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1、中考必会几何模型专题专题一角平分线相关问题模型解题模型一（1）如图1,若点P是ABC和ACB的角平分线的交点,则P=90+A；（2）如图2,若点P是外角CBF和BCE的角平分线的交点,则P=90A；（3）如图3,若点P是ABC和外角ACE的角平分线的交点,则P=A 图1 图2 图3针对训练1.（2016枣庄）如图,在ABC中,AB=AC,A=30,E为BC延长线上一点,ABC与ACE的平分线相交于点D,则D的度数为（）A15 B17.5 C20 D22.5【小结】本题若不套用模型,则需要通过三角形的外角性质证明得到A、D的数量关系.2.（2018巴中）如图,在ABC中,BO、CO分别平分AB

2、C、ACB若BOC=110,则A= 【分析】由解题模型一中的（1）可知,BOC=90+A,把BOC=110代入计算可得到A的度数【详解】BOC=90+A,BOC=110,90+A=110.A=40【小结】本题若不套用模型,需要利用三角形的内角和定理、角平分线的定义得到BOC、A的数量关系.3.（2018济南历城区模拟）如图,BA1和CA1分别是ABC的内角平分线和外角平分线,BA2是A1BD的角平分线,CA2是A1CD的角平分线,BA3是A2BD的角平分线,CA3是A2CD的角平分线,若A1=,则A2018= 【详解】A1B是ABC的平分线,A1C是ACD的平分线,A1BC=ABC,A1CD=

3、ACD,又ACD=A+ABC,A1CD=A1BC+A1,【小结】本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,以及角平分线的定义,熟记性质然后推出后一个角是前一个角的一半是解题的关键。8字模型与飞镖模型模型1：角的8字模型如图所示,AC、BD相交于点O,连接AD、BC 结论：ADBC模型分析证法一：AOB是AOD的外角,ADAOBAOB是BOC的外角,BCAOBADBC证法二：ADAOD180,AD180AODBCBOC180,BC180BOC又AODBOC,ADBC（1）因为这个图形像数字8,所以我们往往把这个模型称为8字模型（2）8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用

4、到模型实例观察下列图形,计算角度：（1）如图,ABCDE_；解法一：利用角的8字模型如图,连接CDBOC是BOE的外角,BEBOCBOC是COD的外角,12BOCBE12（角的8字模型）,ABACEADBEAACEADB12AACDADC180解法二：如图,利用三角形外角和定理1是FCE的外角,1CE2是GBD的外角,2BDABCDEA12180（2）如图,ABCDEF_ （2）解法一：如图,利用角的8字模型AOP是AOB的外角,ABAOPAOP是OPQ的外角,13AOPAB13（角的8字模型）,同理可证：CD12 ,EF23由得：ABCDEF2（123）360解法二：利用角的8字模型如图,

5、连接DEAOE是AOB的外角,ABAOEAOE是OED的外角,12AOEAB12（角的8字模型）ABCADCFEBF12CADCFEBF360（四边形内角和为360）练习：1（1）如图,求：CADBCDE ；解：如图,1=B+D,2=C+CAD, CAD+B+C+D+E=1+2+E=180 故答案为：180解法二：（2）如图,求：CADBACEDE 解：由三角形的外角性质,知BAC=E+ACE,EAD=B+D,又BAC+CAD+EAD=180,CADBACEDE180解法二：2如图,求：ABCDEFGH 解：G+D=3,F+C=4,E+H=2,G+D+F+C+E+H=3+4+2,B+2+1=1

6、80,3+5+A=180,A+B+2+4+3=360,A+B+C+D+E+F+G+H=360 解法二：模型2：角的飞镖模型如图所示,有结论：DABC 模型分析解法一：如图,作射线AD3是ABD的外角,3B1,4是ACD的外角,4C2BDC34,BDCB12C,BDCBACBC解法二：如图,连接BC24D180,D180（24）1234A180,A13180（24）DA13.（1）因为这个图形像飞镖,所以我们往往把这个模型称为飞镖模型（2）飞镖模型在几何综合题目中推导角度时使用模型实例如图,在四边形ABCD中,AM、CM分别平分DAB和DCB,AM与CM交于M,探究AMC与B、D间的数量关系解答

