐标中的应力函数与相容方程（2）应力分量与相容方程的坐标变换：xxrrxrrsincosyyrryrrcossin极坐标中的应力函数与相容方程rrrrxsincossincos22rrrrr22222sincossin2cos22222sincossin2rr（a）极坐标中的应力函数与相容方程rrrrycossincossin22rrrrr22222coscossin2sin2222
4、2coscossin2rr（b）极坐标中的应力函数与相容方程将式(a)与(b)相加，得2222yx2222211rrrr2222yx2222211rrrr011222222224rrrr所以极坐标下的相容方程为应力分量的坐标变换式(1)用极坐标下的应力分量表示直角坐标下的应力分量2sin2cos22rrrx2sin2cos22rrry2cos2sin2rrxy应力分量的坐标变换式(2)用直角坐标下的应力分量表示极坐标下的应力分量2sin2cos22xyyxyxr2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyxr轴对称应力和相应的位移1.轴对称问题应力分量与相容方程（1）应力分量22d
5、rddrdrr10r（2）相容方程012224drdrdrd假设应力函数只是径向坐标r的函数轴对称应力和相应的位移2.相容方程的求解044223344dtddtddtd其特征方程044234为方程的特征值引入变换式r=et,即t=lnr轴对称应力和相应的位移方程的特征根为：2,04321于是，方程的解为：DCeBteAttt22将 代 回：rtlnDCrrBrrA22lnln轴对称应力和相应的位移3.应力分量CrBrAr2)ln21(2CrBrA2)ln23(20rr轴对称应力和相应的位移sincos12311ln1211KICrBrrBrrAEur4.位移分量cossin4KIHrEBru圆
6、环或圆筒受均布压力。压力隧洞1.圆环或圆筒受均布压力确定应力分量的表达式：CrBrAr2)ln21(2CrBrA2)ln23(20rr圆环或圆筒受均布压力。压力隧洞边界条件：0arr0brraarrqbbrrq圆环或圆筒受均布压力。压力隧洞将应力分量带入边界条件有aqCaBaA2)ln21(2bqCbBbA2)ln21(2式中有三个未知常数，二个方程不通用确定。圆环或圆筒受均布压力。压力隧洞要使多值项单值，须有：B=0 ，由上面边界条件得：)(2222abqqabbaA2222)(2abbqaqCba对于多连体问题，位移须满足位移单值条件。cossin4KIHrEBru位移多值项圆环或圆筒受均
7、布压力。压力隧洞将其代回应力分量式，有：barqbaraqabrb222222221111baqbaraqabrb222222221111圆环或圆筒受均布压力。压力隧洞（1）若：)0(0abqq而arqabrb112222aqabrb112222（压应力）（拉应力）r圆环或圆筒受均布压力。压力隧洞（3）若：)0(,0baqqbrqbara222211bqbara222211（压应力）（压应力）r圆环或圆筒受均布压力。压力隧洞2.压力隧洞厚壁圆筒埋在无限大弹性体内，受内压 q 作用，求圆筒的应力。(1)圆筒的应力与边界条件CrAr22CrA22应力：边界条件：qarrpbrr圆环或圆筒受均布压力
8、。压力隧洞(2)无限大弹性体的应力与边界条件应力：CrAr22CrA22边界条件：pbrr0rr圆环或圆筒受均布压力。压力隧洞将应力表达式代入相应的边界条件，得到如下方程：qCaA22pCbA22pCbA2202C圆环或圆筒受均布压力。压力隧洞4个方程不能解5个未知量，需由位移连续条件确定。利用：brrbrruusincos)21(21KIrACrEursincos)21(21KIrArCEur得：圆环或圆筒受均布压力。压力隧洞sincos)21(21KIbACbEsincos)21(21KIbAbCE要使对任意的 成立，须有：bACbE)21(21bAbCE)21(21圆环或圆筒受均布压力。
9、压力隧洞对式（f）整理有，有：0)21(222bAbACn其中：)1()1(EEn圆环或圆筒受均布压力。压力隧洞联立上述5个方程，解得：)1()21(1)1()21(12222nabnnrbnqr)1()21(1)1()21(12222nabnnrbnq)1()21(1)1(22222nabnrbnqr圆环或圆筒受均布压力。压力隧洞当 n 1 时，应力分布如图所示。,E,Err半平面体在边界上受集中力设有半平面体，在其直边界上受有集中力，与边界法线成角 ，取单位宽度的部分来考虑，并命单位宽度上所受的力为P,取坐标轴如图。半平面体在边界上受集中力1.应力分量假设应力函数)sincos(DCr则应
10、力分量为01sincos21122222rrrCDrrrrrrr半平面体在边界上受集中力当P垂直于直线边界时有00rr)cos(2rPrrPx3cos2rPxcossin22rPxy2cossin2（极坐标）（直角坐标）PxyOr半平面体在边界上受集中力2.位移分量假设为平面应力情形sincossin)1(lncos2KIEPrEPurcos)1(sin)1(lnsin2EPEPrEPucossinKIHr半平面体在边界上受集中力00u0 KH由问题的对称性，有：代入上式得：于是上式变为：cossin)1(lncos2IEPrEPursincos)1(sin)1(lnsin2IEPEPrEPu
11、半平面体在边界上受集中力3.边界沉陷计算PxyOrMBsM 点的下沉量为：2 uIEPrEP)1(ln2半平面体在边界上受集中力由于常数I 无法确定，所以只能求得的相对沉陷量。为此，在边界上取一基准点B，如图所示。M点相对于基准点B的沉陷为srrruu22IEPrEP)1(ln2IEPsEP)1(ln2半平面体在边界上受集中力rsEPln2简化后得：对平面应变情形：rsEPln)1(22半平面体在边界上受分布力qddP OdM1.应力分量dP 作用在距原点 时，2223)(2yxxqddx2222)()(2yxyxqddy2222)()(2yxyxqddxy半平面体在边界上受分布力将此式在将此
12、式在 AB 区间上积分，得区间上积分，得abxxdyxxqd2223)(2abyydyxyxqd2222)()(2abxyxydyxyxqd2222)()(2半平面体在边界上受分布力2.边界点的相对沉陷量讨论均匀分布的单位力的情形。计算分布力中点 I 相对于 K 点的沉陷量：drcdP1rsEdPdkiln2drrsEckiln2dP半平面体在边界上受分布力对 r 积分，即可求得 I 点的相对沉陷量。当基准点K位于均布力之外时，沉陷量为22ln2cxcxkidrrsEc为简单起见，假定基点 K 取得很远，即s远大于r，积分时可视其为常数，积分结果为：半平面体在边界上受分布力)(2kikiFCE其中常数 C、Fki 的值为：2ln1ln2csC14ln1212ln222cxcxcxcxFki半平面体在边界上受分布力如果K点在均布力的中I点(x=0),则沉陷为drrEccki2/08ln22其中常数 C 不变，Fki =0对于平面应变情况下的半平面体，沉降公式仍然适用，但式中 E 应当换为)1/(E
