1、主主 讲：吴莹讲：吴莹 教授教授办公室：东校区中办公室：东校区中1 1楼楼21092109E-mail:wying36mail.xjtu.eduE-mail:wying36mail.xjtu.edu西安交通大学航天航空学院 国家力学实验教学中心214-1.质点的达朗伯原理14-2.刚体的达朗伯原理 (1)质点系的达朗伯原理 (2)刚体中惯性力系的简化14-.转动刚体的轴承动反力314-1.质点的达朗伯原理MNFRaFI(1)质点的达朗伯原理F+N=m a 设有质量为m的质点M 在主动力F和约束反力N的作用下作某一曲线运动.由质点动力学方程得:亦即F+N+(-ma)=0令FI=-ma得:F+N+
2、FI=0在图示瞬时,其加速度为a.FI=-ma 称为质点 M 的惯性力.4质点的达朗伯原理:质点在运动的每一瞬时,作用在质点上的主动力,约束反力与质点的惯性力构成一平衡力系.达朗伯原理的实质仍然反映力与运动变化的关系,属于动力学问题.这种把动力学问题转化为静力学中平衡问题的方法称为动静法.F+N+FI=05 列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向右作匀加速运动时，单摆左偏角度，相对于车厢静止。求车厢的加速度 a。例例6解：选单摆的摆锤为研究对象解：选单摆的摆锤为研究对象 虚加惯性力虚加惯性力 )aFIImaFm(0cossin ,0IFmgFxtan ga由动静法由动静法,有有 角随
3、着加速度角随着加速度a 的变化而变化，当的变化而变化，当a 不变时，不变时，角也不变。只要测出角也不变。只要测出 角，就能知道列车的加速度角，就能知道列车的加速度a。这就是摆式加速度计的原理。这就是摆式加速度计的原理。714-2.刚体的达朗伯原理MiFiFiINiaiorizyx 设有n个质点组成的非自由质点系,取其中任一质量为mi 的质点.该质点上作用有主动力Fi,约束反力Ni.在某一瞬时质点具有加速度 ai,则该质点的惯性力为FiI=-mi ai.14-2-1 质点系的达朗伯原理 根据质点的达朗伯原理对每一个质点写出平衡方程,可得下列平衡方程组.Fi+Ni+FiI=0 (i=1,2,n)8
4、质点系的达朗伯质点系的达朗伯原原理理:0IiiiFNF0INFRRR或 在质点系运动的每一瞬时,作用于质点系上的所有主动力,约束反力与假想地加在质点系上各质点的惯性力构成一平衡力系.0IioioioFmNmFm0IoNoFoMMM914-2-2.刚体中惯性力系的简化(1)平动刚体中惯性力系的简化选择刚体的质心为惯性力系的简化中心.iiIamR1)惯性力系的主矢2)惯性力系的主矩IicIcFmMiiiamr ciiarmccarM0CaCaCmiricaM10例例11aCaCnFIFIn12(2)定轴转动刚体中惯性力系的简化 本节只讨论具有质量对称平面的刚体绕垂直于该平面的固定轴转动.ozFiI
5、Fi1IFi2IcMiMi2Mi1 由运动学知处在平行于转轴的直线上的所有点的加速度均相等.因此对称质点 Mi1和 Mi2的惯性力Fi1I=-mi1ai1和Fi2I=-mi2ai2也相等.可将它们合成FiI=Fi1I+Fi2I后作用于对称面内的Mi点.13 具有质量对称平面的刚体绕垂直于该平面的固定轴转动的情况,可以简化为具有质量的平面图形绕平面上固定点的转动,而刚体上的惯性力可以简化为平面任意力系.RIacac acnaiFiIo 取z 轴与对称平面上交点o为简化中心,则主矢Mi1)惯性力系的主矢cRI=-miai=-M ac=-M(acn+ac)=RnI+RI142)惯性力系的主矩IiiI
