1、一、子午线轮胎内压应力计算 第一节.概论 轮胎是一个由橡胶材料和基复合材料构成的复杂结构体，充气轮胎所承受的负荷包括内压负荷、外力机械负荷和热负荷，本文从力学角度出发，不考虑热负荷。轮胎的内压负荷是指施加于轮胎内表面的、均匀的、沿外法线方向的压强。内压负荷在轮胎正常行驶时占轮胎所承受负荷的绝大部分，动负荷则叠加于内压负荷之上。子午线轮胎的胎体帘线呈子午向排列，采用具有抗屈挠刚性的带束缓冲结构。带束层决定了子午线轮胎的形状和轮胎构件中由内压引起的初始应力。可以认为：带束层是子午线轮胎中的主要受力部件。由于轮胎几何形状复杂、组件构成不均匀以及大变形的特点，要准确描述内压应力是相当困难的。尽管在斜交
2、轮胎中应用薄膜理论和网格分析取得了一定的成功，但对子午线轮胎而言，这些方法在带束区域是不正确的。因为不同帘布层里的帘线之间的负荷分布难以确定，这种结构是超静定的，大多数经典板壳理论不能直接应用于轮胎分析。有限元分析虽然是一种比较有效的工具，但作为一种数值计算方法只能作为分析的辅助工具。在计算子午线轮胎内压应力时最好能有一套比较适用的解析或半解析的分析方法来刻画出轮胎的力学本质。要计算带束层的内压应力，首先要知道带束层的接触压力。F.波姆引入的内压分担率函数g(s)的概念，并以g(s)为函数变量导出了子午线充气平衡轮廓的解析表达式。F.富朗克在解析子午线轮胎的断面形状时，则采用胎面中心的曲率半径
3、代替g(s)作为变量。并相应带束作用提出了“箍紧系数”的概念：其中，H0：无带束时充气子午线轮胎的断面高度;H：有带束时充气子午线轮胎的断面高度。箍紧系数是轮胎力学分析中一个比较重要的参数,从力学角度而言，使用箍紧系数作为函数变量推导出带束内压应力的泛函解析式是相当困难的。针对上述情况，我们作出以下假设：假设假设1：轮辋点以上的子午线轮胎充气断面内轮廓曲线是一段椭圆弧。事实证明，用椭圆弧进行近似计算具有相当的有效性和准确性。而且由于讨论的对象是充气平衡轮廓，使用虚功原理可以很方便地推导出子午线带束周向内压应力的解析表达式。第二节 物理分析 F.波姆和F.富朗克的研究分别得到了充气子午线轮胎断面
4、几何形状的解析表达式，但其研究不仅烦琐，而且可能无法满足精度要求，所以我们结合轮胎结构的具体情况，补充2点假设：假设假设2 2：充气断面内轮廓周长在轮胎变形过程中保持不变。假设假设3.3.充气断面内轮廓曲线形状在变形前后均可用椭圆弧进行描述。先将本文中涉及的一些数值和符号加以说明，见图1。其中：rk：胎里半径rc：轮辋点半径a：椭圆内轮廓曲线径向半径b：椭圆内轮廓曲线横向半径c：轮辋半宽rm：零点半径R：轮辋点以上椭圆弓形面积形心点半径RD：支撑带束层的胎体宽度边缘点半径 bd：支撑带束层的胎体轴向半宽m：m=rk-rcn：椭圆底部到轮辋点的距离p：充气内压g(s)：带束层内压分担率N：胎体帘
5、线总根数Tb：带束层周向内压总应力TB：钢丝圈周向内压总应力TC：胎体单根帘线张力第三节 受力分析 1.总体分析轮胎充气平衡时，内压P垂直作用于胎腔内壁，轮辋点C受到几何约束固定不动;胎冠区有效支撑宽度的范围内的胎体受到带束层箍紧力的约束。视接触压力为主动力，则子午线轮胎充气平衡时所受主动力作用如图2所示。假设胎冠中心处产生一个虚位移dm(图3)，胎腔体积发生变化dV，变化过程中内压恒定垂直于胎腔内表面，所以胎腔储能增加。由于体积变化较小，可以认为内压P基本不变，PdV就是内压所做的虚功。带束层对应的区域(轴向坐标为X)上,接触压力f(x)的方向与作用点的位移d(x)的方向可以认为近似相反,所
