1、 高三下学期数学二模试卷 高三下学期数学二模试卷一、单选题一、单选题1复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2已知集合，则集合中元素个数为（）A2B3C4D53已知，则“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C既不充分也不必要条件D充要条件4已知点在圆：上，点，满足的点的个数为（）A3B2C1D05已知，则（）ABCD6已知某圆锥的侧面积等于底面的 3 倍，直线 是底面所在平面内的一条直线，则该直线 与母线所成的角的余弦值的取值范围为（）ABCD7实数，满足：，则的最小值为（）A0BCD88已知为上的奇函数，若对，当时，都有，则不等式的解集为（
2、）ABCD二、多选题二、多选题9从含有 3 道代数题和 2 道几何题的 5 道试题中随机抽取 2 道题，每次从中随机抽出 1 道题，抽出的题不再放回，则（）A“第 1 次抽到代数题”与“第 1 次抽到几何题”是互斥事件B“第 1 次抽到代数题”与“第 2 次抽到几何题”相互独立C第 1 次抽到代数题且第 2 次也抽到代数题的概率是D在有代数题的条件下，两道题都是代数题的概率是10水车是我国劳动人民创造发明的一种灌溉工具，作为中国农耕文化的组成部分，充分体现了中华民族的创造力，见证了中国农业文明水车的外形酷似车轮，在轮的边缘装有若干个水斗，借助水势的运动惯性冲动水车缓缓旋转，将水斗内的水逐级提升
3、某水车轮的半径为 5 米，圆心距水面的高度为 4 米，水车按逆时针方向匀速转动，每分钟转动 2 圈，当其中的一个水斗到达最高点时开始计时，设水车转动（分钟）时水斗距离水面的高度（水面以上为正，水面以下为负）为（米），下列选项正确的是（）A（）B（）C是函数的周期D在旋转一周的过程中，水斗距离水面高度不低于 6.5 米的时间为 10 秒11已知抛物线：（）的焦点到准线的距离为 2，过的直线 交抛物线于两点，则（）A的准线方程为B若，则C若，则 的斜率为D过点作准线的垂线，垂足为，若轴平分，则12用与母线不垂直的两个平行平面截一个圆柱，若两个截面都是椭圆形状，则称夹在这两个平行平面之间的几何体为斜
4、圆柱这两个截面称为斜圆柱的底面，两底面之间的距离称为斜圆柱的高，斜圆柱的体积等于底面积乘以高椭圆的面积等于长半轴与短半轴长之积的倍，已知某圆柱的底面半径为 2，用与母线成 45角的两个平行平面去截该圆柱，得到一个高为 6 的斜圆柱，对于这个斜圆柱，下列选项正确的是（）A底面椭圆的离心率为B侧面积为C在该斜圆柱内半径最大的球的表面积为D底面积为三、填空题三、填空题13如图是调查某学校高一年级男、女学生是否喜欢徒步运动而得到的等高条形图，阴影部分表示喜欢徒步的频率.已知该年级男生 500 人、女生 400 名（假设所有学生都参加了调查），现从所有喜欢徒步的学生中按分层抽样的方法抽取 23 人，则抽
5、取的男生人数为 14如图，在菱形中，为的中点，则的值是 15设，若存在，使得成立，则正整数的最大值为 16已知数列，当时，则数列的前项的和为 四、解答题四、解答题17已知数列的前项和为，且（）（1）求数列的通项公式：（2）若数列满足，求数列的前项和18如图，在平面四边形 ABCD 中，AB2，AC2，ADCCAB90，设ACD.（1）若60，求 BD 的长度；（2）若ADB30，求 tan的值19春节期间，某商场准备举行有奖促销活动，顾客购买超过一定金额的商品后均有一次抽奖机会.抽奖规则如下：将质地均匀的转盘平均分成 n（，）个扇区，每个扇区涂一种颜色，所有扇区的颜色各不相同，顾客抽奖时连续转