6、oFrMIozMJ IiIiniFFrIiiFriiiamr2i im r u rzJ u rRIacac acnaiFiIoMicM IFinIFiI15 刚体作匀速转动，转轴不通过质点刚体作匀速转动，转轴不通过质点C。2IRmeF 转轴过质点转轴过质点C，但，但 0，惯性力偶，惯性力偶CJMI（与反向）刚体作匀速转动，且转轴过质心，则刚体作匀速转动，且转轴过质心，则0 ,0IIRMF16 均质杆长均质杆长l,质量质量m,与水平面铰接与水平面铰接,杆由与平面成杆由与平面成0角位角位置静止落下。求开始落下时杆置静止落下。求开始落下时杆AB的角加速度及的角加速度及A点支座反力。点支座反力。例例1
7、7 解：解：选杆选杆AB为研究对象为研究对象 虚加惯性力系：虚加惯性力系：3 022InIImlJMmaFmlFAAn根据动静法，有根据动静法，有MIAFInFIFAnFA18(3)02 ,0F(2)0 ,0(1)0 ,0I0nI0nnI0AAAAMlmgMFmgFFFmgFF/cos)(sincos。得代入得由得由 4 :(1);23 3 ;2 000ncoscos:)(sin:)(mgFlgmgFAAMIAFInFIFAnFA例题例题.重重150N,半径为半径为10cm的均质圆盘的均质圆盘B与重与重60N,长长24 cm的均质直杆的均质直杆AB在在B处刚性连接如图处刚性连接如图。=30o。
8、系统由系统由 图示图示位置无初速的释放。求位置无初速的释放。求系统系统在初瞬时支座在初瞬时支座A的反力。的反力。DABB 初始初始DABB 解解:取系统为研究对象进行取系统为研究对象进行 运动分析和受力分析运动分析和受力分析WBWABXAYA系统作定轴转动系统作定轴转动WBaB/gWABaAB/gDABB WBWABXAYA由初时条件得由初时条件得:AB=0 aB=l =0.24 aD=l/2 =0.12 画系统的受力图并加惯性力画系统的受力图并加惯性力MA(F)=0aBaD JA02132222coslWcoslWglWglWgRWABBABBB =34.77rad/s2aD=4.17 m/
9、s2 aB=8.34 m/s2 FX=0 FY=0o2230cos24.08.915024.08.9360 (1500.1/29.8+150 0.24/9.8+600.24/39.8)222+=0-XA=76.54 N YA=77.35 Ng1(WBaBx+WABaDx)-XA解得解得:=0(1508.34 sin30o+604.17sin30o)-XA8.91=0(WBaBy+WABaDy)-WB-WAB+YAg1=0(1508.34 cos30o+604.17cos30o)8.91+YA 150-60=024(3)平面运动刚体中惯性力系的简化1)惯性力系的主矢RI=-M ac2)惯性力系的
10、主矩McI=-Jc 设刚体有一质量对称平面,且该平面在其自身平面内运动,惯性力系可简化为在对称平面内的平面力系。取质心c为简化中心。本节只讨论具有质量对称平面的刚体作平面运动的情形。运动分解为随质心平动和绕质心转动。RIaiFiIMicM cIac25 牵引车的主动轮质量为牵引车的主动轮质量为m，半径为，半径为R，沿水平直线轨道滚，沿水平直线轨道滚动，设车轮所受的主动力可简化为作用于质心的两个力动，设车轮所受的主动力可简化为作用于质心的两个力 F1、F2及驱及驱动力偶矩动力偶矩M，车轮对于通过质心，车轮对于通过质心C并垂直于轮盘的轴的回转半径为并垂直于轮盘的轴的回转半径为，轮与轨道间摩擦系数为
