1、 16541654年，年，有一个赌徒梅累向当时的数学家帕斯卡提出一个使他苦恼了很久有一个赌徒梅累向当时的数学家帕斯卡提出一个使他苦恼了很久的问题：的问题：“两个赌徒相约赌若干局，谁先赢两个赌徒相约赌若干局，谁先赢m m 局就算赢，全部赌本就归谁但局就算赢，全部赌本就归谁但是当其中一个人赢了是当其中一个人赢了a a 局，另一个人赢了局，另一个人赢了b b 局的时候，赌博中止问：赌本应该局的时候，赌博中止问：赌本应该如何分法才合理？如何分法才合理？”一、概率论一、概率论 简史及概率论的应用简史及概率论的应用 序序1 11.1.概率论概率论简史简史 概率论的第一本专著是概率论的第一本专著是17131
2、713年问世的雅各年问世的雅各贝努利的贝努利的推测术推测术。经。经过二十多年的艰难研究，贝努利在该书中，表述并证明了著名的过二十多年的艰难研究，贝努利在该书中，表述并证明了著名的“大数定大数定律律”。所谓。所谓“大数定律大数定律”，简单地说就是，当实验次数很大时，事件出现，简单地说就是，当实验次数很大时，事件出现的频率与概率有较大偏差的可能性很小。这一定理第一次在单一的概率值的频率与概率有较大偏差的可能性很小。这一定理第一次在单一的概率值与众多现象的统计度量之间建立了演绎关系，构成了从概率论通向更广泛与众多现象的统计度量之间建立了演绎关系，构成了从概率论通向更广泛应用领域的桥梁。因此，贝努利被
3、称为概率论的奠基人。应用领域的桥梁。因此，贝努利被称为概率论的奠基人。三年后，也就是三年后，也就是16571657年，荷兰著名的天文、物理兼数学家惠更斯企图年，荷兰著名的天文、物理兼数学家惠更斯企图自己解决这一问题，结果写成了自己解决这一问题，结果写成了论机会游戏的计算论机会游戏的计算一书，这就是最早一书，这就是最早的概率论著作的概率论著作19331933年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫A.H (1930A.H (19301987)1987)发表了著名的发表了著名的概概率论的基本概念率论的基本概念，用公理化结构，这个结构明确定义了概率论发展史上的一，用公理化结构，这个结
4、构明确定义了概率论发展史上的一个里程碑，为以后的概率论的迅速发展奠定了基础个里程碑，为以后的概率论的迅速发展奠定了基础。2.2.概率论的应用概率论的应用 概率论是数学的一个分支概率论是数学的一个分支,它研究随机现象的数量规律它研究随机现象的数量规律.概率论的广概率论的广泛应用几乎遍及所有领域泛应用几乎遍及所有领域,例如日常生活；天气与地震预报；例如日常生活；天气与地震预报；产品的产品的抽样调查；保险费率计算；药物疗效评价抽样调查；保险费率计算；药物疗效评价;在通讯工程中可用以提高在通讯工程中可用以提高信号的抗干扰性信号的抗干扰性,分辨率等等分辨率等等.例例.“双色球双色球”福利彩票是近年来在我
5、国影响最大的一支彩票。福利彩票是近年来在我国影响最大的一支彩票。“双色球双色球”彩票投注区分为红色球号码区和蓝色球号码区，红色球号码是由彩票投注区分为红色球号码区和蓝色球号码区，红色球号码是由1 1到到3333组成，组成，蓝色球号码是由蓝色球号码是由1 1到到1616组成。单式投注是从红色球号码中选择组成。单式投注是从红色球号码中选择6 6个号码，从蓝色个号码，从蓝色球号码中选择球号码中选择1 1个号码，组合为一注投注号码的投注。若投注者所选单注投注个号码，组合为一注投注号码的投注。若投注者所选单注投注号码与当期开出中奖号码相符即号码与当期开出中奖号码相符即6 6个红色球号码和个红色球号码和1
6、 1个蓝色球号码全相同，则中个蓝色球号码全相同，则中一等奖；若只有一等奖；若只有6 6个红色球号码相符，则中二等奖；若个红色球号码相符，则中二等奖；若5 5个红色球号码和个红色球号码和1 1个蓝个蓝色球号码相符，则中三等奖。求投注者所选单注投注号码分别中一、二、三等色球号码相符，则中三等奖。求投注者所选单注投注号码分别中一、二、三等奖的概率。奖的概率。二、开课目的与学习要求二、开课目的与学习要求1.1.澄清中学概率在理论上的混乱，让同学们了解概率统计的研究内容，目的与澄清中学概率在理论上的混乱，让同学们了解概率统计的研究内容，目的与方法。方法。2.2.加深同学们的概率统计知识，让同学们具备概率
