1、上次课要点回顾1.分布函数分布函数 xxkkpxXPxF)(xttfxXPxFd)()(连续型连续型).()(,)(xfxFxxf 则有则有处连续处连续在点在点若若且且2.二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数.,),(yYxXPyxF .),(yyxxijjipyxF离离散散型型.dd),(),(vuvufyxFyx 连连续续型型离散型离散型 问题：（X,Y）是二维随机变量，而X,Y 都是一维随机变量，那么（X,Y）的分布与 X,Y各自的分布存在什么关系？1.离散型随机变量的边缘分布律离散型随机变量的边缘分布律 2.连续型随机变量的边缘分布连续型随机变量的边缘分布3.小结小结2.6 边
2、缘分布.,2,1,),(jipyYxXPYXijji律律为为的的联联合合分分布布设设二二维维离离散散型型随随机机变变量量定定义义1.离散型随机变量的边缘分布律 ,2,1,Y,2,1,X1111 jpyYxXPyYPipyYxXPxXPiijijiijijjjii的的分分布布律律为为的的分分布布律律为为.),(的的边边缘缘分分布布律律和和关关于于关关于于上上面面两两式式分分别别称称为为YXYX;,2,1,1 ipxXPjiji.,2,1,1 jpyYPiijjXYixxx21jyyy2112111ippp22212ipppijjjppp21 iP jP例例1 已知下列分布律求其边缘分布律已知下列
3、分布律求其边缘分布律.XY1042164212421242910XY1042124212421242610iixXPP jjyYPP 解解 747317473例例2 一只硬币一面写上一只硬币一面写上1，另一面写上，另一面写上2，将硬币抛，将硬币抛3次次,以以X记前记前两次所得数字之和两次所得数字之和,以以Y记后两次所得数字之差记后两次所得数字之差(第第2次减去第次减去第3次次).试求试求X和和Y的联合分布律，以及边缘分布律的联合分布律，以及边缘分布律.样本点样本点XY解解 先将试验的样本空间及先将试验的样本空间及X,YX,Y取值的情况列出如下：取值的情况列出如下：111 112 121 122
4、 211 212 221 2222 2 3 3 3 3 4 40 -1 1 0 0 -1 1 0X和和Y的联合分布律及边缘分布律如下表所示：的联合分布律及边缘分布律如下表所示：X所有可能取的值为所有可能取的值为2，3，4；Y所有可能取的值为所有可能取的值为-1,0,1.易得易得(X，Y)取取(u,v)，u=2,3,4;v=-1,0,1的概率的概率.XY-1 0 11/8 1/8 1/8 1/8 0 01/81/8 2/8 1/8 2/8 1/8 0 1/8 1/81/8 1/8PX=uPY=v1/4 1/2 1/41/4 1/2 1/4 12 32 3 4 41/41/41/21/21/41/
5、4样本点样本点XY111 112 121 122 211 212 221 2222 2 3 3 3 3 4 40 -1 1 0 0 -1 1 0率密度如下率密度如下它们的概它们的概均为连续型随机变量，均为连续型随机变量，与与则则具有概率密度具有概率密度设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量YX),(),(yxfYX定定义义2.二维连续型随机变量的边缘分布 .),()(,d),()(dxyxfyfYyyxfxfXYX的概率密度为：的概率密度为：的概率密度为：的概率密度为：.Y,),()(),(的的边边缘缘概概率率密密度度关关于于关关于于分分别别称称为为随随机机变变量量XYXyfxfYX边缘概率
6、密度边缘概率密度)1(.)(dxxfxX .dd),(),()(yYyxyxfyFyF.dd),(),()(xXxyyxfxFxF（2）边缘分布函数）边缘分布函数.)(dyyfyY 例例3 设设(X,Y)的概率密度为的概率密度为 .,0),(,1324),(其其它它Gyxxyxf其中区域其中区域G如右图所示，求如右图所示，求(X,Y)关于关于X和和Y的边缘概率密度的边缘概率密度).()(yfxfYX和和解解 Oxy2/11 2/1 12/3G)1,21(23 yx dyyxfxfX),()(.,0,2/32/1,2/10,2301324101324其它其它xxdyxxdyx即即 .,0,),(
7、,0,)(2321231324211324其它其它xxxxxxfXOxy2/11 2/1 12/3G)1,21(23 yx dxyxfyfY),()(.,0,10,)(23022313121324其它其它yyxdxy?),(),(的的分分布布有有何何不不同同和和观观察察NMYXXY-1 0 1PX=u3/163/16 3/16 3/83/16 3/8 1/16 1/16 1/81/16 1/8PY=v1/4 1/4 1/4 1/4 1/23/43/41/41/4 1 -1-1 1 1MN-1 0 1PM=u -1-1 1 1 0 0 1/4 2/41/4 2/4 1/4 0 00 03/43/
8、41/41/4PN=v1/4 1/4 1/4 1/4 1/2 1这两个二维这两个二维随机变量的随机变量的分布律是不分布律是不相同的，但相同的，但是却具有相是却具有相同的边缘分同的边缘分布布.联合分布联合分布边缘分布边缘分布).()(.,0,6),(2xFxfXxyxyxfYXXX和边缘分布函数和边缘分布函数的边缘概率密度的边缘概率密度求关于求关于其他其他具有联合概率密度具有联合概率密度和和设随机变量设随机变量 解解yyxfxfXd),()(xy 2xy Oxy)1,1(其其他他,d010,d62yxyxx例例4 4 其其他他,010),(62xxxdxxfxFxXX )()(.,0,10),(
9、6)(2其其他他由由于于xxxxfX 其他其他,110,)(600,0020 xdxxxdxxdxxx 其他其他,110,230,032xxxx,2,1,:),(,2,1,:),(.,2,1,),(.11111 jpyYxXPyYPYYXipyYxXPxXPXYXjipyYxXPYXiijijiijijjjiiijji的的边边缘缘分分布布律律关关于于和和的的边边缘缘分分布布律律关关于于律律为为的的联联合合分分布布设设二二维维离离散散型型随随机机变变量量3.小结联合分布联合分布 边缘分布边缘分布 3.:,),(.),()(,d),()(:Y,),(YX),(),(.2的边缘分布函数的边缘分布函数
10、关于关于随机变量随机变量的边缘概率密度的边缘概率密度关于关于随机变量随机变量均为连续型随机变量，均为连续型随机变量，与与则则具有概率密度具有概率密度设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量YXYXdxyxfyfyyxfxfXYXyxfYXYX .dxxfxFxXX )()(.d)()(xYYyyfyF.,.)(,)(.10,3,2,1并求边缘分布律并求边缘分布律的联合分布律的联合分布律和和试写出试写出的素数的个数的素数的个数是能整除是能整除的正整数的个数的正整数的个数是能整除是能整除设设一个值一个值十个值中取十个值中取等可能地在等可能地在一整数一整数FDNNFFNNDDN 解解1098765432112232424340111121112课堂练习课堂练习:布律布律的联合分布律与边缘分的联合分布律与边缘分和和由此得由此得FD样本点样本点DFDkp4321101104102103Fkp21010110710243211010000104102101000102DFjFP 101107102iDP 1011041021031或或将将边边缘缘分分布布律律表表示示为为012