6、做的虚功为:根据虚功原理有：进一步引入简化假设，即：以F表示胎冠断面周长单位长度所对应带束末端之总接触压力，即 则有:求出带束周向总应力为：根据F.富朗克的结论，内压分担率g(s)的分布曲线比抛物线更接近梯形，所以这里近似假设：g(s)是常数，则接触压力：内压分担率为：2.2.胎体帘线的受力分析 将轮胎沿胎冠中心周向切开，且沿断面零点半径rm处周向剖开，用外力平衡条件取代内力平衡，图4和图5分别是断面和剖面示意图。内压P在带束部位变成P-Pb，即(1-g)P。设单根帘线张力为TC，则轴向力平衡条件为：此式与F.波姆导出的帘线张力计算公式相同，物理意义相当明确。3.钢丝圈受力分析 在本文阐述的问
7、题中，由于橡胶材料的受力忽略不计，所以可以假定：假设假设4 4：子午线轮胎胎体帘线的张力连续，而且处处相等。假设假设5 5：轮辋仅提供轴向约束，径向约束则完全由钢丝圈提供。假设5的含义即：胎体帘线经过轮辋凸缘后于径向将其张力完全传递给钢丝圈。因此，钢丝圈受到的径向力之周向线密度为:(式中rB为钢丝圈半径)相应的，根据图6所示的力平衡关系，钢丝圈周向应力为：第四节.计算公式推导 如图7，以椭圆弧为充气子午线内腔断面平衡轮廓，以中心为原点，水平轴为X轴建立直角标架，椭圆的长轴和短轴分别是b和a，C是轮辋点。椭圆方程为：将C的坐标代入椭圆方程,得到:则由几何关系有：代入整理得:当发生虚位移dm时,a
8、、b、n都随之变化，c保持不变。将(1)式两端微分，整理后得到：帘线长度是轮胎力学研究的一个重要参数，由于本文中使用了椭圆假设，导致求长时遭遇椭圆积分。为此，我们用一个在轮胎适用范围内具有准2次精度的近似式来求解，设椭圆半周长为L0，轮辋点以下椭圆弓形的半弧长为L1，使用近似式(3)来代替L0：根据表1中数据的比较可知，该近似式具有较高的精度，即便对于高宽比0.5左右的超低断面轮胎，依然可以达到万分之二的精度。对于L1，采用下式近似，该式的几何意义是采用圆弧长度代替椭圆弧长。其精度在表2中显示。这里补充一点说明：根据轮胎设计的实际情况，比值c/a一般处于0.65到0.85之间；高宽比为便于比较
9、，取值和表1相同，为：1.0到0.5。该式精度不如周长近似式，但仍可满足工程精度的要求。显然：上面的公式基于帘线长度不变的假设，即L是常数。在近似函数的选取上同时也要考虑1阶导数在定义域上的充分逼近，所以对上式微分得：将(3)式微分并整理得：将(4)式微分并整理得：(c为常数)将(2)、(6)、(7)式代入(5)式并整理得到:其中：根据(8)式，令：则有：因为：根据(2)和(9)式对(10)式微分得：令:则有：以上得到了a,b,n 三个未知量用m表示的关系式。根据第二章的推导，带束周向应力为：由此可见，只要求出dV/dm，则Tb确定。以下来计算dV/dm。如图8所示，S是轮辋点直线和内轮廓所围