7、：利用角的飞镖模型如图所示,连接DM并延长3是AMD的外角,31ADM,4是CMD的外角,42CDM,AMC34AMC1ADMCDM2,AMC12ADC（角的飞镖模型）AM、CM分别平分DAB和DCB,（四边形内角和360）,2AMCBADC360. 练习：1如图,求A+B+C+D+E+F= .【答案】230提示：C+E+D=EOC=115.（飞镖模型）,A+B+F=BOF=115.A+B+C+D+E+F=115+115=2302如图,求A+B+C+D= .【答案】220提示：如图所示,连接BD.AED=A+3+1,BFC=2+4+C,A+ABF+C+CDE=A+3+1+2+4+C=AED+B

8、FC=220模型3 边的“8”字模型如图所示,AC、BD相交于点O,连接AD、BC结论AC+BDAD+BC 模型分析 OA+ODAD, OB+OCBC, 由+得： OA+OD+OB+OCBC+AD 即：AC+BDAD+BC.模型实例如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O。求证：(1) AB+BC+CD+ADAC+BD； (2) AB+BC+CD+AD AC, CD+ADAC, AB+ADBD, BC+CD BD 由+得： 2 (AB+BC+CD+AD)2(AC+BD). 即AB+BC+CD+AD AC+BD.(2) ADOA+OD ,BCOB+OC, 由+得： AD+BC OA+OD

9、+OB+OC AD+BCAC+BD.（边的8字模型）, 同理可证：AB+CD AC+BD. AB+BC+CD+AD BD+CD.模型分析如图,延长BD交AC于点E。AB+AC=AB+AE+EC,AB+AEBE,AB+A CBE+EC. ,BE+EC=BD+DE+EC, DE+EC CD,BE+ECBD+CD. ,由可得：AB+ACBD+CD.模型实例如图,点O为三角形内部一点求证：(1) 2 (AO+BO+CO)AB+BC+AC；(2) AB+BC+ACAO+BO+CO.证明：(1)OA+OBAB, OB+OCBC, OC+OAAC 由+得： 2 (AO+BO+CO)AB+BC+AC (2)如

10、图,延长BO交AC于点E, AB+AC=AB+AE+EC, AB+AEBE, AB+ACBE+EC. BE+EC=BO+OE+EC, OE+ECCO,BE+ECBO+CO, 由可得： AB+ACBO+CO.（边的飞镖模型）同理可得： AB+BCOA+OC. ,BC+ACOA+OB. 由+得： 2 (AB+BC+AC)2 (AO+BO+CO). 即 AB+BC+ACAO+BO+CO.1如图,在ABC中,D、E在BC边上,且BD=CE。求证：AB+ACAD+AE. 【答案】证法一：如图,将AC平移至BF,AD延长线与BF相交于点G,连接DF。由平移可得AC=BF ,ACBF ,ACE=BFD ,

11、BD=CEAECFDB ,DF=AE如图,延长AD交BF于点G,AB+BF=AB+BG+GF. AB+BGAG,AB+BFAG+GF ,AG+GF=AD+DG+GF, DG+GFDF,AG+GFAD+DF ,由可得：AB+BFAD+DF.（飞镖模型）AB+AC=AB+BFAD+DF=AD+AE. AB+ACAD+AE.证法二：如图,将AC平移至DF,连接BF ,则AC=DF ,ACDF,ACE=FDB.BD=CE,AECFBD. BF=AE. OA+ODAD, OB+OFBF由+得：OA+OD+OB+OFBF+AD. AB+DFBF+AD.（8字模型）AB+AC=AB+DFBF+AD=AE+A

