1、 1.4 条件概率与乘法公式条件概率与乘法公式 1.4.1 1.4.1 条件概率条件概率 在实际当中，我们常常碰到这样的问题，就是在实际当中，我们常常碰到这样的问题，就是在已知一事件发生的条件下，求另一事件发生的在已知一事件发生的条件下，求另一事件发生的概率概率 下面首先看一个例子下面首先看一个例子:第第1章章 概率论基础概率论基础 将一枚硬币抛掷两次将一枚硬币抛掷两次,观察其出现正反观察其出现正反两面的情况两面的情况,设事件设事件 A为为“至少有一次为正面至少有一次为正面”,事件事件B为为“两次掷出同一面两次掷出同一面”.现在来求已知事现在来求已知事件件A 已经发生的条件下事件已经发生的条件
2、下事件 B 发生的概率发生的概率.分析分析.,TTTHHTHH.2142)(BP事件事件A 已经发生的条件下事件已经发生的条件下事件B 发生的概率发生的概率,记为记为),(ABP31)(ABP则则).(BP 4341)()(APABP.,为反面为反面为正面为正面设设TH1.引例引例一、条件概率,TTHHBTHHTHHA 定义定义1.6 设设A与与B是同一样本空间中的两事件，是同一样本空间中的两事件，若若P(A)0，则称，则称 (1.2)为在为在A发生下的发生下的B的的条件概率条件概率 类似地，当类似地，当P(B)0时，定义在时，定义在B发生下事件发生下事件A发发生的条件概率为生的条件概率为 (
3、1.3)()()(APABPABP)()()(BPABPBAP 1.4.1 条件概率条件概率4 不难看出，计算条件概率不难看出，计算条件概率P(B|A)P(B|A)有两种方法：有两种方法：在原样本空间在原样本空间 中分别求出中分别求出P(A),P(AB),P(A),P(AB),再再 按定义公式计算；按定义公式计算；在缩减样本空间在缩减样本空间A A中按一般概率中按一般概率P(B)P(B)计算。计算。5 解解 在原样本空间在原样本空间 中计算中计算【例【例1 1】因为因为“不放回依次取两只不放回依次取两只”有序，排列有序，排列 的每种不同的每种不同 结果就是一个样本点结果就是一个样本点,所以样本
4、点总数为所以样本点总数为.204525P A A所含样本点均为所含样本点均为“第一次取一等品的两产品第一次取一等品的两产品”，故其，故其 所含样本点总数所含样本点总数 有利场合数有利场合数 为为.121413CC6,206)(,2012)(ABPAP而而ABAB的样本点均为的样本点均为“两次均取一等品两次均取一等品”，故其所含样本点，故其所含样本点总数总数 有利场合数有利场合数 为为 由由得得:从而从而,由由得得:.21)()()|(APABPABP 在缩减样本空间在缩减样本空间A A中计算中计算,61213CC7 “第一次取一等品的两只第一次取一等品的两只”均为均为A A所含样本点所含样本点
5、,共有共有 ,其中两只均为一等品的为其中两只均为一等品的为ABAB所含样本点所含样本点,共有共有 故由故由得得:121413CC,61213CC.21126)|(ABP 注意注意（1）条件概率）条件概率P(B|A)与无条件概率与无条件概率P(B)没有必然关系没有必然关系.（2）当）当B A时，有时，有（3）当）当AB=时，有时，有)()(ABPBP)()(ABPBP).()()()()()(BPAPBPAPABPABP )(0)(BPABP 1.4.1 条件概率条件概率 （4）不难验证，条件概率满足概率定义不难验证，条件概率满足概率定义1.5中的三条公中的三条公理：理：(1)非负性：对任意事件
6、非负性：对任意事件B，P(B|A)0；(2)规范性：规范性：P(|A)=1；(3)可列可加性：设可列可加性：设 事件两两互不事件两两互不相容，则相容，则 所以所以,条件概率条件概率P(|A)也满足概率的所有其他性也满足概率的所有其他性质质1)()()()()(0 APAPAPABPABP,21nBBB 11)()|(iiiiABPABP 1.4.1 条件概率条件概率);()()()()4(212121BAAPBAPBAPBAAP ).(1)()5(BAPBAP 则有则有的事件的事件是两两不相容是两两不相容设设可列可加性可列可加性,:)6(21nBBB.)(11 niiniiABPABP例如例如
7、:1.4.1 条件概率条件概率【例【例1.11】设某种动物从出生起活设某种动物从出生起活20岁以上的概率岁以上的概率为为80%，活，活25岁以上的概率为岁以上的概率为40%如果现在有一如果现在有一个个20岁的这种动物，求它能活岁的这种动物，求它能活25岁以上的概率岁以上的概率 解：设解：设 A 表示表示“能活能活 20 岁以上岁以上”的事件，的事件，B 表示表示“能活能活 25 岁以上岁以上”的事件的事件,则有所求概率为则有所求概率为,8.0)(AP因为因为.)()()(APABPABP,4.0)(BP.218.04.0 )()()(APABPABP 所以所以由于由于B A,所以所以P(AB)