10、的弓形面积，VA是图8中阴影部分的体积，根据轮辋点的定义，VA是不变量，R是S的形心半径。所以有对于S，成立 经过简单的积分计算得到：对(14)式微分并将(11)式代入整理得：其中：形心半径R通过下式计算：经过计算得到：对(16)式微分并将(11)、(15)式代入整理得：其中：现在将(13)式对m求导，并将(15)、(17)式代入整理得到：将(18)式代入(12)式就得到最终的计算公式：第五节.简易计算方法 第四节所展示的算法是基于理论推导的方法，但计算步骤较为烦琐，对于实际使用，如果能找到一种较为简化的计算方法，无疑可以提高工作效率。接下来换个角度进行考察，取轮胎的1/4圆周进行力学分析。如
11、图9，x方向的力平衡方程：其中i是x方向的单位向量。容易知道：S0就是图10中的阴影部分的面积。所以得到：根据图10有，第二章曾经导出了内压分担率和钢丝圈周向应力的方程：将(20)、(21)和(22)式联立解得：这组方程中，只有R RD D和b bD D是未知数，如果能够获得R RD D和b bD D，则问题解决。经过研究，我们发现，如果令：则计算出的数据和(19)式得到的数据很好的吻合，见表3的验证。从结果对比来看，该简易公式具有相当的可信度。二、子午胎箍紧系数的计算原理和方法 第一节.概 论 帘线冠角是影响斜交轮胎形状和各种力学性能的最重要参数；带束层则是决定子午线轮胎几何形状和轮胎构件中
12、内压初始应力分布以及轮胎的各种力学特性的最重要的部件。带束层对子午线轮胎的这种影响一般采用所谓箍紧系数来描述。箍紧系数定义如下，H-无带束层充气轮胎断面高度(按胎体第一层帘布计)；H-有带束层充气轮胎断面高度。子午胎箍紧系数K的研究内容涉及到以下几个方面：1、K与子午胎断面几何参数(断面宽B、高宽比H/B、冠部胎体曲率1/、支撑带束层的胎体宽度bk)的关系；2、K与子午胎的力学参数(胎体帘线应力、带束层帘线应力、轮胎径向刚性)的关系；3、K与结构设计工艺参数(带束层宽度)的关系；4、K与轮胎使用性能(胎面磨耗、充气压力标准)的关系。由此可见，箍紧系数K是子午线轮胎的一项重要的几何参数和力学参数
13、。本文在简要地阐明K值理论计算的困难所在和实际测定K值的局限性之后，从力学平衡条件分析出发，揭示出无带束子午线轮胎应具有的一个几何特性：为了简化计算过程，考虑到椭圆与薄膜理论平衡轮廓具有实际上足够的近似精度，故借助椭圆来进行计算，但对轮辋点坐标则需采用回归拟合校正。从已知初始数据出发，加上(2)式和帘线长度不变的条件，迭代求解，只需迭代四至五次便可求得足够精确的解，从而计算出子午胎的箍紧系数。第二节.K值计算的困难与实测之局限 从箍紧系数K的定义式(1)可知，欲求K值，关键在于求得H值。因此，首先应求解无带束子午胎的充气断面形状。以薄膜理论为基础结合余弦法则和网格分析所得到的斜交胎充气平衡轮廓
14、的数学解析式已为人们所熟知：其中k为帘线与周向所构成的冠角，当上式外推至k=90时有：为了确认外推而得的(3)式就是无带束层子午胎充气平衡轮廓，同时也为了便于看清应用(3)式来计算K值的困难，不妨在此从另一个角度来进行推导。考虑到平衡时为能量稳定态，即定断面周长与r=rc 之间所包围的面积绕Z轴旋转一周所得之容积最大(见图1)。即，在(l为轮辋点间帘线周长之半)的条件下，求解Z=Z(r)，使 取极大值。采用变分法求解，拟合欧拉函数：则有：断面上r处曲线曲率1/为：由(4)解得：设水平轴半径为rm，则z(rm)=0,代入(6)得：在冠顶点rk处，要求z(rk)=，即代(9)入(5)得曲率半径：代