12、D. AB+ACAD+AE.2观察图形并探究下列各问题,写出你所观察得到的结论,并说明理由(1)如图,ABC中,P为边BC一点,请比较BP+PC与AB+AC的大小,并说明理由(2)如图,将(1)中的点P移至ABC内,请比较BPC的周长与ABC的周长的大小,并说明理由(3)图将(2)中的点P变为两个点、,请比较四边形的周长与ABC的周长的大小,并说明理由.【答案】（1）如图,BP+PCAB+AC.理由：三角形两边之和大于第三边。（或两点之间线段最短）（2）BPC的周长小于ABC的周长。证明：如图,延长BP交AC于M。在ABM中,BP+PMAB+AM在PMC中,PCPM+MC ,由+得：BP+PC

13、AB+AC.BPC的周长小于ABC的周长。（3）四边形的周长小于ABC的周长。证法一：如图,分别延长、交于M,由（2）知,BM+CMAB+AC.又,+BM+CMAB+AC.四边形的周长小于ABC的周长. 证法二：如图,做直线分别交AB、AC于M、N。在BM中,BM+在AMN中,+AM+AN ,在中,+NC由+得：+AB+AC. 四边形的周长小于ABC的周长.半角模型已知如图：2=AOB；OA=OB.连接FB,将FOB绕点O旋转至FOA的位置,连接FE,FE,可得OEFOEF模型分析OBF OAF,3=4,OF=OF.2=AOB,1+3=21+4=2又OE是公共边,OEFOEF.（1）半角模型的

14、命名：存在两个角度是一半关系,并且这两个角共顶点；（2）通过先旋转全等再轴对称全等,一般结论是证明线段和差关系；（3）常见的半角模型是90含45,120含60.模型实例例1 已知,正方形ABCD中,MAN=45,它的两边分别交线段CB、DC于点M、N（1）求证：BM+DN=MN（2）作AHMN于点H,求证：AH=AB证明：（1）延长ND到E,使DE=BM, 四边形ABCD是正方形,AD=AB 在ADE和ABM中, ADEABM AE=AM,DAE=BAM MAN=45,BAM+NAD=45 MAN=EAN=45 在AMN和AEN中, AMNAEN MN=EN BM+DN=DE+DN=EN=MN

15、（2）由（1）知,AMNAEN SAMN=SAEN 即又MN=EN, AH=AD 即AH=AB例2 在等边ABC的两边AB、AC上分别有两点M、N,D为ABC外一点,且MDN=60,BDC=120,BD=DC探究：当M、N分别在线段AB、AC上移动时,BM、NC、MN之间的数量关系（1）如图,当DM=DN时,BM、NC、MN之间的数量关系是_；（2）如图,当DMDN时,猜想（1）问的结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明图图解答（1）BM、NC、MN之间的数量关系是BM+NC=MN（2）猜想：BM+NC=MN证明：如图,延长AC至E,使CE=BM,连接DE BD=CD,且BDC=120,

16、 DBC=DCB=30 又ABC是等边三角形, ABC=ACB=60 MBD=NCD=90 在MBD与ECD中, DB=DC,DBM=DCE=90,BM=CE, MBDECD（SAS） DM=DE,BDM=CDE EDN=BDC-MDN=60 在MDN和EDN中, MD=ED,MDN=EDN=60,DN=DN, MDNEDN（SAS） MN=NE=NC+CE=NC+BM 图例3 如图,在四边形ABCD中,B+ADC=180,AB=AD,E、F分别是BC、CD延长线上的点,且EAF=BAD求证：EF=BE-FD证明：在BE上截取BG,使BG=DF,连接AG B+ADC=180,ADF+ADC=

17、180, B=ADF 在ABG和ADF中, ABG ADF（SAS） BAG=DAF,AG=AF GAF=BAD EAF=BAD=GAF GAE=EAF 在AEG和AEF中, AEG AEF（SAS） EG=EF EG=BE-BG, EF=BE-FD 跟踪练习：1已知,正方形ABCD,M在CB延长线上,N在DC延长线上,MAN=45 求证：MN=DN-BM【答案】证明：如图,在DN上截取DE=MB,连接AE, 四边形ABCD是正方形, AD=AB,D=ABC=90 在ABM和ADE中, ABMADE AM=AE, MAB=EAD MAN=45=MAB+BAN, DAE+BAN=45 EAN=9

