1、藁城市第二中学藁城市第二中学 李兴联李兴联1.理解取有限个值的离散型随机变量均值理解取有限个值的离散型随机变量均值的概念的概念2.能计算简单离散型随机变量的均值，并能计算简单离散型随机变量的均值，并能解决一些实际问题能解决一些实际问题.2两点分布的分布列是两点分布的分布列是X01P1pp复习回顾复习回顾 1离散型随机变量离散型随机变量X的分布列及性质的分布列及性质思考思考:关于关于平均的意义平均的意义,1.1.某商场要将单价分别这某商场要将单价分别这1818元，元，2424元，元，3636元每元每千克的千克的3 3种糖果按需分种糖果按需分3 3：2 2：1 1的比例混合销售，的比例混合销售，对
2、混合糖果怎样定价才合理对混合糖果怎样定价才合理?23613631242118 它是对三种糖果价格的一种它是对三种糖果价格的一种加权平均加权平均 由于平均在每由于平均在每1kg的混合糖果中的混合糖果中,3种糖果的质量种糖果的质量分别是第一种分别是第一种1/2kg,第二种第二种1/3kg,第三种第三种1/6kg,每公斤这种糖果的价格为每公斤这种糖果的价格为:2.如果混合糖果中每一颗糖果的质如果混合糖果中每一颗糖果的质量相等量相等,你能解释权数的实际含义吗你能解释权数的实际含义吗?现在混合糖果中任取一个，它的实际价现在混合糖果中任取一个，它的实际价格用表示，取值的分布列为：格用表示，取值的分布列为：
3、181824 3624 36121613合理价格合理价格=18 +24 +36 =18P(X=18)+24P(X=24)+36P(X=36)121316代表代表X的平均取值的平均取值数学期望的定义数学期望的定义若离散型随机变量若离散型随机变量X的分布列为：的分布列为：Xx1x2xixnPp1p2pipn则称：则称：E(X)=x1p1+x2p2+xipi+xnpn为随机变量为随机变量X的的数学期望数学期望或或均值均值。它反映了离散型随机变量取值的平均水平。它反映了离散型随机变量取值的平均水平。X P ()(),1,2,3iiP YaxbP Xxin而 设离散型随机变量设离散型随机变量X的概率分布
4、为的概率分布为ip2x2pnpix1x1pnx所以所以Y的分布列为的分布列为 Y P ip2axb 2pnpiaxb 1axb 1pnaxb 1122()()()()nnEYax b paxb paxb p1122()nna x px px p12()nb ppp()aE Xb若若Y=aX+b,Y=aX+b,则则E(YE(Y）=aE(X)+b=aE(X)+b线线性性性性质质结结 论论 结论：结论：若若X服从两点分布，则服从两点分布，则E(X)p(详细解答过程见课本例详细解答过程见课本例1)1)1.1.一个袋子里装有大小相同的一个袋子里装有大小相同的3 3 个红球和个红球和2 2个黄球，个黄球，
5、从中同时取从中同时取2 2个，则其中含红球个数的数学期望个，则其中含红球个数的数学期望是是 .1.21.2 2.2.（1 1）若）若 E(E(X)=X)=4.54.5,则则 E(E(X)=X)=.（2 2）E(E(X XE EX)=X)=.-4.5-4.50 03若随机变量若随机变量X的分布列如表，则的分布列如表，则E(X)()X012345P2x 3x 7x2x 3xxE(X)=0Cn0p0qn+1Cn1p1qn-1+2Cn2p2qn-2+kCnkpkqn-k+nCnnpnq0P(X=k)=Cnkpkqn-k证明：证明：=np(Cn-10p0qn-1+Cn-11p1qn-2+Cn-1k-1p
6、k-1q(n-1)-(k-1)+Cn-1n-1pn-1q0)=np(p+q)n-1=np X 0 1 k n P Cn0p0qn Cn1p1qn-1 Cnkpkqn-k Cnnpnq0(k Cnk=n Cn-1k-1)结论：若结论：若XB(n，p)，则，则E(X)=np1 1、随机变量、随机变量X X的分布列是的分布列是X135P0.50.30.2(1)E(X)=.2 2、随机变量、随机变量X X的分布列是的分布列是2.4(2)若若Y=2X+1，则，则E(Y)=.5.8X47910P0.3ab0.2E(X)=7.5,则则a=b=.0.40.13某人进行射击，每次中靶的概某人进行射击，每次中靶的