15、(8)、(9)入(7)得：(3)式与(11)式完全相同，故(3)对于无带束子午胎是成立的。从(11)式的推导可见，只有已知rk和rm时才能唯一地确定一条平衡轮廓曲线，而在我们要研究的问题中，rk、rm均为未知，在这种情况下要作出一条无带束子午胎平衡轮廓曲线，使它不仅通过给定的轮辋点，而且轮辋点间的弧线长度要等于给定的长度l0,换句话说，从(3)式出发来解决这一问题无异于一个四维点的搜索问题。即使我们采用相似性处理，即令rk长度为一个单位长度，把四维点的搜索降为三维点搜索问题，这种搜索计算量仍是相当可观的，特别是每一步搜索部包含着椭圆积分值轮辋点宽和弧长，因而相当困难。如果从另一个角度考虑，即把
16、问题视为一端固定在轮辋点上，一端沿r轴z=0上移动的可动边界变分问题，由于被积函数中含有椭圆积分式，斜截条件丝毫也未降低求解问题的难度，最终仍是无法求解。正是由于理论计算存在上述困难，至今尚未见有关箍紧系数理论计算方法的文献报道，一般是通过试验进行实际测量。H值实测法简述如下：1、无带束子午胎的制备，当欲测定某规格子午胎的K值时，需要特制一条无带束子午胎，即原带束层部件采用几何尺寸完全相同的低定伸胶料代替，其它各部件尺寸保持不变；2、H值的测定：硫化好的无带束子午胎停放24小时后按该层级单胎内压标准充气。停放一段时间后检查内压并进行补气，停放24小时后轮胎的外径和断面宽趋于稳定，不再变化，此时
17、测定该胎的充气尺寸，扣除材料厚度后即可得到子午胎无带束平衡内轮廓的断面高度H值、断面宽度值等，但水平轴半径很难进行准确地测量。按完全相同的条件测出有带束胎的充气平衡内轮廓断面高度H，此后按(1)式即计算得到了该规格轮胎的箍紧系数K值。上述试验本身虽然还存在一些问题(诸如怎样才能保证有带束和无带束胎的轮辋点坐标位置完全相同和轮辋点间帘线长度完全相等等严格的工艺问题)会影响到该规格K值精确度，但此处不拟深入讨论。这里仅指出实测方法的局限性及其缺陷。由于有带束胎的充气平衡形状与模型极接近，而无带束胎的充气平衡形状与模型差异甚大，轮胎上各橡胶部件均产生相对较大的应变，这种应变力对平衡轮廓的实际形状有影
18、响，这种影响应予剔除，但不大容易做到。即使做到了，这种测定方法的应用也存在着极大的局限性，即，此法不能分析外厂牌子午胎，同时，即使对于子午胎生产厂家而言，箍紧系数值也是在试制轮胎阶段测得，而不是在设计阶段就能知道的，不能预先进行选取控制。综上所述，箍紧系数的理论计算困难重重，实际测定又并非良法，不得不另辟蹊径。第三节.无带束子午胎平衡轮廓的一个几何特征 在分析子午胎的内压应力时，曾依据带束层的实际内压分担率g(s)的分布，胎体对带束层的支撑宽度bD边缘点D的径向坐标RD建立起轴向力平衡条件：其中：N胎体帘线总根数；Tc单根胎体帘线张力；rm水平轴半径；rk平衡内轮廓胎冠处半径；P充气内压周向力
19、平衡条件：其中：Tb带束层周向力；TB钢丝圈周向力；S0面积(见图2)又 对于无带束子午胎：bD=0,Tb=0,RD=rk,代入(12)式得：上式代入(14)式得：将Tb=0代入(13)式得：上式代入(15)式得：上式即(2)式。通过无带束子午胎的充气平衡条件的力学分析，导出了(2)式，首次揭示出无带束子午胎充气平衡轮廓曲线具有的一个重要几何特征。这一特征的发现，使得从理论上求解箍紧系数有了新的理论依据。事实上，由图2有:至此，我们可以肯定，(2)式是严格成立的，无带束子午胎平衡轮廓的这一几何特征可以作为计算子午胎箍紧系数的基本原理，它的作用在于将原来的三维问题降至二维。第四节.椭圆曲线与薄膜