18、0-45=45=MAN 在AMN和AEN中, ABMADE MN=EN DN-DE=EN DN-BM=MN 2已知,如图在RtABC中,BAC=90,AB=AC,点D、E分别为线段BC上两动点,若DAE=45,探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系小明的思路是：把AEC绕点A顺时针旋转90,得到ABE,连接ED使问题得到解决请你参考小明的思路探究并解决以下问题：（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间的数量关系式,并对你的猜想给予证明；（2）当动点E在线段BC上,动点D运动到线段CB延长线上时,如图,其他条件不变,（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明图

19、图【答案】解答：（1）猜想：DE2=BD2+EC2证明：将AEC绕点A顺时针旋转90得到ABE,如图 ACEABE BE=EC,AE=AE,C=ABE,EAC=EAB 在RtABC中, AB=AC, ABC=ACB=45 ABC+ABE=90,即EBD=90 EB2+BD2=ED2 又DAE=45, BAD+EAC=45 EAB+BAD=45,即EAD=45 AEDAED DE=DE DE2=BD2+EC2 图（2）结论：关系式DE2=BD2+EC2仍然成立证明：作FAD=BAD,且截取AF=AB,连接DF,连接FE,如图 AFDABD FD=DB,AFD=ABD 又AB=AC, AF=AC

20、 FAE=FAD+DAE=FAD+45, EAC=BAC-BAE=90-（DAE-DAB ）=90-（45-DAB）=45+DAB, FAE=CAE 又AE=AE, AFEACE FE=EC,AFE=ACE=45 AFD=ABD=180-ABC=135 DFE=AFD-AFE=135-45=90 在RtDFE中,DF2+FE2=DE2 即DE2=BD2+EC2 图3已知,在等边ABC中,点O是边AC、BC的垂直平分线的交点,M、N分别在直线 AC、BC上,且MON=60 （1）如图,当CM=CN时,M、N分别在边AC、BC上时,请写出AM、CN、MN三者之间的数量关系；（2）如图,当CMC

21、N时,M、N分别在边AC、BC上时,（1）中的结论是否仍然成立？若成立,请你加以证明；若不成立,请说明理由；（3）如图,当点M在边AC上,点N在BC的延长线上时,请直接写出线段AM、CN、 MN三者之间的数量关系图图图【答案】结论：（1）AM=CN+MN；如图图（2）成立；证明：如图,在AC上截取AE=CN,连接OE、OA、OCO是边AC、BC垂直平分线的交点,且ABC为等边三角形,OA=OC,OAE=OCN=30,AOC=120又AE=CN,OAEOCNOE=ON,AOE=CONEON=AOC=120MON=60,MOE=MON=60MOEMONME=MNAM=AE+ME=

22、CN+MN 图（3）如图,AM=MN-CN 图4如图,在四边形ABCD中,B+D=180,AB=AD,E、F分别是线段BC、CD上的点,且BE+FD=EF求证：EAF=BAD【答案】证明：如图,把ADF绕点A顺时针旋转DAB的度数得到ABG,AD旋转到AB,AF旋转到AG,AG=AF,BG=DF,ABG=D,BAG=DAFABC+D=180,ABC+ABG=180点G、B、C共线BE+FD=EF,BE+BG=GE=EF在AEG和AEF中,AEGAEFEAG=EAFEAB+BAG=EAF又BAG=DAF,EAB+DAF=EAFEAF=BAD5如图,已知四边形ABCD,EAF的两边分别与DC的延

23、长线交于点F,与CB的延长线交于点E,连接EF（1）若四边形ABCD为正方形,当EAF45时,EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？（只需直接写出结论）（2）如图,如果四边形ABCD中,ABAD,ABC与ADC互补,当EAFBAD时,EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？请写出结论并证明（3）在（2）中,若BC4,DC7,CF2,求CEF的周长（直接写出结论）解答：（1）EF=DF-BE（2）EF=DF-BE证明：如图,在DF上截取DM=BE,连接AM,D+ABC=ABE+ABC=180D=ABEAD=AB在ADM和ABE中,ADMABEAM=AE,DAM=BAEEAF=BAE+BAF=BAD

