1、线性代数下页结束返回第三章第三章 线性方程组线性方程组第一节第一节 高斯（高斯（GaussGauss）消元法）消元法二、高斯消元法二、高斯消元法一、基本概念一、基本概念三、齐次线性方程组非零解的存在性三、齐次线性方程组非零解的存在性下页线性代数下页结束返回一、基本概念一、基本概念线性方程组的一般表示线性方程组的一般表示 含有m个方程n个变量的 n元线性方程组般形式为：a11x1a21x1am1x1a12x2a22x2am2x2a1nxna2nxnamnxnb1b2bm=+-+若b=(b1,b2,，bm)0，则称（1）为非齐次线性方程组非齐次线性方程组；若b=(b1,b2,，bm)0，即：（1）
2、a11x1a21x1am1x1a12x2a22x2am2x2a1nxna2nxnamnxn000=+-+（2）则称（2）为齐次方程组齐次方程组（或（1）的导出组导出组）.下页线性代数下页结束返回 n元非齐次线性方程组非齐次线性方程组 可以用矩阵形式表示为 Ax=b .a11x1a21x1am1x1a12x2a22x2am2x2a1nxna2nxnamnxnb1b2bm=+-+b=，b1b2bmA=，a11a21am1a12a22am2a1na2namnx=，x1x2xn线性方程组的矩阵表示线性方程组的矩阵表示（1）对应齐次方程组齐次方程组（2）可用矩阵形式表示为 Ax=.O=000其中，一、基
3、本概念一、基本概念下页线性代数下页结束返回 方程组的解方程组的解：若以n个数组成的有序数组a1,a2,an替代未知数x1,x2,xn使方程组(1)的每一个方程都成为恒等式，则称有序数组是方程组（1）的一个解解.线性方程组的解线性方程组的解 方程组的解集合方程组的解集合：方程组（1）解的全体称为方程组（1）的解集合解集合 A称为方程组的系数矩阵.A=a11a21am1a12a22am2a1na2namn11121121222212()nnmmmnmaaabaaabAbaaab=A称为方程组的增广矩阵.A下页线性代数下页结束返回上述线性方程组表示成矩阵形式为上述线性方程组表示成矩阵形式为bAx=系
4、数矩阵系数矩阵未知量列向量未知量列向量常数项列向量常数项列向量问题：问题：(1)方程组是否有解方程组是否有解?(2)如果有解如果有解,它有多少解它有多少解?如何求出如何求出 它的所有解它的所有解?A b=A为增广矩阵为增广矩阵二、高斯消元法二、高斯消元法线性代数下页结束返回 例例1解线性方程组 3x1x1x15x22x24x214x34x3x31235=-+-方程组的解为x1x2x3712=-=-=于是得到x2=3-2x3=-1=-7x1=3+2x2-4x3x3=2+4x3=3-2x2x1+x3=5+4x2-x1+14x3=12-5x23x13x1x1x15x22x24x214x34x3x31
5、235=-+-解：解：+4x3=3-2x2x1+5x3=82x2+2x3=3x2+4x3=3-2x2x1x3=2+2x3=3x2r1r2 r2-3r1 r3+r1r3-2r24 4、GaussGauss消元法解方程组过程消元法解方程组过程下页行阶梯形方程组回代线性代数下页结束返回（1）交换某两个方程的位置；（2）用一个非零数乘某一个方程的两边；（3）将一个方程的倍数加到另一个方程上.线性方程组的初等变换线性方程组的初等变换下页线性代数下页结束返回+4x3=3-2x2x1+x3=5+4x2-x1+14x3=12-5x23x13x1x1x15x22x24x214x34x3x31235=-+-解解1
6、：+4x3=3-2x2x1+5x3=82x2+2x3=3x2x3=2+4x3=3-2x2x1+2x3=3x2r1r2 r2-3r1 r3+r1r3-2r2(A b)=1-2 4 3-1 4 1 5 3-5 14 12 3-5 14 12 1-2 4 3-1 4 1 5 0 1 2 3 1-2 4 3 0 2 5 8 0 1 2 3 1-2 4 3 0 0 1 2r1r2 r2-3r1 r3+r1r3-2r2 用消元法解线性方程组的过程，实质上就是对该方程组的增广矩阵施以初等行变换行变换的过程.5 5、GaussGauss消元法与矩阵的初等行变换消元法与矩阵的初等行变换下页线性代数下页结束返回例
7、例2 解线性方程组解线性方程组 =+-=+-=+-=+-.115361424524132321321321321xxxxxxxxxxxx，213142 542141635 11A-=-初等行变换1151022001200000000A-=以以 的非零行为增广矩阵的线性方程组为的非零行为增广矩阵的线性方程组为解解1A线性代数下页结束返回12315222xxx-=-=自由未知量可以看出可以看出,每给定每给定x2一个值一个值,唯一的求出唯一的求出x1,x3的一的一组值组值,而而 x2可取任意实数可取任意实数,所以方程组有无数解所以方程组有无数解.方程组的所有解可表示为方程组的所有解可表示为:2252
8、132221=-=xxxxx自由未知量线性代数下页结束返回 =+-=+-=+-48364524132321321321xxxxxxxxx例例3 解线性方程组解线性方程组解解213142 5 463 8 4A-=-1213100120001A-=初等行变换以以 为增广矩阵的线性方程组的最后一个方程为为增广矩阵的线性方程组的最后一个方程为 1A0=1这是一个这是一个矛盾矛盾方程方程,因此原方程组因此原方程组无解无解.线性代数下页结束返回 综上所述综上所述,线性方程组的解有三种可能的情线性方程组的解有三种可能的情况况:（1）无解无解 唯一解，唯一解，（2）有解有解 无穷多解无穷多解.线性代数下页结束
