1、启用前 绝密 江苏省苏州市 2019 2020 学年度第一学期期末考试试卷 高 三 数 学 2020.01 一. 填空题（本题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分) 1. 已知集合 A = x|x 1，,B = 1,0,1,4，则 AB =. 2. 已知 i 是虚数单位，复数 z(1+bi)(2+i) 的虚部为 3，则实数 b 的值为. 3. 从 2 名男生和 1 名女生中任选 2 名参加青年志愿者活动，则选中的恰好是一男一女的概率为. 4. 为了了解苏州市某条道路晚高峰时段的车流量情况，随机抽查了某天单位时间内通过的车辆数，得到以 下频率分布直方图（如图） ，已知在 5，7) 之间
2、通过的车辆数是 440 辆，则在 8，9) 之间通过的车辆数 是. 频率 组距 时间 0.10 0.16 0.20 0.24 3456789 第4题图 开始 结束 输入x 输出y x 0，则“a1 a2”是“a3 a5”的条件 （填“充分不必要”、 “必要 不充分”、 “充分必要”或“既不充分又不必要”） 7. 在平面直角坐标系 xOy 中，己知点 F1，F2是双曲线 x2 a2 y2 b2 = 1(a 0,b 0) 的左、右焦点，点 P 的坐标为 (0,b)，若 F1PF2= 120，则该双曲线的离心率为. 8. 若 x，y 满足约束条件 x 0 xy 0 x+y1 0 ，则 z = x+3
3、y 的最大值为. 9. 如图，某品牌冰淇淋由圆锥形蛋筒和半个冰淇淋小球组成，其中冰淇淋小球的半径与圆锥底面半径相同，已 知圆锥形蛋筒的侧面展开图是圆心角为 2 5，弧长为 4 cm 的扇形，则该冰淇淋的体积是 cm3 10. 在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 x+my+m+2 = 0(m R) 上存在点 P，使得过点 P 向圆 O：x2+y2= 2 作切线 PA（切点为 A） ，满足 PO = 2PA，则实数 m 的取值范围为 . 11. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l：y = 1 2 与函数 f(x) = sin ( x+ 6 ) ( 0) 的图象在 y 轴右侧的公共 点从左
4、到右依次为 A1,A2, , 若点 A1的横坐标为 1，则点 A2的横坐标为. 12. 如图，在平面四边形 ABCD 中，已知 AD3，BC4，E，F 为 AB，CD 的中点，P，Q 为对角线 AC，BD 的中 点，则 # PQ # EF 的值为. 13. 已知实数 x，y 满足 x(x+y) = 1+2y2，则 5x24y2的最小值为. 14. 已知函数 f(x) = ex ex ,x 2 4x8 5x ,x 2 （其中 e 为自然对数的底数） ，若关于 x 的方程 f2(x)3a|f(x)|+2a2= 0 江苏 2020 届考备考系列试卷第 1 页 (共 4 页) 恰有 5 个相异的实根，
5、则实数 a 的取值范围为. 二. 解答题（本题共 6 小题，共 90 分，解答时应写出字说明、证明过程或演算步骤） 15. (本小题满分 14 分) 已知向量 a a a = ( sinx, 3 4 ) ，b b b = (cosx,1) (1) 当 a a ab b b 时，求 tan2x 的值； ； (2) 设函数 f(x) = 2(a a a+b b b)b b b，且 x ( 0, 2 ) ，求函数 y = f(x) 的最大值以及对应的 x 的值 A B C D E A1 B1 C1 16. (本小题满分 14 分) 如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，CACB，D，E 分别是 AB
6、，B1C 的中点 (1) 求证：DE平面 ACC1A1； (2) 若 DEAB，求证：ABB1C 江苏 2020 届考备考系列试卷第 2 页 (共 4 页) 17. (本小题满分 14 分) AB C D O 为响应“生产发展、生活富裕、乡风文明、村容整洁、管理民主”的社 会主义新农村建设，某自然村将村边一块废弃的扇形荒地 (如图) 租给蜂 农养蜂、产蜜与售蜜已知扇形 AOB 中，AOB = 2 3，OB = 2 3(百米)， 荒地内规划修建两条直路 AB，OC，其中点 C 在 AB 上 (C 与 A，B 不重 合)，在小路 AB 与 OC 的交点 D 处设立售蜜点，图中阴影部分为蜂巢区， 空
