1、第一章第一章 函数、极限与连续函数、极限与连续第二章第二章 导数与微分导数与微分第三章第三章 中值定理与导数应用中值定理与导数应用第四章第四章 不定积分不定积分第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用第六章第六章 常微分方程常微分方程第七章第七章 空间解析几何空间解析几何高数高数(专升本专升本)考试章节考试章节（一）函数的概念（一）函数的概念（二）函数的极限（二）函数的极限（三）函数的连续性（三）函数的连续性第一章第一章 极限与连续极限与连续 主要内容主要内容函函 数数的定义的定义反函数反函数隐函数隐函数反函数与直接反函数与直接函数之间关系函数之间关系基本初等函数基本初等函数复合函数复合函数
2、初等函数初等函数函函 数数的性质的性质单值与多值单值与多值奇偶性奇偶性单调性单调性有界性有界性周期性周期性一、函数的概念一、函数的概念函数的两要素函数的两要素:设设y=f(x),xD1;y=g(x),xD2,则则1).f(x)g(x)对任意对任意xD1 D2,都有都有f(x)=g(x)2).D1 D2,f(D1)=g(D2)不能推出不能推出f(x)g(x)3).规则相同规则相同,值域相同不能推出有值域相同不能推出有f(x)g(x)定义域定义域与与对应法则对应法则.幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数和反三角函数和反三角函数统称为三角函数统称为基本初等函数基本初等函数.求求
3、y=f-1(x)的方法的方法:y=f(x)(解出解出x)x=f-1(y)(x、y互换互换)y=f-1(x);y=f(x)(x、y互换互换)x=f(y)(解出解出y)y=f-1(x).(),(),(),()()(),().fyf uDug xDg DDyf g xxDDyf uug x设函数的定义域为函数的定义域为若则函数称为由构成的复合函数复合函数：复合函数：复合函数的分解原则复合函数的分解原则:分解成各步的式子应为基本初等函数或分解成各步的式子应为基本初等函数或基本初等函数与常数的四则运算基本初等函数与常数的四则运算.初等函数：初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次由常数和基本初等函数经过
4、有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成四则运算和有限次的函数复合步骤所构成,并可并可用用一个式子表示一个式子表示的函数的函数,称为称为初等函数初等函数.左右极限左右极限两个重要两个重要极限极限求极限的常用方法求极限的常用方法无穷小无穷小的性质的性质极限存在的极限存在的充要条件充要条件判定极限判定极限存在的准则存在的准则无穷小的比较无穷小的比较极限的性质极限的性质数列极限数列极限函函 数数 极极 限限axnn limAxfxx)(lim0Axfx )(lim等价无穷小等价无穷小及其性质及其性质无穷小无穷小0)(lim xf两者的两者的关系关系无穷大无穷大 )(limxf是水平渐近线；bybx
5、fx)(lim.)(lim00是铅直渐近线xxxfxx 极限性质：有界性、唯一性、保号性.)0)(lim.(1)()(sinlim00 xxxxxxx *)0)(lim(.)(1 lim00)(1 xexxxxxx 其其中中)(lim(.)(11lim00)(xexxxxxx 其其中中);(,0lim)1(o 记作记作高阶的无穷小高阶的无穷小是比是比则称则称如果如果.0,且且穷小穷小是同一过程中的两个无是同一过程中的两个无设设.低阶的无穷小是比或称;),0(lim)2(是是同同阶阶的的无无穷穷小小与与则则称称如如果果 CClim1,;（3）如果则称 与 是等价的无穷小，记作.limlim,li
6、m,则则存存在在且且设设左右连续左右连续在区间在区间a,ba,b上连续上连续连续函数连续函数的的 性性 质质初等函数初等函数的连续性的连续性间断点定义间断点定义连连 续续 定定 义义0lim0 yx)()(lim00 xfxfxx 连续的连续的充要条件充要条件连续函数的连续函数的运算性质运算性质非初等函数非初等函数的连续性的连续性 振荡间断点振荡间断点 无穷间断点无穷间断点 跳跃间断点跳跃间断点 可去间断点可去间断点第一类第一类 第二类第二类三、函数的连续性三、函数的连续性可去间断点：可去间断点：00(0)(0).f xAf x的间断点跳跃间断点：跳跃间断点：00(0)(0).f xf x、都