7、统计的最基础的理论知识，加深同学们的概率统计知识，让同学们具备概率统计的最基础的理论知识，为同学们今后的学习，工作与生活做最必要的准备。为同学们今后的学习，工作与生活做最必要的准备。3.3.至少有一本参考书（习题解答），计算器；无参考书扣至少有一本参考书（习题解答），计算器；无参考书扣5 5分（第三周检查）分（第三周检查）4.4.听课须作笔记（最好有专门的笔记本和练习本），注意听课艺术。采用随机听课须作笔记（最好有专门的笔记本和练习本），注意听课艺术。采用随机抽查式考勤，缺三次平时成绩为零，取消考试资格（抽查式考勤，缺三次平时成绩为零，取消考试资格（学校规定学校规定），希望遵守公），希望遵守公
8、德：德：不迟到不迟到5.5.须按时、按质、按量完成作业。作业采用等级评分须按时、按质、按量完成作业。作业采用等级评分6.6.复习微积分，保证学习正常进行复习微积分，保证学习正常进行7 7注：平时成绩注：平时成绩大于大于3030分；别因中学分；别因中学“学过学过”而大意，应当重新审视这门课。而大意，应当重新审视这门课。4 4预备知识（预备知识（排列组合排列组合）1.1.两个基本原理两个基本原理2.2.排列、组合的意义排列、组合的意义3.3.排列数、组合数计算公式排列数、组合数计算公式4.4.例题例题5 5 1.1.两个基本原理两个基本原理 例例1.1.某校组织学生分某校组织学生分4 4个组从个组
9、从3 3处风景点中选一处去处风景点中选一处去春游春游,则不同的春游方案的种数是则不同的春游方案的种数是 A.B.C.D.A.B.C.D.C34P344334例例2.2.有不同的数学书有不同的数学书7 7本，语文书本，语文书5 5本，英语书本，英语书4 4本，由本，由其中取出不是同一学科的书其中取出不是同一学科的书2 2本，共有多少种不同的取法？本，共有多少种不同的取法？2.2.排列、组合的意义排列、组合的意义 排列排列有序有序和组合和组合无序无序？:mnmnnmAP即即从从 个个相相异异元元中中取取 个个元元素素排排成成一一列列(mmmnmnCPP先先取取后后排排）:mnnmnmC 即即从从
10、个个相相异异元元中中取取 个个元元素素并并成成一一组组)1()2()1(mnnnnPmn!()!nnm 00.！11()()!mmnmnmn nnmmPCP!()!nmnm 11 .mn mmmmnnnnnCCCCC 组组合合公公式式：，例例 3 3 学生要从六门课中选学两门：学生要从六门课中选学两门：（1 1）有两门课时间冲突，不能同时学，有几种选法？）有两门课时间冲突，不能同时学，有几种选法？（2 2）有两门特别的课，至少选学其中的一门，有几种选法？）有两门特别的课，至少选学其中的一门，有几种选法？4.4.排列组合应用题排列组合应用题解：（解：（1 1）有两门课时间冲突）有两门课时间冲突,
11、不能同时学，有几种选法？不能同时学，有几种选法？21124414CC C解解一一：26114C 解解二二：1122429C CC解解一一：22649CC解解二二：（2 2）有两门特别的课，至少选学其中的一门，有几种选法？）有两门特别的课，至少选学其中的一门，有几种选法？例例 4.3 4.3 名医生和名医生和 6 6 名护士被分配到名护士被分配到 3 3 所学校为学生体检所学校为学生体检,每校分配每校分配 1 1 名医生和名医生和 2 2 名护士名护士,不同的分配方法共有多少种不同的分配方法共有多少种?解法一：先组队后分校（先分堆后分配）解法一：先组队后分校（先分堆后分配）540332426PC