11、轮与轨道间摩擦系数为f,试求在车轮滚动而不滑动的条件下，驱动试求在车轮滚动而不滑动的条件下，驱动力偶矩力偶矩M 之最大值。之最大值。例题例题26解：取轮为研究对象，虚加惯解：取轮为研究对象，虚加惯性力系：性力系：2IICmJMmRmaFCCCO 由动静法，得：由动静法，得：0 ,0)(0 ,0 0 ,0IS2NIC1SCCyxMRFMMFPFFFFFFF联立求解得联立求解得 212SRFRRFM)(FN=P+F227要保证车轮不滑动，要保证车轮不滑动，必须必须 FSf FN=f(P+F2)则则 Mmax的值为上式右端的值。的值为上式右端的值。ORFRRFPfM2122)(即即28例题.位于铅垂
12、平面内长度都等于l,质量都等于m的均质直杆OA和AB,在A处用销钉连接,在O处用铰链支座固定如图所示.设两杆从水平位置由静止开始运动的瞬时,OA杆的角加速度为a1,AB杆的角加速度为a2.试画出整个系统的惯性力系.并分别用a1和a2表示.BAOa1a229解:取系统为研究对象进行运动分析.BAOa1a2OA杆作定轴转动.AB杆作平面运动.1121alaC21221alalaCC2C1aC1aC2IORICRIOMICM1CIOmaR 2CICmaR 1231amlMIO22121amlMIC30选取研究对象。选取研究对象。原则与静力学相同。原则与静力学相同。受力分析。受力分析。画出全部主动力和
13、外约束反力。画出全部主动力和外约束反力。运动分析。运动分析。主要是刚体质心加速度，刚体角加速度，标出方向。主要是刚体质心加速度，刚体角加速度，标出方向。应用动静法求动力学问题的步骤及要点：应用动静法求动力学问题的步骤及要点：虚加惯性力。虚加惯性力。在受力图上画上惯性力和惯性力偶，一定要在正在受力图上画上惯性力和惯性力偶，一定要在正 确进行运动分析的基础上。熟记刚体惯性力系的确进行运动分析的基础上。熟记刚体惯性力系的 简化结果。简化结果。应用举例应用举例列动静方程。列动静方程。选取适当的矩心和投影轴。选取适当的矩心和投影轴。求解求知量。求解求知量。31 在图示机构中，沿斜面向上作纯滚动的圆柱体和
14、鼓轮在图示机构中，沿斜面向上作纯滚动的圆柱体和鼓轮O均为均质物体，各重为均为均质物体，各重为P1和和P2，半径均为，半径均为R，绳子不可伸长，绳子不可伸长，其质量不计，斜面倾角其质量不计，斜面倾角 ，如在鼓轮上作用一常力偶矩，如在鼓轮上作用一常力偶矩M，试求：试求：(1)鼓轮的角加速度？鼓轮的角加速度？(2)绳子的拉力？绳子的拉力？(3)轴承轴承O处的支处的支反力？反力？(4)圆柱体与斜面间的摩擦力（不计滚动摩擦）？圆柱体与斜面间的摩擦力（不计滚动摩擦）？应用举例应用举例例例32解：用达朗贝尔原理求解解：用达朗贝尔原理求解取轮取轮O为研究对象，虚加惯性力偶为研究对象，虚加惯性力偶OOORgPJ
15、M22I21列出动静方程：列出动静方程：(3)0 sin0(2)0cos0(1)0 ,0)(T2TITFP ,FFF ,FFMMRFMyyxxOF应用举例应用举例33AARgPMagPF21IA1I21 ,取轮取轮A为研究对象，虚加惯性力为研究对象，虚加惯性力FI 和惯性力偶和惯性力偶MIA如图示。如图示。应用举例应用举例列出动静方程：列出动静方程：(5)0sin ,0(4)0sin ,0)(1SITITI1PFFFFMRFRFRPMxACF34运动学关系：运动学关系：，OAOAARRa 将将MI，FI，MIA及运动学关系代入到及运动学关系代入到(1)和和(4)式并联立式并联立求解得：求解得：