9、返回 一般地，给出线性方程组一般地，给出线性方程组 Ax=b，用初等行变，用初等行变换把其增广矩阵化为阶梯形矩阵换把其增广矩阵化为阶梯形矩阵.1112111222221100000000000000000rnrnrrrnrraaaadaaadaadAd+线性代数下页结束返回其中其中 ,2,10riaii=与之对应的阶梯与之对应的阶梯形方程组为形方程组为111122111222222100000rrnnrrnnrrrrnnrraxaxaxaxdaxaxaxdaxaxdd+=+=+=（3-1）线性代数下页结束返回方程组方程组（3-1）和原方程组和原方程组 Ax=b 同解同解.对于方程组（对于方程组
10、（3-1）的解分几种情况进行讨论）的解分几种情况进行讨论.第一种情况第一种情况：若若dr+1=0且且r=n时，方程组（时，方程组（3-1）具）具有形式有形式 =+=+nnnnnnnndxadxaxadxaxaxa2222211212111（3-2）线性代数下页结束返回 由可莱姆法则，方程组由可莱姆法则，方程组（3-2）有有唯一解唯一解.即即原方程组原方程组Ax=b有唯一解有唯一解.欲求此唯一解，可继续用初等行变换把阶梯欲求此唯一解，可继续用初等行变换把阶梯 形方程组（形方程组（3-22）的增广矩阵化为）的增广矩阵化为行最简形矩阵行最简形矩阵.nnnnnnkkkdadaadaaa10000010
11、0001212222111211则则Ax=b 的唯一解为的唯一解为 .,21Tnkkkx=线性代数下页结束返回 在这种情况下，方程组的系数矩阵和增广矩在这种情况下，方程组的系数矩阵和增广矩 阵都有阵都有n个非零行个非零行.矩阵矩阵A与矩阵与矩阵A有相同的秩有相同的秩n.总之，当总之，当R(A)=R(A)=n时，方程组时，方程组Ax=b有有唯一解，唯一解，反之亦然反之亦然.第二种情况第二种情况:若若dr+1=0,且且r n 时时,由由(3-1),对应的阶梯形方程组为对应的阶梯形方程组为(3-3)11 1122111222222rrnnrrnnrrrrnnra xa xa xa xda xa xa
12、 xda xa xd+=+=+=线性代数下页结束返回 把方程组把方程组(3-3)的增广矩阵进一步化为行最简的增广矩阵进一步化为行最简形矩阵之后形矩阵之后,可以得到可以得到 -=-=-=+nrnrrrrrnnrrnnrrxkxkkxxkxkkxxkxkkx11,211,222111,111(3-4)其中其中nrrxxx,21+是是自由未知量自由未知量,共有共有(n-r)个个,当这当这(n-r)个自由未知量取不同的值时个自由未知量取不同的值时,就得到方就得到方程组程组Ax=b 不同的解不同的解.若令若令线性代数下页结束返回.,2211rnnrrcxcxcx-+=其中其中rnccc-,21为任意实数
13、为任意实数,则方程组则方程组Ax=b 有无穷多解有无穷多解.并称并称(3-4)为原方程组的为原方程组的通解通解.此种情况此种情况,对于方程组对于方程组(3-2)显然有显然有n于是我们得出结论于是我们得出结论:R AR Ar=n,若若方程组方程组Ax=b有无穷多解有无穷多解.第三种情况第三种情况:若若dr+10,方程组方程组(3-1)中出现矛中出现矛盾方程盾方程 0=dr+1,此时方程组此时方程组(3-1)无解无解.对于方程组对于方程组(3-1),这时有这时有 1,R ArR Ar=+=R AR Ar=线性代数下页结束返回 所以所以,有结论有结论:若若 ,ARAR 方程组方程组Ax=b无解无解,
14、反之亦然反之亦然.总上总上,可得如下定理可得如下定理线性方程组线性方程组Ax=b有解的充要条件是有解的充要条件是(i)当当时时,方程组有方程组有无穷多无穷多解解.ARAR=n时时,方程组有方程组有唯一解；唯一解；时，时，ARAR 方程组方程组无解；无解；定理定理1 1 (线性方程组有解的判定定理线性方程组有解的判定定理),ARAR=(ii)当当(ii)当当 ARAR=n线性代数下页结束返回三、三、齐次线性方程组非零解的存在性齐次线性方程组非零解的存在性定理定理1 1 齐次线性方程组a11x1a21x1am1x1a12x2a22x2am2x2a1nxna2nxnamnxn000=+-+存在非零解
15、的充要条件为r(A)n;只有唯一零解的充要条件为r(A)=n.下页线性代数下页结束返回例例2.求解齐次线性方程组123412341234220,2220430 xxxxxxxxxxxx+=+-=-=，.解:122121-2-21-1-4-3=A21312122103640364rrrr-322131221401230000rrr-12251023401230000rr-因为r(A)=2n=4，所以方程组有非零解（无穷多解）.其对应的方程为：下页线性代数下页结束返回13434234523(,)423xxxx xxxx=+=-可取任意值 该方程组含有n-r(A)=4-2个自由未知量.取x3与x4为自由未知量,并令 3142,xc xc=向量形式为:1212345232431001xxccxx-=+例例2.求解齐次线性方程组下页123412341234220,2220430 xxxxxxxxxxxx+=+-=-=，.11221212314252342(,)3xccxccc cxcxc=+=-=为任意实数线性代数下页结束返回掌握内容：1、理解消元法与对增广矩阵施以初等行变换初等行变换的关系.2、熟记齐次线性方程组有非零解的条件:r(A)n.结束