12、C解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医生和护士解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医生和护士.5401)()(24122613CCCC引言引言概率是什么？概率是什么？1.1.概率是频率：概率是频率：2.2.概率是比例：概率是比例：特例（几何概率）：特例（几何概率）：1010 P.AnnAfAn频频数数试试验验次次数数 P.AnnAA 事事件件 的的容容量量样样本本空空间间的的容容量量 P.AAnAn 对对应应的的几几何何量量样样本本空空间间的的几几何何量量例子及其意义例子及其意义1.执骰子执骰子600次，出现次，出现105次次3点，问出现三点的概率是多少？点，问出现三点的概率
13、是多少？2.100件产品中，恰有件产品中，恰有5件次品，问次品率（即随机抽一件，抽到次品的概率）件次品，问次品率（即随机抽一件，抽到次品的概率）是多少？是多少？3（约会问题约会问题）.甲乙两人相约下午甲乙两人相约下午3点与点与4点钟之间在某地见面，先到的人可以点钟之间在某地见面，先到的人可以等等15分钟，问如果两人都在此时间段到达，则能相见的可能性有多大？又问，两分钟，问如果两人都在此时间段到达，则能相见的可能性有多大？又问，两人同时到达的可能性有多大？人同时到达的可能性有多大？4.在一给定圆内所有的弦中任选一条弦，该弦的长度长于圆的内接正三角形边在一给定圆内所有的弦中任选一条弦，该弦的长度长
14、于圆的内接正三角形边长的概率的概率有多大（法国：长的概率的概率有多大（法国：贝特朗奇论贝特朗奇论，18991899年）？年）？1111意义：意义：为什么概率即频率；为什么概率即频率；为什么概率就是次品率？为什么概率就是次品率？约会问题计算的理论依据是什么？约会问题计算的理论依据是什么？贝特朗奇论说明什么？如何解决这一矛盾。贝特朗奇论说明什么？如何解决这一矛盾。幻灯片幻灯片 9 9贝特朗奇论贝特朗奇论12121 1）预先指定弦的方向。）预先指定弦的方向。作垂直于此方向的直径，作垂直于此方向的直径，只有交直径于只有交直径于1/4 1/4 点与点与 3/4 3/4 点间的弦，其长才大点间的弦，其长才
15、大于内接正三角形边长。所于内接正三角形边长。所有交点是等可能的有交点是等可能的,则所则所求概率为求概率为1/2 1/2。2 2）预先固定弦的一端。）预先固定弦的一端。仅当弦与过此端点的切仅当弦与过此端点的切线的交角在线的交角在6060 120120 之间，其长才合之间，其长才合乎要求。所有方向是等乎要求。所有方向是等可能的，则所求概率为可能的，则所求概率为1/3 1/3。3)3)弦被其中点位置唯一确弦被其中点位置唯一确定。只有当弦的中点落在定。只有当弦的中点落在半径缩小了一半的同心圆半径缩小了一半的同心圆内，其长才合乎要求。中内，其长才合乎要求。中点位置都是等可能的点位置都是等可能的,则则所求
16、概率为所求概率为1/41/4。3114412P A 0001206011803P A 22124PrAr 1313二、概率的二、概率的公理化公理化定义定义(19331933年，柯尔莫哥洛夫年，柯尔莫哥洛夫）定义定义(概率的公理化定义概率的公理化定义)如果对任意如果对任意事件事件A，都有一个实都有一个实数数 P(A)，满足以下条件：满足以下条件：；0)(P A(1)(1)非负性非负性1P()；(2)(2)规范性规范性(3)(3)可列可列可加性可加性对对两两两两互互不不相相容容的的事事件件nAA,1，有有 11PP()niiiiAA 则称则称 P(A)P(A)为事件为事件A A的概率的概率.为为样
17、样本本空空间间；问题：问题：1.什么是事件？必然事件？不可能事件？什么是事件？必然事件？不可能事件？2.如何理解互不相容（互斥）？如何理解互不相容（互斥）？3.如何理解事件的和？它与集合有何关系？如何理解事件的和？它与集合有何关系？1414这正是本章的内容这正是本章的内容本章主要学习内容一、随机试验二、样本空间、随机事件三、频率与概率四、等可能概型（古典）五、条件概率六、独立性一、随机现象一、随机现象 1616在一定条件下必然发生的现象称为在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象确定性现象.“太阳从东边升起太阳从东边升起”,1.确定性现象确定性现象“同性电荷必然互斥同性电荷必然互斥”,“水从高