16、。)3()sin3(,)3()sin(21221T2121RPPRPMPFgRPPRPMO应用举例应用举例35代入代入(2)(2)、(3)(3)、(5)(5)式，得：式，得：。)3()sin(,sin)3()sin3(,cos)3()sin3(1221S212211221RPPRPMP FPRPPRPMPFRPPRPMPFyx应用举例应用举例36例题.用长为l的两根绳子AO和BO把长l 重 P的匀质细直杆AB悬在点 O如图.且=60o当杆处于水平静止时,突然剪断绳子BO,求刚剪断瞬时另一绳子AO 的拉力及杆AB的角加速度.ABO37ABO解:取杆AB为研究对象进行运动分析.绳子BO剪断后杆AB
17、作平面运动.点A作以O为圆心AO为半径的圆周运动.AB=0 vA=0CaAaAaCAaC=aA+aCA(1)2CAla(2)38xABOCaAaCA进行受力分析画受力图.AICAagPR(3)P2ICl PRg2112ICPMlgRcAIRcIMcIT39应用达朗伯原理得:0)(FmcPPT266.0sinsin222sin1.385(1 3sin)ggll2sin2lgPl(5)联立(1)-(5)式得:0Xsinsin2PgPlT(4)xABOCaAaCARcAIRcIMcITP40例题.在图示系统中,均质杆AB长l质量为m1,均质圆盘O的半径为r质量为m2物体E的质量为m3.系统原处于静止
18、,杆AB 处于水平位置.某瞬时,A端的绳子突然断开,求该瞬时物体E和杆的质心C的加速度.设绳与轮之间无相对滑动,O处摩擦不计.BACEO41BACEO解:取系统为研究对象进行运动分析.物体E作平动,圆盘O作定轴转动,杆AB作平面运动.AB=O=0aC=aB+aCB (2)ABCBla2(3)O ABaEaBaBaCBaE=aB =r O (1)42进行受力分析画受力图.m1gm2gm3g m1aB m3aE2221rmABlm21121取杆AB为研究对象0)(FmB0221211121BCBABagmlamllm(4)取整体为研究对象BACEO O ABaEaBaBaCBXOYO m1aCB0
19、)(Fmo0)2)()2(12121)(1121223lragmlramlmrmragmBCBABoE(5)43gmmmmmaE32131424gmmmmmmac321321422432m1gm2gm3g m1aB m3aE2221rmABlm21121BACEO O ABaEaBaBaCBXOYO m1aCB联立(1)-(5)式得:44如图示定轴转动刚体，考虑质如图示定轴转动刚体，考虑质点点i，以，以O为简化中心。有为简化中心。有切向惯性力切向惯性力法向惯性力法向惯性力IaFiimnnIaFiim14-3.绕定轴转动刚体的轴承动约束力绕定轴转动刚体的轴承动约束力45iiiiiiiiixixi
20、xxzrmzrmMMMMsincos)()()(2nIIII FFF则惯性力系对则惯性力系对x轴的矩为：轴的矩为：46 分别称为对分别称为对z 轴的惯轴的惯性积，则惯性力系对性积，则惯性力系对x 轴的矩为轴的矩为 iiixziiiyzzxmJzymJ令2I yzxzxJJM2IcossiniiiiiixiiiiiiixyrrMm x zm y zQiiiiiiiiixixixxzrmzrmMMMMsincos)()()(2nIIII FFF47惯性力系对惯性力系对z轴的矩为轴的矩为 FFnIII)()(izizzMMMnIt2II()0()()zizzii iii izMMMm rrm rJ
21、FFQ同理惯性力系对同理惯性力系对y轴的矩为轴的矩为2IxzyzyJJM综上所述综上所述,惯性力系向转轴上一点惯性力系向转轴上一点O简化简化的主矩为的主矩为kjiMzyxOMMMIIII48 如果刚体有质量对称平面如果刚体有质量对称平面,且该平面与转轴且该平面与转轴z垂直垂直,简化中心简化中心O取取为为 此平面与转轴的交点，则有此平面与转轴的交点，则有0 ,0iiixziiiyzzxmJzymJ则惯性力系简化的主矩为则惯性力系简化的主矩为zzOJMMII刚体惯性力系简化刚体惯性力系简化质量对称平面质量对称平面 几何对称平面几何对称平面 49绕定轴转动刚体的轴承动约束力绕定轴转动刚体的轴承动约束
