1、 高三数学二模考试试卷 高三数学二模考试试卷一、单选题一、单选题1已知全集 ，则 （）ABCD2在正方体 中，设直线 与直线 AD 所成的角为 ，直线 与平面 所成的角为 ，则 （）ABCD3设随机变量 ，则“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4函数 在 单调递减，且为偶函数若 ，则满足 的 的取值范围是（）ABCD5在 中，M 为 BC 边上任意一点，N 为线段 AM 上任意一点，若 （，），则 的取值范围是（）ABCD6已知直线 ，圆 ，则直线 l 与圆C 的位置关系是（）A相离B相切C相交D不确定7函数的部分图像如图所示，现将函数的图像向左平移
2、个单位长度，再将图像上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），得到函数的图像，则的表达式可以为（）ABCD8已知椭圆 和双曲线 有相同的左、右焦点 ，若 ，在第一象限内的交点为 P，且满足 ，设 ，分别是 ，的离心率，则 ，的关系是（）ABCD二、多选题二、多选题9欧拉公式 （本题中 e 为自然对数的底数，i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”依据欧拉公式，则下列结论中正确的是（）A复数 为纯虚数B复数 对应的点位于第二象限C复数 的共轭复数为 D复数 在复平面内对应的点的轨迹是圆10
3、若实数 a，b 满足 ，则下列结论中正确的是（）ABCD11设函数 ，则下列结论中正确的是（）A 的最小正周期为 B 在 单调递减C 的图象关于直线 对称D 的值城为 12在边长为 4 的正方形 ABCD 中，如图 1 所示，E，F，M 分别为 BC，CD，BE 的中点，分别沿AE，AF 及 EF 所在直线把 ，和 折起，使 B，C，D 三点重合于点 P，得到三棱锥 ，如图 2 所示，则下列结论中正确的是（）AB三棱锥 的体积为 4C三棱锥 外接球的表面积为 D过点 M 的平面截三棱锥 的外接球所得截面的面积的取值范围为 三、填空题三、填空题13 14某社区对在抗击疫情工作中表现突出的 3 位
4、医生、2 位护士和 1 位社区工作人员进行表彰并合影留念现将这 6 人随机排成一排，则 3 位医生中有且只有 2 位相邻的概率为 15在 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 ，且 ，成等差数列，则 的面积的最大值为 16某资料室在计算机使用中，出现如表所示的以一定规则排列的编码，表中的编码从左至右以及从上至下都是无限的，此表中，主对角线上的数字构成的数列 1，2，5，10，17，的通项公式为 ，编码 99 共出现 次11111112345613579111471013161591317211611162126四、解答题四、解答题17锐角 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b
5、，c，已知 （1）求 A；（2）若 ，D 为 AB 的中点，求 CD 的取值范围 18新能源汽车是指除汽油、柴油发动机之外的所有其他能源汽车，被认为能减少空气污染和缓解能源短缺的压力在当今提倡全球环保的前提下，新能源汽车越来越受到消费者的青睐，新能源汽车产业也必将成为未来汽车产业发展的导向与目标某车企随机调查了今年 3 月份购买本车企生产的汽车的 100 位车主，经统计其购车种类与性别情况如下表：单位：人购置新能源汽车购置传统燃油汽车总计男性501060女性251540总计7525100附：，0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0
6、246.6357.87910.828（1）根据表中数据，在犯错误的概率不超过 2.5%的前提下，是否可以认为购车种类与性别有关；（2）用样本估计总体，用本车企售出汽车样本的频率代替售出汽车的概率，从该车企今年 3 月份售出的汽车中，随机抽取 3 辆汽车，设被抽取的 3 辆汽车中属于传统燃油汽车的辆数为 X，求 X 的分布列及数学期望19已知公差为 d 的等差数列 和公比 的等比数列 中，（1）求数列 和 的通项公式；（2）令 ，抽去数列 的第 3 项、第 6 项、第 9 项、第 3n项、余下的项的顺序不变，构成一个新数列 ，求数列 的前 n 项和 20如图，在四棱锥 中，底面 ，底面 是等腰梯
7、形，E 是 PB 上一点，且 （1）求证：平面 ；（2）已知平面 平面 ，求二面角 的余弦值 21已知抛物线 在点 处的切线斜率为 （1）求抛物线 C 的方程；（2）若抛物线 C 上存在不同的两点关于直线 对称，求实数 m 的取值范围 22已知函数 （1）若对任意 ，恒成立，求实数 m 的取值范围；（2）设函数 在 上的最小值为 a，求证：答案解析部分答案解析部分1【答案】D2【答案】C3【答案】B4【答案】A5【答案】C6【答案】D7【答案】B8【答案】D9【答案】A,B,D10【答案】B,C,D11【答案】A,D12【答案】A,B,D13【答案】-214【答案】15【答案】16【答案】；6
8、17【答案】（1）解：因为 ，由正弦定理可得 ，所以 ，所以 ，因为 ，即 ，所以 ，因为 ，所以 ，又因为 为锐角三角形，所以 ；（2）解：由（1）知 ，又 ，在 中，由余弦定理可得 ，因为 为锐角三角形，所以 ，由余弦定理可得 ，又 ，所以 ，解得 ，所以由二次函数性质可得 CD 的取值范围是 .18【答案】（1）解：设零假设为 ：购车种类与性别无关，根据数表可得 ，所以零假设 是错的，即在犯错误的概率不超过 2.5%的前提下，可以认为购车种类与性别有关.（2）解：随机抽取 1 辆汽车属于传统燃油汽车的概率为 ，被抽取的 3 辆汽车中属于传统燃油汽车的辆数为 X，X 的可能值为：0，1，2
9、，3，依题意，所以 X 的分布列为：X0123PX 的数学期望 .19【答案】（1）解：由题意，整理得 ，解得 或 ，因为公比 ，所以 ，则 ，所以 ，；（2）解：由（1）可得 ，当 时，当 时，综上，.20【答案】（1）证明：如图，连接 交 于 F，连接 EF，所以 ，所以 ，因为 平面 ，平面 ，所以 平面 ，得证（2）解：由题，底面 是等腰梯形，作 垂直 于 G，则 ，底面 ，设 ，分别以 ，为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图空间直角坐标系，易得 ，设平面 法向量 ，平面 法向量 ，则 ，令 ，则 ，同理 ，令 ，则 ，由平面 平面 得 ，得 ，则 ，设平面 法向量 ，则 ，令 ，则 ，
10、又 ，所以 ，故二面角 的余弦值为 .21【答案】（1）解：点 ，则切线方程为：，由 消去 y 并整理得：，依题意，解得 ，所以抛物线 C 的方程是 .（2）解：设抛物线 C 上关于 l 对称的两点为 ，则设直线 AB 方程为：，由 消去 y 并整理得：，则有 ，解得 ，显然线段 的中点 在直线 l上，于是得 ，即有 ，而 ，因此，解得 ，所以实数 m 的取值范围是 .22【答案】（1）解：若对任意 ，恒成立，即 对任意 恒成立，令 ，由 ，得 ，由 ，得 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，所以 ；所以实数 m 的取值范围 ；（2）证明：，则 ，当 时，令 ，则 0，所以 在 上单调递增，因为 ，所以存在 使得 ，即 ，所以 ，所以当 时，此时 ，当 时，此时 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 在 上的最小值 ，令 ，则 ，所以当 时，单调递减，所以 ，所以 .