24、,DAM+BAF=BADMAF=BADEAF=MAF在EAF和MAF中EAFMAFEF=MFMF=DF-DM=DF-BE,EF=DF-BE（3）EF=DF-BECEF的周长=CE+EF+FC=BC+BE+DC+CF-BE+CF =BC+CD+2CF=15将军饮马模型“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题,会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合,在近年的中考和竞赛中经常出现,而且大多以压轴题的形式出现模型1：直线与两定点模型作法结论当两定点A、B在直线l异侧时,在直线l上找一点P,使PAPB最小连接AB交直线l于点P,点P即为所求

25、作的点PAPB的最小值为AB当两定点A、B在直线l同侧时,在直线l上找一点P,使得PAPB最小作点B关于直线l的对称点B,连接AB交直线l于点P,点P即为所求作的点PAPB的最小值为AB当两定点A、B在直线l同侧时,在直线l上找一点P,使得最大连接AB并延长交直线l于点P,点P即为所求作的点的最大值为AB当两定点A、B在直线l异侧时,在直线l上找一点P,使得最大作点B关于直线I的对称点B,连接AB并延长交直线l于点P,点P即为所求作的点的最大值为AB当两定点A、B在直线l同侧时,在直线l上找一点P,使得最小连接AB,作AB的垂直平分线交直线l于点P,点P即为所求作的点的最小值为0模型实例例1：

26、如图,正方形ABCD的面积是12,ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,则PDPE最小值是解答：如图所示,点B与点D关于AC对称,当点P为BE与AC的交点时,PDPE最小,且线段BE的长正方形ABCD的面积为12,其边长为ABE为等边三角形,BEABPDPE的最小值为例2：如图,已知ABC为等腰直角三角形,ACBC4,BCD15,P为CD上的动点,则的最大值是多少？解答：如图所示,作点A关于CD的对称点A,连接AC,连接AB并延长交CD于点P,则点P就是的值最大时的点,ABABC为等腰直角三角形,ACBC等于4,ACB90BCD15,ACD75点A、A关于C

27、D对称,AACD,ACCA,ACDDCA75,BCA60CAACBC4,ABC是等边三角形,ABBC4的最大值为4练习1如图,在ABC中,ACBC2,ACB90,D是BC边的中点,E是AB边上一动点,则ECED的最小值是解：解：过点C作COAB于O,延长CO到,使O=OC,连接D,交AB于E,连接B,此时DE+CE=DE+E=D的值最小连接B,由对称性可知BE=CBE=45,CB=90,BBC,BC=BC=45,BC=B=2,D是BC边的中点,BD=1,根据勾股定理可得：D=,故EC+ED的最小值是 2如图,点C的坐标为（3,y）,当ABC的周长最短时,求y的值解：解：（1）作A关于x=3

29、|DN-MN|的最小值为0,最大值为3 模型作法结论点P在AOB内部,在OB边上找点D,OA边上找点C,使得PCD周长最小分别作点P关于OA、OB的对称点P、P,连接PP,交OA、OB于点C、D,点C、D即为所求PCD周长的最小值为PP点P在AOB内部,在OB边上找点D,OA边上找点C,使得PDCD最小作点P关于OB的对称点P,过P作PCOA交OB于D,点C、点D即为所求PDCD的最小值为PC点P、Q在AOB内部,在OB边上找点D,OA边上找点C,使得四边形PQDC周长最小分别作点P、Q关于OA、OB的对称点P、Q,连接PQ,分别交OA、OB于点C、D,点C、D即为所求PCCDDQ的最小值为P