22、力 如图，以如图，以O为简化中为简化中心，所有主动力和惯性心，所有主动力和惯性力系向该点简化，形成力系向该点简化，形成一 空 间 任 意一 空 间 任 意“平 衡 力平 衡 力系系”。50 0000000000IIIIIyyBxAxyxzAyByxzRzBzAzzyRyByAyyxRxBxAxxMMOBFOAFMMMOAFOBFMFFFFFFFFFFFFFFF列平衡方程列平衡方程由上述由上述5 5个方程解得轴承的全约束个方程解得轴承的全约束反力为反力为绕定轴转动刚体的轴承动约束力绕定轴转动刚体的轴承动约束力51 1111IIIIIIIIRzBzyxRyxByxyRxyBxyxRyxAyxyRx
23、yAxFFOAFMOAFMABFOAFMOAFMABFOBFMOBFMABFOBFMOBFMABF)()()()()()()()(绕定轴转动刚体的轴承动约束力绕定轴转动刚体的轴承动约束力第一项：静反力第二项：动反力52 设匀质转子重设匀质转子重 P，质心，质心 C 到转轴的距离是到转轴的距离是 e，转子以，转子以匀角速度匀角速度 绕水平轴转动，绕水平轴转动，AO=a，OB=b(图图 a)。假定转轴。假定转轴与转子的对称平面垂直，求当质心与转子的对称平面垂直，求当质心 C 转到最低位置时轴承所受转到最低位置时轴承所受的压力。的压力。b a e z C O B A例六例六绕定轴转动刚体的轴承动约束
24、力绕定轴转动刚体的轴承动约束力53解解:解：轴是转子的一个主轴且转子匀速解：轴是转子的一个主轴且转子匀速转动，则惯性力合成为作用于点转动，则惯性力合成为作用于点O 的的一个力一个力 F IC ，方向沿，方向沿 OC，大小等于，大小等于2IegWFC当质心当质心 C 转到最低位置时，轴上实际所受的力如图转到最低位置时，轴上实际所受的力如图 b所示。所示。b a e z C O B A b a e z C O B A(b)PF BFACIF绕定轴转动刚体的轴承动约束力绕定轴转动刚体的轴承动约束力54根据动静法写出动态平衡方程根据动静法写出动态平衡方程)2(0)()(,0)1(0)()(,0IIaF
25、PbaFMbaFbFPMCBAACB解得解得I2I2()()()()ACBCbFWFabbePPabgaFWFabaePPabg两轴承所受的力分别和两轴承所受的力分别和 FA ，FB 的大小相的大小相等而方向相反。等而方向相反。b a e z C O B A(b)PF BFACIF绕定轴转动刚体的轴承动约束力绕定轴转动刚体的轴承动约束力第二项为轴承动反力55注意注意：动反力的大小一般是静反力的几十倍甚至几百倍大；动反力的方向也随时在变化。动反力是非常有害的，它引起机器振动，尤其当机器 变速运动时动反力是不能忽视的；消除动反力在工程上是一个很重要的课题。绕定轴转动刚体的轴承动约束力绕定轴转动刚体
26、的轴承动约束力下面简单介绍消除动反力的方法。56要使要使动反力动反力为零，必须有为零，必须有00IIIIyxyxMMFF绕定轴转动刚体的轴承动约束力绕定轴转动刚体的轴承动约束力 1111IIIIIIIIRzBzyxRyxByxyRxyBxyxRyxAyxyRxyAxFFOAFMOAFMABFOAFMOAFMABFOBFMOBFMABFOBFMOBFMABF)()()()()()()()(第一项：静反力第二项：动反力57结论：刚体绕定轴转动时，避免出现轴承动约束力的条件结论：刚体绕定轴转动时，避免出现轴承动约束力的条件是，转轴通过质心，且刚体对转轴的惯性积等于零。是，转轴通过质心，且刚体对转轴的
