1、顺序统计量一、定义定义：定义：设(X1,X2,Xn)是从总体X中抽取的一个样本，(x1,x2,xn)是其中一个观测值，将观测值按从小到大的次序重新排列为：定义：X(k)取值为x(k)(k=1,2,n)，由此得到特别的特别的说明说明X(k)称为第称为第 k 个顺序统计量个顺序统计量(即它的每次取值即它的每次取值总是取每次样本观测值由小到大排序后的第总是取每次样本观测值由小到大排序后的第 k 个值个值).二、常用顺序统计量 极差 中位数 分位数 四分位数1、极差、极差极差反映了随机变量X取值的分散程度。排序后处于中间位置上的值2、中位数、中位数3、分位数分位数1/31/31/3012X(k)称为第
2、k个顺序统计量(即它的每次取值总是取每次样本观测值由小到大排序后的第k个值).当X为连续型随机变量且有密度函数f(x)时，则X(1),X(n)也是连续型随机变量，且它们的密度函数分别为：推论2：最小次序统计量x(1)的概率密度函数为排序后处于中间位置上的值排序后处于中间位置上的值设总体X的密度函数为f(x)，分布函数为F(x)，x1,x2,xn为样本，则第k个次序统计量x(k)的密度函数为:012按概率密度函数计算次序统计量的密度函数：求：f(1)(x)，f(n)(x)。次序统计量的应用之一就是五数概括与箱线图。所谓五数概括就是指用这五个数来大致描述一批数据的轮廓。定义：X(k)取值为x(k)
3、(k=1,2,n)，由此得到设总体X的密度函数为f(x)，分布函数为F(x)，x1,x2,xn为样本，则第k个次序统计量x(k)的密度函数为:例3：设(X1,X2,Xn)是来自正态总体N(12,9)的样本，求：4 4、四分位数：、四分位数：排序后处于25%和75%位置上的值五数概括与箱线图次序统计量的应用之一就是五数概括与箱线图。在得到有序样本后，容易计算如下五个值：最小观测值xmin=x(1);最大观测值xmax=x(n);中位数m;第一4分位数Q1=m第三4分位数Q3=m。所谓五数概括就是指用这五个数来大致描述一批数据的轮廓。三、顺序统计量的分布1、单个顺序统计量的分布设总体X的密度函数为
4、f(x)，分布函数为F(x)，x1,x2,xn为样本，则第k个次序统计量x(k)的密度函数为:第三4分位数Q3=m。设总体X的密度函数为f(x)，分布函数为F(x)，x1,x2,xn为样本，则第k个次序统计量x(k)的密度函数为:1、单个顺序统计量的分布指统计量加工过程中无信息损失的统计量排序后处于中间位置上的值X(k)称为第k个顺序统计量(即它的每次取值总是取每次样本观测值由小到大排序后的第k个值).解：1）因X1,X2,Xn独立，且服从相同分布极差反映了随机变量X取值的分散程度。例2：设总体XG(l)，X1,X2,Xn为X的样本。排序后处于25%和75%位置上的值设总体X的密度函数为f(x
5、)，分布函数为F(x)，x1,x2,xn为样本，则第k个次序统计量x(k)的密度函数为:0127/2713/277/27例3：设(X1,X2,Xn)是来自正态总体N(12,9)的样本，求：求：f(1)(x)，f(n)(x)。证明：对任意的实数x，考虑次序统计量x(k)取值落在小区间(x,x+x内这一事件，它等价于“样本容量为n 的样本中有1个观测值落在区间(x,x+x之间，而有k-1个观测值小于等于x，有n-k 个观测值大于x+x”，其直观示意图见下图xx+xn-kk-11x(k)的取值示意图1()()!()()1()(1)!()!kkkn kF xxF xnF xF xxF xF xxknk
6、两边同除以x,并令x0,即有推论1：最大次序统计量x(n)的概率密度函数为推论2：最小次序统计量x(1)的概率密度函数为按概率密度函数计算次序统计量的密度函数：设F(x)是总体X的分布函数，X1，X2，,Xn为X的样本，X(1),X(2),X(n)为顺序统计量，F(1)(x),F(n)(x)分别表示随机变量X(1),X(n)的分布函数，则对任意实数x有：按概率密度函数计算次序统计量的密度函数：当X为连续型随机变量且有密度函数f(x)时，则X(1),X(n)也是连续型随机变量，且它们的密度函数分别为：例例1：设：设总体总体 X 分布为分布为 U(0,),X1,X2,Xn 是是取自总体的样本，试写
7、出取自总体的样本，试写出 X(1),X(n)的密度函数的密度函数.,0,0,1)(1)(1-n)1(othersxxnxp.,0,0,1)()(1-n)(othersxxnxpn例2：设总体XG l，X1,X2,Xn为X的样本。求：f(1)(x)，f(n)(x)。例3：设(X1,X2,Xn)是来自正态总体N(12,9)的样本，求：解：1）因X1,X2,Xn独立，且服从相同分布解：我们首先应求出x(2)的分布。由总体密度函数不难求出总体分布函数为30,0;(),01;1,1xF xxxx可以得到x(2)的密度函数为2 15 225!()()()1()(2 1)!(52)!pxF xp xF x于
8、是1253 3(2)01()60(1)2P xxxdx323 353 3203(1)60(1),01xxxxxx318781334020(1)20()y xyy dyzzdz45775(1()4(1()0.120788四、思考设设总体总体 X 的分布如下的分布如下:X0 1 2p1/3 1/3 1/3现抽取容量为现抽取容量为 3 的样本的样本,共有共有 27 种可能取值种可能取值,列表如下列表如下x1x2x3x(1)x(2)x(3)000000001001010001100001002002020002200002011011101011x1x2x3x(1)x(2)x(3)1100110120
9、12021012102012201012120012210012022022202022x1x2x3x(1)x(2)x(3)220022112112121112211112122122212122221122111111222222例5：设总体X的分布为仅取0,1,2的离散均匀分布，X(1)012p19/277/271/27X(2)012p7/2713/277/27X(3)012p1/277/2719/27其分布其分布各不相同各不相同进而可得进而可得 X(1)与与 X(2)的联合分布如下的联合分布如下:X(1)与与X(2)并不独立并不独立 1/270023/274/27013/279/277/270210X(2)(1)(2)197(0)(0)27 27P xP x(1)(2)7(0,0)27P xx,而X(1)由此可得由此可得 X(1),X(2),X(3)的分布列如下的分布列如下:注注:在一个样本中在一个样本中,X1,X 2，,Xn 是独立同分是独立同分布的布的,而次序统计量而次序统计量 X(1),X(2),X(n)则可则可能既不独立能既不独立,分布也不相同分布也不相同.充分统计量指统计量加工过程中无信息损失的统计量是不合格品率p的充分统计量来自正态总体的样本，若总体期望已知，是总体方差的充分统计量，若总体方差已知，是总体期望的充分统计量。10011iiXT谢谢观看！