30、Q,所以四边形PQDC周长的最小值为PQPQ模型实例如图,AOB=30,AOB内有一定点,且.在上有一点,上一点若立周长最小,则最小周长是多少？解答如图,作点分别关于、的对称点、,连接,分别交、于点、,连接、.,的周长的最小值为的长.由对称性可得EOQ=POQ,FOR=POR,EOF=2AOB=60是正三角形即周长最小值为10. 模型2/角与定点1已知,为内一定点,为上的点,为上的点,当的周长取最小值时：(1)找到、点,保留作图痕迹；(2)求此时等于多少度.如果=,APB又等于多少度？1.解答（1）做点分别关于的对称点,连接分别交于点点即为所求,此时的周长最小（）点与点关于直线对称,点与

31、点关于对称,=,=180-=140在中,+=180-140=40,+=40=100如果=,=180-,+=又=2,=2+=2（+）=2=180-22如图,四边形中,在、上分别找一点、,使周长最小,并求此时的度数2解答如图,作点关于的对称点,关于的对称点,连接与、的交点即为所求的点此时周长最小=110,+=180-110=70由轴对称的性质得：=,=,+=2(+)=270=1403如图,在轴上找一点,在轴上找一点,使最小,并求直线的解析式及点、的坐标3解答作点关于轴的对称点,点关于轴的对称点,连接分别交轴、轴于点、,此时最小由对称性可知（-1,3）,（3,-1）易求得直线的解析式为,即直线的

32、解析式当时,点坐标为（2,0）当时,点坐标为（0,2）4如图,、占分别为射线、上两定点,且, 点、分别为射线、上两动点,当、运动时,线段的最小值是多少？4解答作点关于的对称点,点关于的对称点,连接,分别交于点,连接、则,此时最小由对称可知,作于点,在Rt中,的最小值是模型3两定点一定长模型作法结论d如图,在直线l上找M、N两点(M在左),使得AMMNNB最小,且MNd.A将A向右平移d个单位到A,作A关于l的对称点A,连接AB与直线l交于点N,将点N向左平移d个单位即为M,点M,N即为所求.AMMNNB的最小值为ABd如图,l1l2,l1、l2间距离为d,在l1、l2分别找M、N两点,使得MN

33、l1,且AMMNNB最小M将A向下平移d个单位到A,连接AB交直线l2于点N,过点N作MNl1,连接AM.点M、N即为所求AMMNNB的最小值为ABd.例题：在平面直角坐标系中,矩形OABC如图所示,点A在x轴正半轴上,点C在y轴正半轴上,且OA6,OC4,D为OC中点,点E、F在线段OA上,点E在点F左侧,EF2.当四边形BDEF的周长最小时,求点E的坐标解答：如图,将点D向右平移2个单位得到D(2,2),作D关于x轴的对称点D(2,2),连接BD交x轴于点F,将点F向左平移2个单位到点E,此时点E和点F为所求作的点,且四边形BDEF周长最小.理由：四边形BDEF的周长为BDDEEFBF,

34、BD与EF是定值.BFDE最小时,四边形BDEF周长最小,BFEDBFFDBFFDBD设直线BD的解析式为ykxb,把B(6,4),D(2,2)代入,得6kb4,2kb2,解得k,b5,直线BD的解析式为yx5令y0,得x,点F坐标为(,0)点E坐标为(,0)练习1在平面直角坐标系中,矩形OACB的顶点O在坐标原点,顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上,A(3,0),B(0,4),D为边OB的中点(1)若E为边OA上的一个动点,求CDE的周长最小值；(2)若E、F为边OA上的两个动点,且EF1,当四边形CDEF的周长最小时,求点E、F的坐标解答：(1)如图,作点D关于x轴的对称点D,连接CD与x轴交于点E,连接DE,由模型可知CDE的周长最小在矩形OACB中,OA3,OB4,D为OB的中点,D(0,2),C(3,4),D(0,2).设直线CD为ykxb,把C(3,4),D(0,2)代入,得3kb4,b2,解得k2,b2,直线CD为y2x2.令y0,得x1,点E的坐标为(1,0).OE1,AE2.利用勾股定理得CD,DE,CE2,CDE周长的最小值为3(

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