20、平衡轮廓曲线的比较 国外早就有人把椭圆当作充气轮胎的平衡轮廓来进行力学分析。是否可利用椭圆代替薄膜平衡曲线来简化计算呢？为此通过大量的计算来比较两者的近似程度。表1表5中列举了面积比较，断面形状的比较和弧长的比较数据，并绘制了图3图4。这里的比较是在两种曲线模式具有相同的rk/rm值和相同的断面宽b的情况下进行的。通过对计算数据的仔细分析和作图观察，可以认为：1、两种不同的数学模式几乎有相同的面积S0和弧长l0,其间的微小差异不致影响到实际需要的计算精度；2、断面形状在水平轴以上二者极为接近，只是在水平轴以下靠近轮辋点附近才有较明显的差异Z，特别是对于无带束子午胎的断面形状，二者在轮辋点附近差
21、异较大。为了不致影响到精度，当用椭圆代替薄膜平衡轮廓时，水平轴以下的断面形状需作适当校正。为了消除Z，从椭圆曲线回复到薄膜平衡轮廓曲线，用最小二乘法，采用F检验拟合的回归校正式如下：a)A0=90度时：y=-0.002609034+0.0280236x2-2.236683x1x3+0.5090701x22-1.075544x2x3+2.7063x32 (16)此时置信度为99%，相关系数为0.9999331。b)A0=3644时：(Z1-Z2=yxRk)y=-0.0032292-0.5641067x1+0.111752x2+0.4166261x3-3.597923x12+1.96383x1x2
22、+7.061253x1x3-2.424237x2x3-2.904175x32 (17)这里置信度为99%，相关系数为0.9839018。在(16)和(17)式中，x1=b/rk;x2=1-r/rk;x3=c/rky=Z/rk (16)和(17)式相比较，(17)式适用于有带束平衡轮廓校正,由于(17)式y值极小,不进行校正亦可达到工程精度。(16)式更为重要些。如果在无带束平衡轮廓时应用(16)式进行轮辋点校正之后，用椭圆代替薄膜平衡轮廓来进行计算便已能满足实用的精确程度。另外，为了进一步简化椭圆弧长的计算，采用第二章得到的近似式：第五节 箍紧系数K的计算方法 1.充气子午胎基本尺寸的测取。根
23、据充气子午胎的平衡轮廓外形尺寸和实际材料分布确定出下列各值：轮辋点的座标c，rc断面宽度之半b 胎里半径rk轮辋点间的帘线长度L 2.基本计算公式的推导：根据第二章的公式推导我们得到一组微分方程式，如果m变化了m，依上式近似地有：a=Emb=DEma=a+a=a+Em (18)b=b+b=b+DEm (19)m=m+m (20)将(18)、(19)、(20)代入(2)式得：展开整理后令：则有：将(26)(28)代入(16)求解y，则得到：上述推导应用到椭圆固有的几何性质、椭圆弧长近似式、过二定点(轮辋点)的椭圆弧长在形变为新的椭圆弧(m变为m+dm)时保持弧长不变的微分关系式。利用无带束充气平
24、衡轮廓几何特征(2)求解m变化初值m，利用(16)式将薄膜平衡轮廓上的轮辋点移到具有相同rk、rm、rc和断面宽b的椭圆上去的(25)-(30)式。换言之，上述过程系在满足(2)条件下对弧长不变且使薄膜平衡轮廓通过给定轮辋点座标的初次搜索。此时，一组原始数据c、rc、b、rk变为c、rc、b、rk，(rk=rk+m)，称为零级近似，记为：b0=b；c0=c；rk0=rk 而rc在整个搜索过程中将保持不变。由于充气子午胎轮辋点间帘线长度L不解剖出断面很难进行测量，即使测量也很难测得非常准确，因而，一般可从原始数据进行计算，并通过弧长近似公式计算L值。当从零级近似数据出发计算出l0的零级近似值时，