18、处流向低处水从高处流向低处”,实例实例自然界所观察到的现象自然界所观察到的现象:确定性现象、确定性现象、随机现象随机现象第一节第一节 随机试验、样本空间随机试验、样本空间确定性现象的特征：确定性现象的特征：条件完全决定结果条件完全决定结果1717在一定条件下可能出现也可能不出现在一定条件下可能出现也可能不出现的现象的现象称为随机现象称为随机现象.实例实例1 “在相同条件下掷一枚均匀的硬币在相同条件下掷一枚均匀的硬币,观观察正反两面出现的情况察正反两面出现的情况”.2.随机现象随机现象 结果有可能出现正面也可能出现反面结果有可能出现正面也可能出现反面.实例实例2 “用同一门炮向同用同一门炮向同
19、一目标发射同一种炮弹多一目标发射同一种炮弹多 发发,观察弹落点的情况观察弹落点的情况”.结果结果:“弹落点会各不相同弹落点会各不相同”.随机现象的特征：随机现象的特征：条件不能条件不能完全完全决定结果（决定结果（对吗？对吗？）公认的未必是对的！公认的未必是对的！1818二、随机试验二、随机试验随机现象是通过随机试验来研究的随机现象是通过随机试验来研究的.问题问题 什么是随机试验什么是随机试验?如何来研究随机现象如何来研究随机现象?试验试验对某现象的观察对某现象的观察随机试验随机试验对某随机现象的的观察对某随机现象的的观察1919在概率论中在概率论中,把具有以下三个特征的试验称为把具有以下三个特
20、征的试验称为随机试验随机试验.1.1.可以在相同的条件下重复地进行（可以在相同的条件下重复地进行（科学试验的特征科学试验的特征）;2.每次试验的可能结果不止一个每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能并且能事先明确试验的所有可能结果结果;3.进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.2020E1:抛一枚硬币，分别用抛一枚硬币，分别用“H”和和“T”表示出正面和表示出正面和反面反面;E2:将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况；将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况；E3:将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数将一枚硬币连抛三次，考虑正
21、面出现的次数;E4:掷一颗掷一颗色色子，考虑可能出现的点数；子，考虑可能出现的点数；E5:记录某网站一分钟内受到的点击次数；记录某网站一分钟内受到的点击次数；E6:在一批灯泡中任取一只，测其寿命在一批灯泡中任取一只，测其寿命;E7:任选一人，记录他的身高和体重任选一人，记录他的身高和体重。随机试验的例子随机试验的例子三、样本空间三、样本空间 我们把随机试验的每个可能结果称为我们把随机试验的每个可能结果称为样本点样本点，记作，记作e 或或.全体样本点的集合称为全体样本点的集合称为基本事件空间基本事件空间或或样本空间样本空间.样本空间用样本空间用S表示表示.2121 如果试验是将一枚硬币抛掷两次，
22、则样本空间由如下如果试验是将一枚硬币抛掷两次，则样本空间由如下四个样本点组成：四个样本点组成：S=(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)注：符号选择的的科学性与无奈注：符号选择的的科学性与无奈 ;:;EeS ：拼拼音音s=t：t 0=2222样本空间在如下意义上提供了一个理想试验的模型：样本空间在如下意义上提供了一个理想试验的模型：在每次试验中必有一个且仅有一个样本点出现在每次试验中必有一个且仅有一个样本点出现.如果试验是如果试验是测试某灯泡的寿命测试某灯泡的寿命：则样本点是一非负数，由于不能确知寿命的上界，所以可以认为任则样本点是一非负数，由于不能确知寿命的上界，所以可以认为任一非负
