1、第二节可分离变量的微分方程和一阶线性微分方程 第九九章 二二、一阶线性微分方程、一阶线性微分方程 一、可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程 一、可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程)1.1()()(ddygxhxy 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.类型类型1.1.求解法：求解法：设函数设函数)(yg和和)(xh是连续的是连续的,xxhygyd)()(d时，时，当当0)(1 yg)2.1(d)()(d)1.1(xxhygy 变量分离变量分离设函数设函数)(yG和和)(xH是依次为是依次为)(1yg和和)(xh的原函数的原函数,则则 CxHyG )()(可以验证可以验证:
2、(1.3)式式为微分方程为微分方程(1.1)的的(隐式隐式)通解通解.).(为为任任意意常常数数C)3.1(时，时，当当0)(20 yg.)1.1(0的解的解也是也是yy 注注 若题目只需求通解，则不必讨论若题目只需求通解，则不必讨论.0)(情形情形 yg例例1 1 求微分方程求微分方程.2dd的通解的通解xyxy 解解分离变量分离变量,d2dxxyy 两端积分两端积分,d2d xxyy,ln12Cxy .2为所求通解为所求通解xCey ,21xCeey ,21xCeey C例例2 求微分方程求微分方程.2cos2cosdd的通解的通解yxyxxy 解解,02cos2cosdd yxyxxy,
3、02sin2sin2dd yxxy,d2sin2sin2d xxyy2cot2csclnyy Cx 2cos2为所求通解为所求通解.解解100)0(dd WkWtW，,ddtkWW ,dd tkWW例例3内内气气体体的的质质量量，漏漏气气的的速速率率正正比比于于气气球球然然破破了了一一个个孔孔，一一个个充充满满气气体体的的气气球球突突克克气气体体，则则分分钟钟时时，球球内内有有设设Wt)0(WcktWlnln 克克气气体体？下下问问：在在什什么么时时候候球球内内剩剩克克气气体体，还还有有如如果果孔孔批批破破后后一一分分钟钟内内克克，设设球球内内原原有有气气体体比比例例系系数数1201000 k
4、100,100)0(cW得得由由ktetW 100)(,)(ktcetW 即即又依题设，又依题设，20)1(W,10020ke ,5ln ktetW)5(ln100)(于于是是代代入入上上式式，得得将将1 W5ln100ln t)(86.2分分 答答：.186.2克克气气体体分分钟钟后后，球球内内剩剩下下例例4.,1)1(,0)0(1,0)0)()(线线方方程程求求此此曲曲幂幂成成正正比比，且且已已知知次次的的与与纵纵坐坐标标为为底底的的曲曲边边梯梯形形的的面面积积为为曲曲边边，以以若若以以曲曲线线 ffnyxtftfyx)(tfy )(xf解解10)(d)(nxxfkttf)()()1()(
5、xfxfnkxfn tyo,1)()()1(1 xfxfnkn?)(xf.1)1(,0)0(ff,1dd)1(1 xyynkn xyynkndd)1(1,)1(cxnynkn 0,0)0(cy得得由由1,1)1(nnky得得由由xyn xxfn)(即即0)(xf又又nxxf)(),(xfy 令令二、一阶线性微分方程二、一阶线性微分方程)1.2()()(ddxQyxPxy 类型类型2.,0)(xQ当当上方程称为上方程称为齐次的齐次的.上方程称为上方程称为非齐次的非齐次的.,0)(xQ当当例如例如,dd2xyxy ,sindd2ttxtx ,32 xyyy,1cos yy线性的线性的;非线性的非线
6、性的.一阶线性微分方程一阶线性微分方程)2.2(0)(dd yxPxy,d)(dxxPyy ,d)(d xxPyy,lnd)(lnCxxPy 齐次线性方程的通解为：齐次线性方程的通解为：.d)(xxPCey1 齐次线性方程：齐次线性方程：求求解法解法:分离变量：分离变量：1.常数变易法常数变易法2 非齐次线性方程：非齐次线性方程：).()(ddxQyxPxy )()(待待定定将将变变易易xCC 作变换作变换 xxPexCyd)()(,)()()(d)(d)(xxPxxPexPxCexCy得得代代入入原原方方程程和和将将,yy),()(d)(xQexCxxP 可分离变量方程可分离变量方程,d)(