25、显然由于c变化c引起了l0的变化，同时，由于m并非一个微量，(18)、(19)式又带来了较大的误差，引起l0有较大的变化，为此必须对l0值进行下述调整：其中：Ha和Hb的计算参考第一章的公式。则再由近似式计算新的l0值，如果此时dl并非足够小，比如，dl大于0.1mm，则把a0、b0看作a0、b0，再重复(32)(34)的过程，如此反复进行，一般进行四次便可使dl0.1mm，此时的a0、b0、m0即为满足弧长不变条件下求得的一组新值。上述调整必然又使(2)式不能成立，因此，把c、rc、b0、rk0看成一组新的原始数据，重复(18)(30)的上述过程，即再次调整m、C，计算出新的b、c、rk,称
26、为一级近似，记为b1、c1、rk1。上述过程每重复一次，便可得到高一级的近似解，即得到b2、c2、rk2；b3、c3、rk3；bn、cn、rkn。在整个过程中，rc始终保持不变。由于上述迭代过程收敛速度较快，一般五级近似已经足够精确。上述二维搜索采用椭圆近似迭代逼近，用人工计算当然显得过于繁琐，但可以编制程序计算。在求得n级近似值之后，立即可以求得箍紧系数的n级近似解：其中rnm为着合轮辋的半径。随着n的增大，kn=kn kn-1 kn的值将很快接近于0。上述求解过程中应注意到(30)式中的c 值始终不变，c是将薄膜平衡轮廓上的c值调整到椭圆曲线上去。第六节 计算举例与结果分析 经编程后在IB
27、M机上对十七种不同厂牌、不同规格的轮胎进行了四级近似计算，结果均较满意，其中四条胎的计算结果列于表6中。其中“薄膜”分析栏系按四级近似解中的Rk和Rm值，取冠角90在微机上积分(按(3)式)得到断面宽与轮辋点的座标，以及弧长。从表6的数据分析：1、K处于在0.07附近，与文献介绍相符。经计算，国外厂牌(大象、桥石)胎K值均在0.07与0.08之间。2、无带束胎仍有K值，但K很小，这是由于橡胶形变产生箍紧力所致。3、无带束胎轮辋点偏高，因此虽然帘线长度与双钱9.00R20相差很小，但当rc取同一值时，其帘线长度长出几个毫米。在特殊制造无带束胎时，如何保证轮辋点座标不移动，轮辋点间帘线长度不变化，
28、还值得进一步研究。但从近似解与原始数据相差很小着一点以及k4=0.00648来看，可以认为，本方法的计算值与实测值非常一致。4、箍紧系数作为一个描述几何形状的特定参数，应保持无带束胎和有带束胎轮辋点以上帘线长度相同，但K值定义式中未明确这一点，因此实际测量时，可根据自己的理解制定出不同的测试条件，则对于同一条子午胎将测得不同的K值。为使K值具有唯一性，应附加一个条件。从试验测试角度讲，附加充气内压条件最为方便，但不尽合理，因为此时K值还与胎体帘线的伸张模量有关，因此只能以帘线长度不变作为附加条件。5、由于改善了近似公式，所以本方法不仅适用于载重子午胎，而且也适用于轿车子午胎。6、随着高宽比的不断减小，K值逐渐增大，50系列的K达到0.22左右。7、用本文计算方法计算出的箍紧系数值与国外文献报道值相符，且与实测值符合，因此采取这种方法进行计算是可靠的。子午线轮胎内压应力计算公式推导：