7、概率均为率均为0.8，现规定：若中靶就停止，现规定：若中靶就停止射击；若没中靶，则继续射击，如果射击；若没中靶，则继续射击，如果只有只有3发子弹，则射击次数发子弹，则射击次数X的数学的数学期望为期望为()A2.14 B4.12C1.24 D2.41解：解：射击次数射击次数X的分布列为的分布列为E(X)0.810.1620.0431.24.答案：答案：CX123P0.80.160.04练习三练习三 某运动员投篮命中率为某运动员投篮命中率为p0.6.(1)求一次投篮时命中次数求一次投篮时命中次数X的均值；的均值；(2)求重复求重复5次投篮时，命中次数次投篮时，命中次数Y的均值的均值解：解：（1）投
8、篮一次命中次数）投篮一次命中次数X的分布列为的分布列为下表，且下表，且E(X)=p0.6 X X01P0.40.6(2)由题意，重复由题意，重复5次投篮，命中的次数次投篮，命中的次数Y服从二项分布，服从二项分布，即即YB(5,0.6)则则E(Y)np50.63.【误区【误区】对于两点分布，找清成功对于两点分布，找清成功率率p，本题分布列不可写为下表，对于，本题分布列不可写为下表，对于二项分布关键找对试验次数二项分布关键找对试验次数X X01P0.60.4技巧：技巧：(1)随机变量的数学期望等于该随随机变量的数学期望等于该随机变量的每一个取值与取该值时对应的概率乘机变量的每一个取值与取该值时对应
9、的概率乘积的和积的和(2)均值均值(数学期望数学期望)是随机变量的一个重要是随机变量的一个重要特征数，它反映或刻画的是随机变量取值的平特征数，它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平，均值均水平，均值(数学期望数学期望)是算术平均值概念的是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均推广，是概率意义下的平均(3)E(X)是一个实数，即是一个实数，即X作为随机变量是作为随机变量是可变的，而可变的，而E(X)是不变的是不变的提醒：提醒：若随机变量若随机变量X服从二项分布，即服从二项分布，即XB(n，p)，则可直接使用公式，则可直接使用公式E(X)np.不一定不一定,其含义是在多次类似的测试中其含义是在多
10、次类似的测试中,他的平均成他的平均成绩大约是绩大约是9090分分例例2 2.一次单元测验由一次单元测验由2020个选择题构成个选择题构成,每个选择题有每个选择题有4 4个选个选项项,其中有且仅有一个选项正确其中有且仅有一个选项正确,每题选对得每题选对得5 5分分,不选或选不选或选错不得分错不得分,满分满分100100分分.学生甲选对任一题的概率为学生甲选对任一题的概率为0.9,0.9,学学生乙则在测验中对每题都从生乙则在测验中对每题都从4 4个选项中随机地选择一个个选项中随机地选择一个.求求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值.解解:设学生甲和学生乙在这
11、次测验中选择正确的选择题设学生甲和学生乙在这次测验中选择正确的选择题的个数分是的个数分是X X和和Y Y,则则 X XB(20B(20,0.9)0.9),Y YB(20B(20,0.25)0.25)，所以所以E(X)E(X)20200.90.91818，E(Y)E(Y)20200.250.255 5 由于答对每题得由于答对每题得5 5分，学生甲和学生乙在这次测验分，学生甲和学生乙在这次测验中的成绩分别是中的成绩分别是5X5X和和5Y.5Y.这样，他们在测验中的成绩的这样，他们在测验中的成绩的期望分别是期望分别是E(5X)E(5X)5E5E（X X）5 518189090，E(5Y)E(5Y)5
12、E5E（Y Y）5 55 52525思考思考:学生甲在这次测试中的成绩一定会是学生甲在这次测试中的成绩一定会是9090分吗分吗?他的他的均值为均值为9090分的含义是什么分的含义是什么?随机变量的均值与样本均值的关系是随机变量的均值与样本均值的关系是怎样的？怎样的？提示：提示：随机变量的均值是一个常数，随机变量的均值是一个常数，样本均值是一个随机变量，随观测次数的样本均值是一个随机变量，随观测次数的增加或样本容量的增加，样本的均值趋于增加或样本容量的增加，样本的均值趋于随机变量的均值。随机变量的均值。例题例题3.根据气象预报根据气象预报,某地区近期有小洪水的概率某地区近期有小洪水的概率为为0.