27、惯性积等于零。由前面所得，即有由前面所得，即有00 002I2IIIxzyzyyzxzxCyyCxxJJMJJMmaFmaF,所以，要使惯性力系的主矢等于零，必须所以，要使惯性力系的主矢等于零，必须aC=0，即转，即转轴通过质心。要使主矩等于零，必须有轴通过质心。要使主矩等于零，必须有 Jxz=Jyz=0，即刚体，即刚体对转轴对转轴z的惯性积等于零。的惯性积等于零。绕定轴转动刚体的轴承动约束力绕定轴转动刚体的轴承动约束力58绕定轴转动刚体的轴承动约束力绕定轴转动刚体的轴承动约束力则上述结论可表达为：则上述结论可表达为：避免出现轴承动约束力的条件为是，避免出现轴承动约束力的条件为是，刚体的转轴是
28、刚体的中心惯性主轴。刚体的转轴是刚体的中心惯性主轴。惯性主轴惯性主轴：把 Jyz 0和 Jzx 0所对应的 z 轴 称为 “惯性主轴”。中心惯性主轴中心惯性主轴：若 Jyz 0 Jzx 0 且 xc 0yc 0，即通过质心C 的惯性主轴z 称为“中心惯性主轴”。可以证明：可以证明：惯性主轴对刚体都可以找到，因此，中心惯性主轴对刚体都可以找到，因此，中心 惯性主轴也一定存在！惯性主轴也一定存在！59消除动反力的方法消除动反力的方法 工程上为消除动反力（即消除不平衡的惯性力系）常用静平衡与动平衡两种方法：实际应用静平衡方法应用的范围是轴向尺寸不大且转速不太高实际应用静平衡方法应用的范围是轴向尺寸不
29、大且转速不太高的平面型转子的平面型转子,如齿轮、飞轮、叶轮、风扇等。如齿轮、飞轮、叶轮、风扇等。动平衡与静平衡动平衡与静平衡目的目的：调整转子质心的位置，以使偏心量 e 尽量地小；消除由于偏 心引起的动反力。绕定轴转动刚体的轴承动约束力绕定轴转动刚体的轴承动约束力静平衡静平衡60注：动平衡的进行过程必须在专门的动平衡机上实现，在此不便详注：动平衡的进行过程必须在专门的动平衡机上实现，在此不便详细叙述，请读者参考转子动力学方面的有关书籍。细叙述，请读者参考转子动力学方面的有关书籍。目目 的的：通过适当调整质量分布，使得转轴成为中心惯性主轴。动平衡与静平衡动平衡与静平衡绕定轴转动刚体的轴承动约束力
30、绕定轴转动刚体的轴承动约束力动平衡动平衡61 质量不计的刚轴以角速度质量不计的刚轴以角速度 匀速转动，其上固结着匀速转动，其上固结着两个质量均为两个质量均为m的小球的小球A和和B。指出在图示各种情况下，哪些。指出在图示各种情况下，哪些是静平衡的？哪些是动平衡的？是静平衡的？哪些是动平衡的？静平衡：（静平衡：（a)、(b)、(d)动平衡：动平衡：(a)动平衡的刚体一定是静平衡的；而静平衡的刚体不一定是动平衡的。动平衡的刚体一定是静平衡的；而静平衡的刚体不一定是动平衡的。绕定轴转动刚体的轴承动约束力绕定轴转动刚体的轴承动约束力例五例五62 （1）引入惯性力的概念后，达朗伯原理使我们得以用静力学平衡方程的形式来求解动力学问题。它为解决动力学问题带来一定的方便，尤其是对求非自由质点系的动反力（约束力）问题。学习方法及注意问题学习方法及注意问题 （2）运用达朗伯原理解题，关键在于计算惯性力。除分析已知力和约束力外，还要对照质点或刚体的运动形式，加上相应的惯性力及惯性力偶，作出完整的受力图，然后列出力平衡方程式。应用举例应用举例 （3）对一般形状的转动刚体，要想使转动轴不承受动反力（附加动反力），其条件是：转动轴是中心惯性主轴。为了消除轴承的动反力，要求保证转轴是中心惯性主轴。工程实际中采用动平衡的方法达到上述目的。63作业题：作业题：14-8 14-9 14-13 14-12