23、实数都是一个可能结果，故样本空间为一非负实数都是一个可能结果，故样本空间为0,第二节第二节 随机事件随机事件2323 每次试验中均恰有一个每次试验中均恰有一个随机事件随机事件发生，事件发生，事件A A发发生，即生，即A A中恰有一个样本点出现中恰有一个样本点出现视必然事件和不可能事件是特殊的随机事件。视必然事件和不可能事件是特殊的随机事件。必然事件必然事件即即样本空间样本空间，记作，记作；不可能事件不可能事件即即空集空集，记作，记作；定义：定义：随机事件（简称为随机事件（简称为事件事件）即）即样本空间的子集样本空间的子集一、随机事件一、随机事件2424例如，掷一颗色子一次，观察出现的点数例如，
24、掷一颗色子一次，观察出现的点数S=1,2,3,4,5,6样本空间：样本空间：事件事件B就就是是S的一个子集。的一个子集。事件事件B:出现奇数点出现奇数点.B=1,3,5“掷出点数小于掷出点数小于7”是必然事件是必然事件;而而“掷出点数掷出点数8”则是不可能事件则是不可能事件.二、事件的关系和运算二、事件的关系和运算25251.1.A A是是B B的子事件的子事件 A B：“A发生必导致发生必导致B发生发生”。AB A B且且B A.BA2.():AABBAB 或或与与 的的和和事事件件 BA121,nknkAA AA 表表示示至至少少有有一一个个发发生生。2626BAAB BA,:.A BAB
25、AB 即即互互不不相相容容：，不不斥斥同同时时发发生生互互121,.niniAA AA：同同时时发发生生2727思考：思考：何时何时-=?何时何时-=？BA BA AB|,A Bx xA x B|,B S Bx x S x B 12,nA AA 构构成成互互斥斥完完备备群群：1niiAS 且且两两两两互互斥斥.BB与与 互互为为逆逆事事件件（对对立立事事件件）.A BA ABA B 注注：三、事件的运算律三、事件的运算律2828 事件间的关系与运算与集合的关系与运算完全相同，但应该用概率事件间的关系与运算与集合的关系与运算完全相同，但应该用概率论的语言来解释这些关系及运算，并且会用这些运算关系
26、来表示一些复论的语言来解释这些关系及运算，并且会用这些运算关系来表示一些复杂的事件。杂的事件。,ABBA ,BABA BAAB,)()(CBACBA )()(BCACAB(),A BCABACBAAB 可推广到多个事件。可推广到多个事件。交换律交换律结合律结合律分配律分配律对偶律对偶律.ABCABAC2929例例 设设A,B,C是三个事件是三个事件,试表示下列事件：试表示下列事件：1）三个事件至少发生一个）三个事件至少发生一个:2）三个事件都发生）三个事件都发生:3）A发生而发生而B与与C不发生不发生:7）三个事件至少有一个不发生）三个事件至少有一个不发生:CBA ABCCBACBA ABC或
27、或4）三个事件恰好发生一个：）三个事件恰好发生一个：CBACBACBA 5）三个事件恰好发生两个：）三个事件恰好发生两个：CBACBACBA 6）三个事件至少发生两个：）三个事件至少发生两个：CBACBACBAABC 练习：练习：3030习题习题 1.1（P23）第）第1题题 设设A,B,C为三事件为三事件,用用A,B,C的运算关系的运算关系表示下列各事件：表示下列各事件：(1)(1)A发生发生,B与与C不发生不发生 (2)(2)A与与B都发生都发生,而而C不发生不发生 (3)(3)A,B,C中至少有一个发生中至少有一个发生 (4)(4)A,B,C都发生都发生 (5)(5)A,B,C都不发生都不发生 (6)(6)A,B,C中不多于一个发生中不多于一个发生 (7)(7)A,B,C中不多于两个发生中不多于两个发生 (8)(8)A,B,C中至少有两个发生中至少有两个发生 补充：补充：