7、存在但不相等注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处可去间断点只要改变或者补充间断处 函数的定义函数的定义,则可使其变为连续点则可使其变为连续点.无穷间断点：无穷间断点：00(0)(0).f xf x、中至少有一个为震荡断点：震荡断点：00(0)(0).f xf x或不存在且非00000lim()():,lim()()xxuuxxuf uf u若0000lim()()(lim()lim()xxxxuufxfxfxf u则最值定理：最值定理：闭区间上连续的函数一定有最值闭区间上连续的函数一定有最值.有界定理：有界定理：闭区间上连续的函数必有界闭区间上连续的函数必有界.介介值值定定理理：设设函函
8、数数)(xf在在 ba,上上连连续续，且且在在区区 间间端端点点取取不不同同的的函函数数值值Aaf)(及及 Bbf)(,则则对对于于A与与 B之之间间的的任任意意一一个个数数 C，在在 ba,内内至至少少有有一一点点 ，使使得得Cf)()(ba .零零点点定定理理：设设)(xf在在 ba,上上连连续续，且且0)()(bfaf,则则至至少少有有一一点点)(ba ，使使0)(f.四、求极限的常用方法四、求极限的常用方法1.利用极限的四则运算、连续性求极限利用极限的四则运算、连续性求极限;2.变形、变换、消去零变形、变换、消去零(或或)因子法求极限因子法求极限;3.利用单侧极限利用单侧极限 与极限的
9、关系与极限的关系;利用左右极限利用左右极限 求分段函数极限求分段函数极限;4.利用无穷小运算性质、等价无穷小替换求极限利用无穷小运算性质、等价无穷小替换求极限;5.复合函数的极限、取对数法；取指数法；复合函数的极限、取对数法；取指数法；6.利用两个重要极限；利用两个重要极限；7.夹限法夹限法;8.洛必达法则等其它方法。洛必达法则等其它方法。f连续连续f(x)有定义有定义 f局部有界局部有界f有极限有极限”“0;)(lim)(lim时AAxfAxf五、五、注注意意点点().fCf xC，反之未必()()lim()lim().f xg xf xg x未必有 f为为f(x)无极限无极限 f为无界为无
10、界.)()(lim0)(lim,)(limxgxfbxgxf0000lim()lim()xxxxf xf xlim(),lim()lim()().f xg xf xg x 未必.)()(lim)(lim,)(lim不存在不存在xgxfxgxf若若f(x)f(x)在在a,ba,b上单调增上单调增(减减),),则则x x0 0(a,b)(a,b)只能是只能是f(x)f(x)的连续点或第一类间断点的连续点或第一类间断点.初等函数在其定义区间内连续，但在定义域内初等函数在其定义区间内连续，但在定义域内未必连续未必连续.分段函数的连续区间分段函数的连续区间=各段的连续区间各段的连续区间+分段点的连续性分
11、段点的连续性.初等函数的间断点初等函数的间断点x0:一般从分母为零中找一般从分母为零中找,但但分母为零的点分母为零的点x0的附近函数要有定义的附近函数要有定义.lim=0,lim=0时时,与与才可能比较才可能比较;lim0 lim0lim(/)设，若不存在且非，则 与 不能比较。无无穷小的等价关系具有自反性穷小的等价关系具有自反性,对称性对称性,传递性传递性.常用等价无穷小常用等价无穷小:,0时当 u).10(ln1,1)1(,21cos1,1,)1ln(,arctantan,arcsinsin2aauaumuuuueuuuuuuuuumu六、幂指函数六、幂指函数若)(lim1)(limxg，
12、xf形如形如 )()(xgxf的函数的函数(是初等函数是初等函数)，)(),(xgxf其中其中 ，1)(0)(xfxf且且称之为称之为幂指函数幂指函数.对幂指函数有如下结论：对幂指函数有如下结论：),()(lim,0)(lim为常数若BBxgAxfBxgAxf)()(lim则有)1)()(limexp)(lim)(xfxgxfxg则求复合函数、反函数及其定义域；判定函求复合函数、反函数及其定义域；判定函数的初等性质。求极限；求连续区间，判断间数的初等性质。求极限；求连续区间，判断间断点及其类型；分段点的连续性断点及其类型；分段点的连续性(待定常数待定常数)；无穷小的比较、等价无穷小；两个重要极限。无穷小的比较、等价无穷小；两个重要极限。常见类型常见类型试卷题型分布试卷题型分布初等函数：约初等函数：约9分分(选择、填空选择、填空);极限与连续：约极限与连续：约22分分(选择、填空、计算、证明选择、填空、计算、证明)