6、动转盘三次，记录每次转盘停止时指针所指扇区内的颜色（若指针指在分界线处，本次转运动无效，需重转一次），若三次颜色都一样，则获得一等奖；若其中两次颜色一样，则获得二等奖；若三次颜色均不一样，则获得三等奖.（1）若一、二等奖的获奖概率之和不大于，求 n 的最小值；（2）规定一等奖返还现金 108 元，二等奖返还现金 60 元，三等奖返还现金 18 元，在 n 取（1）中的最小值的情况下，求顾客在一次抽奖中获奖金额的分布列和数学期望.20如图，在四棱锥中，平面，是等边三角形，（1）若，求证：平面；（2）若二面角为 30，求直线与平面所成的角的正弦值21如图，点是圆：上的动点，点，线段的垂直平分线交半
7、径于点（1）求点的轨迹的方程；（2）点为轨迹与轴负半轴的交点，不过点且不垂直于坐标轴的直线 交椭圆于，两点，直线，分别与轴交于，两点若，的横坐标之积是 2，问：直线 是否过定点？如果是，求出定点坐标，如果不是，请说明理由22设函数.（1）讨论函数的单调性；（2）为的导函数，记，证明：当时，函数有两个极值点.答案解析部分答案解析部分1【答案】A2【答案】C3【答案】C4【答案】B5【答案】D6【答案】A7【答案】D8【答案】B9【答案】A,C,D10【答案】A,D11【答案】B,C,D12【答案】A,B,D13【答案】1514【答案】515【答案】516【答案】17【答案】（1）解：当时，当时，
8、又，数列为首项为 1，公比为 3 的等比数列，；（2）解：由及，可得，18【答案】（1）解：由题意可知，AD1在ABD 中，DAB150，AB2，AD1，由余弦定理可知，BD2(2)212221()19，BD（2）解：由题意可知，AD2cos，ABD60，在ABD 中，由正弦定理可知，19【答案】（1）解：设“获三等奖”为事件 A，由题意得，又，所以，整理得，解得（舍去），或，所以 n 的最小值为 6（2）解：设顾客在一次抽奖中获奖金额为随机变量，则的所有可能取值为 108，60，18，根据题意得，所以的分布列为1086018P所以20【答案】（1）证明：在中，因为，所以因为是等边三角形，所以
9、，因此，所以因为平面，平面，所以因为，所以平面（2）解：因为平面，平面，所以又，且，所以平面又平面，所以，因此即为二面角的平面角所以，所以以的中点为原点，分别以所在直线为轴和轴建立如下图所示的坐标系则于是设平面的法向量为由，得取，得设直线与平面所成角为则故直线与平面所成角的正弦值为21【答案】（1）解：由题得，所以点的轨迹是以为焦点，长轴为 4 的椭圆.所以，所以椭圆的方程为.所以点的轨迹的方程为（2）解：由题得点，设直线的方程为，联立直线和椭圆的方程为得，所以.设，所以.所以直线方程为，令得，同理，因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以直线的方程为，所以直线过定点.22【答案】
10、（1）解：的定义域是 R，.当时，令，得；令，得.当时，令，得或；当时，令，得或；令，得；当时，恒成立，且仅在处；当时，令，得或；令，得.综上，当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；当时，函数在区间，上单调递增，在区间上单调递减；当时，函数在 R 上单调递增；当时，函数在区间，上单调递增，在区间上单调递减.（2）解：证明：由题意得，则.要使函数有两个极值点，则方程有两个不同的根，且这两根的左、右两侧的函数值异号.令，则，令，得，令，得，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.则函数在处取得极大值，也是最大值.当时，且，即函数在区间上至少存在一个零点 m.又函数在区间上单调递增，函数在区间上存在唯一的零点 m，且当时，；当时，是函数的极小值点.下面证明函数在区间上存在唯一的极大值点.先证：当时，.令，令，当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递增，即.当时，取，由零点存在性定理，得函数在区间上至少存在一个零点.又函数在区间上单调递减，在区间上存在唯一的零点 n，且在区间上，在区间上，是函数的极大值点.综上，函数有两个极值点.