7、)(d)(CxexQxCxxP 积分得积分得一阶非齐次线性微分方程一阶非齐次线性微分方程(2.1)的通解为的通解为:xxPxxPeCxexQyd)(d)(d)(.为为任任意意常常数数其其中中C2.常数变易公式常数变易公式的的通通解解为为：)1.2()3.2(d)(d)(d)(CxexQeyxxPxxP 1 (2.1)的的解的结构解的结构)3.2(d)(d)(d)(CxexQeyxxPxxP xexQeCexxPxxPxxPd)(d)(d)(d)(非齐次线性方非齐次线性方程程(2.1)的特解的特解对应齐次线性方对应齐次线性方程程(2.2)的通解的通解.1的通解的通解求方程求方程xeyxyx ,1
8、)(xxP,)(xexQx Cxexeeyxxxxxdd1d1 Cxexeexxxdlnln Cxexxd1 .1Cexx 解解例例5通解：通解：Cxxxexxd1例例6 的通解的通解求方程求方程xexxyxyxcossin5cosddsin 解解,cos5cotddxexyxy ,5)(cos xexQ CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(,则则,cot)(xxP 将将方方程程化化为为标标准准型型常常数数变变易易公公式式得得通通解解利利用用公公式式 Cxeeexxxxd5cotdcosdcot Cxeeexxxxd5cotdcosdcot Cxeeexxx d5sinlncossin
9、ln Cxxexxdsin5sin1cos Cexx cos5sin1例例7的通解的通解求方程求方程yyyxxydsindd 解解yyyxyxsindd .sin)(,1)(yyyQyyP 通解为通解为d)(d)(d)(CyeyQexyyPyyP Cyeyyeyyyydsindd Cyyyyydsin1 .cos1Cyy CyeyyeyyyydsinddxCyeyyeyydsinlnln满足：满足：设设)(xf,1)(d)()(12 xfttfttfx).()(xfxf可可导导，求求且且例例8解解1)1(,1 fx得得令令)()()(2xfxfxxf ),(xfy 令令1)1(,2 yyyxy
10、则则关于关于y非线性非线性yxyyx 1dd关于关于x为线性方程为线性方程yxyyx 1dd通解：通解：dd)1(d)1(Cyyeexyyyy dlnlnCyyeeyy d1Cyyyy )(Cyy 得得由由,1)1(y0 C即即,2yx xy .)(xxf 故所求故所求),(tv设设降降落落伞伞下下落落速速度度为为.)0(系系落落速速度度与与时时间间的的函函数数关关速速度度为为零零，求求降降落落伞伞下下伞伞离离开开跳跳伞伞塔塔时时速速度度成成正正比比，并并设设降降落落后后，所所受受空空气气阻阻力力与与设设降降落落伞伞从从跳跳伞伞塔塔下下落落 t,ddkvmgtvm 解解例例9kvmgF :其其
11、所所受受力力为为maF :由由牛牛顿顿第第二二定定律律得得(方法方法1)gvmktv dd即即一阶非齐次线性方程一阶非齐次线性方程dddCtegevtmktmk dCtegetmktmk Cekmgetmktmk .tmkCekmg kmgcv|t :00代入通解得代入通解得将将).e1(tmkkmgv 所求特解为所求特解为，mtkvmgvddkmgcv|t 得，得，由由00，得得1)ln(1cmtkvmgk )e(e 1 kc ckmgv-kctmk 即即).e1(tmkkmgv 所求特解为所求特解为(方法方法2)kvmgtvm dd可分离变量方程可分离变量方程1 分离变量分离变量;2两端积
12、分两端积分-隐式通解；隐式通解；内容小结内容小结1.可分离变量方程的求解可分离变量方程的求解步骤步骤:3根据定解条件定常数根据定解条件定常数.2.一阶线性方程一阶线性方程)()(ddxQyxPxy 方法方法1 先解齐次线性方程先解齐次线性方程,再用常数变易法；再用常数变易法；方法方法2 用常数变易（通解）公式用常数变易（通解）公式 CxexQeyxxPxxP d)(d)(d)(思考题思考题求微分方程求微分方程 的通解的通解.yxyyyysin2sincoscos 思考题解答思考题解答yyxyyyxcossin2sincosdd ,tan2sinyxy ,2sintanddyxyyx Cyeye
13、xyyd2sincoslncosln Cyyyyydcoscossin2cos .cos2cosyCy 的通解的通解求微分方程求微分方程xyxycosdd 解解这是可分离变量方程这是可分离变量方程,两边积分两边积分 xxyydcosd得得Cxylnsin|ln 从而从而 Cxeylnsin xeCsin xCeysin 分离变量得分离变量得备用题备用题例例1-1为为任任意意的的非非零零常常数数其其中中1sin2CeC 由于由于y=0也是方程的解也是方程的解,因此因此,所给方程的通解为所给方程的通解为xCeysin 其中其中C为任意常数为任意常数.有时有时,可以简化解题过程可以简化解题过程.如由如由 xxyydcosd得得|lnsin|lnCxy 故方程的通解为故方程的通解为xCeysin