13、25,有大洪水的概率为有大洪水的概率为0.01,该地区某工地上该地区某工地上有一台大型设备有一台大型设备,遇到大洪水时要损失遇到大洪水时要损失60000元元,遇遇到小洪水时要损失到小洪水时要损失10000元元,为保护设备为保护设备,有以下有以下3种方案种方案:方案方案1.运走设备运走设备,搬运费为搬运费为3800元元;方案方案2.建保护围墙建保护围墙,建设费为建设费为2000元元,但围墙只能但围墙只能防小洪水防小洪水方案方案3.不采取措施不采取措施,希望洪水不发生希望洪水不发生.试比较哪一种方案好试比较哪一种方案好?并说明理由并说明理由.解解：用：用X X1 1 、X X2 2和和X X3 3
14、分别表示三种方案的损失分别表示三种方案的损失采用第采用第1 1种方案，无论有无洪水，都损失种方案，无论有无洪水，都损失3 800 3 800 元，即元，即X X1 1=3 800.=3 800.采用第采用第2 2 种方案，遇到大洪水时，损失种方案，遇到大洪水时，损失2 000+60 000=62 000 2 000+60 000=62 000 元；元；没有大洪水时，损失没有大洪水时，损失2 000 2 000 元，即元，即 同样，采用第同样，采用第 3 3 种方案，有种方案，有 EXEX1 13 800,3 800,EX EX2 262 00062 000P(XP(X2 2=62 000)+2
15、 000=62 000)+2 000P(XP(X2 2=2 000)=2 000)=62000=620000.01+20000.01+2000(1-0.01)=2 600,(1-0.01)=2 600,EX EX3 3=60000=60000P(XP(X3 3=60000)+10 000=60000)+10 000P(XP(X3 3=10 000)+=10 000)+0 0 P(X P(X3 3=0)=0)=60 000=60 0000.01+100000.01+100000.25=3100.0.25=3100.采取方案采取方案2 2的平均损失最小，所以可以选择方案的平均损失最小，所以可以选择
16、方案2.2.值得注意的是，上述结论是通过比较值得注意的是，上述结论是通过比较“平均损失平均损失”而得出的一般地，而得出的一般地，我们可以这样来理解我们可以这样来理解“平均损失平均损失”：假设问题中的气象情况多次发生，：假设问题中的气象情况多次发生，那么采用方案那么采用方案 2 2 将会使损失减到最小由于洪水是否发生以及洪水将会使损失减到最小由于洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别的一次决策，采用方案发生的大小都是随机的，所以对于个别的一次决策，采用方案 2 2 也也不一定是最好的不一定是最好的思考思考2 2.某商场的促销决策：某商场的促销决策：解解:因为商场内的促销活动可获效
17、益因为商场内的促销活动可获效益2 2万元万元设商场外的促销活动可获效益设商场外的促销活动可获效益X X万元万元,则则X的分布列的分布列PX10 40.60.4所以所以E(X)=100.6(-4)0.4=4.4因为因为4.42,所以商场应选择在商场外进行促销所以商场应选择在商场外进行促销.思考思考3.3.有场游戏，规则如下：如掷一个骰子，出现有场游戏，规则如下：如掷一个骰子，出现1 1，你赢，你赢8 8元；出现元；出现2 2或或3 3或或4 4，你输，你输3 3元；出现元；出现5 5或或6 6，不输不赢这场，不输不赢这场游戏游戏对你是否有利对你是否有利?1离散型随机变量的均值离散型随机变量的均值
18、若离散型随机变量若离散型随机变量X的分布列为的分布列为Xx1x2 xi xnPp1p2 pi pn知识梳理：知识梳理：x1p1x2p2xipixnpn数学期望数学期望平均水平平均水平称称E(X)为为随机变量随机变量X的均值或的均值或 ，它反映了离散型，它反映了离散型随机变量取值的随机变量取值的2均值的性质均值的性质E(aXb).3两点分布与二项分布的均值两点分布与二项分布的均值(1)若若X服从两点分布，服从两点分布，E(X)(2)若若XB(n，p)，E(X)4.求离散求离散离散型随机变量均值的步骤离散型随机变量均值的步骤确定所有可能取值；确定所有可能取值；写出分布列；写出分布列；求出均值求出均
19、值aE(X)bnpp学习至此，请做课后作业学习至此，请做课后作业彩球游戏彩球游戏准备一个布袋，内装准备一个布袋，内装6 6个红球与个红球与6 6个白球，除颜色个白球，除颜色不同外，六个球完全一样，每次从袋中摸不同外，六个球完全一样，每次从袋中摸6 6个球，输赢的个球，输赢的规则为：规则为：6 6个全红个全红 赢得赢得100100元元5 5红红1 1白白 赢得赢得5050元元4 4红红2 2白白 赢得赢得2020元元3 3红红3 3白白 输输100100元元2 2红红4 4白白 赢得赢得2020元元1 1红红5 5白白 赢得赢得5050元元6 6个全白个全白 赢得赢得100100元元你动心了吗你动心了吗?(1)写出写出的分布列；的分布列；(2)求数学期望求数学期望E()故故的分布列为的分布列为(1)求该学生考上大学的概率；求该学生考上大学的概率；(2)如果考上大学或参加完如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加次测试就结束，记该生参加测试的次数为测试的次数为，求，求的分布列及的分布列及的数学期望的数学期望则则的分布列为：的分布列为：
