1、xy)(xfy ab1x2xmMo定理定理1 设设 在闭区间在闭区间 上连续，则上连续，则 在在上存在最大值和最小值，即上存在最大值和最小值，即 使得使得 )(xf,ba)(xf,ba,21baxx.,),()(),()(21baxxfxfxfxf).(min)()(max)(21xfxfxfxfbxabxa，记记设f(x)在闭区间a,b上连续，则(i)f(x)在a,b上为单调函数时 aObxyaObxyOab xyOabxy此时，函数 f(x)恰好在 a,b的端点a和b取到最大值和最小值.y=f(x)a,b,则y=f(x)a,b,则，)()(max,bfxfbax);()(min,afxfb
2、ax，)()(max,afxfbax).()(min,bfxfbax(ii)y=f(x)为一般的连续函数时，如图中所示，xya a1a2a3a4a5a6bma1mama2ma3ma4ma5ma6mby=f(x),maxmax654321,baaaaaaabaxmmmmmmmm,minmin654321,baaaaaaabaxmmmmmmmm注意注意:1.若区间是开区间若区间是开区间,定理不一定成立定理不一定成立;2.若区间内有间断点若区间内有间断点,定理不一定成立定理不一定成立.xyo()yf x211xyo2()yf x定理定理2 设设 在闭区间在闭区间 上连续，则上连续，则 在在 上上有界
3、有界.)(xf,ba)(xf,ba函数函数 在在 上无上界上无上界：)(xf,ba.)(,0MxfbaxMMM使得使得2 2、有界性定理、有界性定理 f(x)在 a,b上可取到它的最大值M和最小值m，证：证：f(x)在闭区间a,b上连续故 m f(x)M xa,b|f(x)|M*xa,b令 M*=max|m|,|M|,则即 f(x)在a,b上有界.定理3：设 f(x)在闭区间a,b上连续，且f(a)f(b)0，则至少存在一点(a,b)，使得 f()0.axyy=f(x)f(a)bf(b)O几何解释几何解释:(),.yf xxx连续曲线弧的两个端点位于 轴的不同侧则曲线弧与 轴至少有一个交点定理
4、4：设 f(x)在闭区间a,b上连续，f(a)A,f(b)B,且AB,则对于A，B之间的任意一个数C，至少存在一点(a,b)，使得 f()=C定理4：设 f(x)在闭区间a,b上连续，则存在最大值最大值M和最小值m，对于M和最m之间的任意一个数C，至少存在一点(a,b)，使得 f()=C证证：令 (x)=f(x)C 故,由根存在定理，至少存在一点(a,b)使则 (x)C(a,b).C在A，B之间 (a)(b)=(f(a)C)(f(b)C)(AC)(BC)0(x)=0，即 f(x)=C.yBCAOabx：设 f(x)在闭区间a,b上连续，则f(x)取得介于其在a,b 上的最大值M和最小值m之间的
5、任何值就是说，mCM,则必存在a,b,使得f()=C.例例1：设 f(x)在闭区间a,b上连续，a x1 x2 xn b,证明:至少存在一点x1,xn，使得nxfxfxffn)()()()(21证：证：f(x)在闭区间a,b上连续.有从而Mnxfxfmn)(1由介值定理，至少存在一点x1,xn，使，nxfxffn)()()(1综上所述，命题获证.mf(xi)M.),(max,1xfMnxxx),(min,1xfmnxxx例例2:证明方程x53x=1,在x=1与x=2之间至少有一根.证：证：令 f(x)=x53x1，x1,2则 f(x)在闭区间1,2上连续又 f(1)=3，f(2)=25，即 f
6、(1)f(2)0即 方程在x=1与 x=2之间至少有一根.故 至少存在一个(1,2)，使得 f()=0,例例3 3.)(),(.)(,)(,)(fbabbfaafbaxf使得使得证明证明且且上连续上连续在区间在区间设函数设函数证证,)()(xxfxF 令令,)(上连续上连续在在则则baxFaafaF )()(而而,0 由零点定理由零点定理,使使),(ba ,0)()(fFbbfbF )()(,0.)(f即即而 f(0)=0a sin0b=b 0,b 0)至少有一个不超过a+b的正根.证：证：问题归结为在0,a+b上求方程的根的问题.1)如果 f(a+b)0，则=a+b 就是方程的根.综上所述，
7、方程在0,a+b上至少有一个根,即至少有一个不超过a+b的正根.2)如果 f(a+b)0,则f(0)f(a+b)0，由根存在定理,至少存在一个(0,a+b)，使得 f()=0.例5).()21(1,0),1()0(,1,0)(ffffxf 使得使得证明必有一点证明必有一点且且上连续上连续在闭区间在闭区间设设证明),()21()(xfxfxF 令令.21,0)(上连续上连续在在则则xF),0()21()0(ffF ),21()1()21(ffF 讨论:,0)0(F若若,0 则则);0()210(ff ,0)21(F若若,21 则则);21()2121(ff 则则若若,0)21(,0)0(FF )
8、21()0(FF2)0()21(ff .0 由零点定理知,.0)(),21,0(F使使.)()21(成立成立即即 ff 综上,1,021,0 必有一点必有一点.)()21(成立成立使使 ff 内必有实根。在证明使证明存在上连续，且满足在设内各有一根。在区间证明方程练习：)1,1(2.3.)(,1,0,1)(0 1,0)(.2)4,2(),2,0(),0,2(033.1200023xxxfxxxfxfxxxx左右连续在区间a,b上连续连续函数的 性 质初等函数的连续性间断点定义连 续 定 义0lim0 yx)()(lim00 xfxfxx 连续的充要条件连续函数的运算性质非初等函数的连续性 振荡间断点 无穷间断点 跳跃间断点 可去间断点第一类 第二类