8、=P(B),1.4.1 条件概率条件概率1.4.2 1.4.2 乘法公式乘法公式由条件概率公式容易得到下面定理由条件概率公式容易得到下面定理定理定理1.1 设设A与与B是同一样本空间中的两个事件，是同一样本空间中的两个事件，如果如果P(A)0，则，则 (1.4)如果如果P(B)0，则，则 (1.5)上面均称为事件概率的上面均称为事件概率的乘法公式乘法公式定理定理1.1容易推广到求多个事件积事件概率的情容易推广到求多个事件积事件概率的情况况)()()(APABPABP)()()(BPBAPABP 1.4 条件概率与乘法公式条件概率与乘法公式则有则有且且为事件为事件设设推广推广,0)(,:1213
9、21 AAPAAA).()()()(213121321AAAPAAPAPAAAP 事实上事实上)()(321321AAAPAAAP 且且,0)()(211 AAPAP由于由于)()(21321AAAPAAP).()()(213121AAAPAAPAP 可进一步推广如下可进一步推广如下:右侧的条件概率均有意义右侧的条件概率均有意义,1.4.2 乘法公式乘法公式).()(.)()()()(12122112112121 nnnnnAAAAPAAAAPAAAPAAPAPAAAP则有则有且且,0)(121 nAAAP,2,:221 nnAAAn个事件个事件为为设设推广推广1.4.2 乘法公式乘法公式【例
10、【例1.12】某厂的产品中有某厂的产品中有4%的废品，在的废品，在100件件合合格品格品中有中有75件一等品，试求在该厂的产品中任取件一等品，试求在该厂的产品中任取一件是一等品的概率一件是一等品的概率 解解：设设A=“任取的一件是合格品任取的一件是合格品”，B=任取的一件是一等品任取的一件是一等品因为因为且且B A所以所以%,96)(1)(APAP%75)(ABP)()(ABPBP)()(ABPAP.72.01007510096 1.4.2 乘法公式乘法公式【例【例1.13】某人忘记了电话号码的某人忘记了电话号码的最后一位最后一位数字，数字，因而他随意地拨号求他拨号不超过三次而接通因而他随意地
11、拨号求他拨号不超过三次而接通电话的概率若已知最后一位数字是奇数，那么电话的概率若已知最后一位数字是奇数，那么此概率又是多少？此概率又是多少？解：解：设设Ai=“第第i次接通电话次接通电话”，i=1，2，3，B=“拨号不超过拨号不超过3次接通电话次接通电话”，则事件则事件B的表达式为的表达式为利用概率的加法公式和乘法公式利用概率的加法公式和乘法公式 321211AAAAAAB)(BP)|()|()()|()()(2131211211AAAPAAPAPAAPAPAP )()()(321211AAAPAAPAP .103819810991109101 1.4.2 乘法公式乘法公式 若已知最后一位数字
12、是奇数，若已知最后一位数字是奇数，则则)|()|()()|()()(2131211211AAAPAAPAPAAPAPAP 53314354415451 )(BP1.4.2 乘法公式乘法公式【例【例1.14】猎手在距猎物猎手在距猎物10米处开枪，击中概率米处开枪，击中概率为为0.6若击不中，待开第二枪时猎物已逃至若击不中，待开第二枪时猎物已逃至30米远米远处，此时击中概率为处，此时击中概率为0.25，若再击不中，则猎物已，若再击不中，则猎物已逃至逃至50米远处，此时只有米远处，此时只有0.1的击中概率求猎手三的击中概率求猎手三枪内击中猎物的概率枪内击中猎物的概率 解：解：以以Ai=“第第i枪击中
13、猎物枪击中猎物”，i=1，2，3，则所求概率则所求概率)(321AAAP)(1321AAAP )|()|()(1213121AAAPAAPAP )1.01)(25.01)(6.01(1 73.0)(1321AAAP 1.4.2 乘法公式乘法公式课堂练习课堂练习 设某光学仪器厂制造的透镜设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破第一次落下时打破的概率为的概率为1/2,若第一次落下未打破若第一次落下未打破,第二次落下打破的第二次落下打破的概率为概率为7/10,若前两次落下未打破若前两次落下未打破,第三次落下打破的第三次落下打破的概率为概率为9/10.试求透镜落下三次而试求透镜落下三次而未未打破的概
14、率打破的概率.解解B“透镜落下三次而未打破透镜落下三次而未打破”.,321AAAB 因为因为)()(321AAAPBP 所以所以)()()(213121AAAPAAPAP)1091)(1071)(211(.2003)3,2,1(,iiAi次次落落下下打打破破透透镜镜第第设设 在处理复杂事件的概率时，我们经常将这个在处理复杂事件的概率时，我们经常将这个复杂事件分解为若干个互不相容的较简单的事件复杂事件分解为若干个互不相容的较简单的事件之和，先求这些简单事件的概率，再利用有限可之和，先求这些简单事件的概率，再利用有限可加性得到所求事件的概率，这种方法就是加性得到所求事件的概率，这种方法就是全概率全概率公式公式 1.4.2 乘法公式乘法公式