7、白部分为蜂源植物生长区设 BDC =，蜂果区的面积为 S(平方百 米) (1) 求 S 关于的函数关系式； (2) 当为何值时，蜂巢区的面积 S 最小，并求此时 S 的最小值 18. (本小题满分 16 分) O x y P Q T 定义：以椭圆中为圆，长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅圆” 过椭圆第 象限内点 P 作 x 轴的垂线交其“辅圆”于点 Q，当点 Q 在点 P 的上 时，称点 Q 为点 P 的“上辅点” 如图，已知椭圆 E：x 2 a2 + y2 b2 = 1(a b 0) 上的点 ( 1, 3 2 ) 的上辅点为 (1, 3) (1) 求椭圆 E 的方程； (2) 若 OPQ 的面积等
8、于 1 2，求上辅点 Q 的坐标； (3) 过上辅点 Q 作辅圆的切线与 x 轴交于点 T，判断直线 PT 与椭圆 E 的位置关系，并证明你的结论 江苏 2020 届考备考系列试卷第 3 页 (共 4 页) 19. (本小题满分 16 分) 已知数列 an 满足 2Sn= nan+a1，a3= 4，其中 Sn是数列 an 的前 n 项和 (1) 求 a1和 a2的值及数列 an 的通项公式； (2) 设 Tn= 1 S1+2 + 1 S2+4 + 1 S3+6 + 1 Sn+2n(n N ), 若 T1= T2T3，求 k 的值; 求证：数列 Tn 中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积
9、20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f(x) = a+lnx x (a R) (1) 求函数 y = f(x) 的单调区间； (2) 当函数 y = f(x) 与函数 g(x) = lnx 图象的公切线 l 经过坐标原点时，求实数 a 的取值集合； (3) 证明：当 a ( 0, 1 2 ) 时，函数 h(x) = f(x)ax 有两个零点 x1，x2，且满足 1 x1 + 1 x2 1 a 江苏 2020 届考备考系列试卷第 4 页 (共 4 页) 1 江苏省苏州市 20192020 学年第一学期期末学业质量阳光指标调研卷 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70
10、 分不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡 相应的位置上 ） 1已知集合 A，B1，0，1，4，则 AB 【答案】1,4 【分析】由交集定义求解。 【解答】A，B1，0，1，4，则 AB1,4 【点评】考察集合交集的求解，属于简单题。 2已知 i 是虚数单位，复数 z(1bi)(2 i)的虚部为 3，则实数 b 的值为 【答案】1. 【分析】展开复数 z，对照复数的虚部的系数，列出方程求解即可。 【解答】z=2-b+(2b+1)i，因此 2b+1=3,b=1. 【点评】考察复数的展开及虚部的概念，属简单题。 3从 2 名男生和 1 名女生中任选 2 名参加青年志愿者活动，则选中的恰好是一男一
11、女的概率为 【答案】 【分析】古典概型，列出一男一女的可能选法的种数和三选二选法种数，二者相除即可。 【解答】三人中选二人有种选法，一男一女的选法共有种，因此选中的恰好是一男一女的概率为 =。 【点评】考察古典概型，属简单题。 4为了了解苏州市某条道路晚高峰时段的车流量情况，随机抽查了某天单位时间内通过的车辆数，得到 以下频率分布直方图（如图） ，已知在5，7)之间通过的车辆数是 440 辆，则在8，9)之间通过的车辆数 是 2 【答案】100. 【分析】在5，7)之间通过的车辆数是 440 辆，可求出车辆总数，再求8，9)之间通过的车辆数水到渠成。 【解答】5，7)之间的=0.24+0.20
12、=0.44，因此车辆总数=4400.44=1000。所以8，9)之间通过的车辆 数为 10000.10=100 辆。 【点评】考察对学生频率分布直方图的读取和理解，颇具新意。 5如图是一个算法流程图，若输入的 x 值为 5，则输出的 y 值为 【答案】2. 【分析】按照流程图计算即可。 【解答】x=5，因此 x1，因此 a5=a3q2a3，所以“”是“”的充分 3 条件；若“” ，即 a5=a3q2a3，所以 q21，q1 或 q1)。 13 当 n=1 时，满足。故通项公式。 （2）。因此。 所以=。=，解之得 k=1。 证明：对数列中的任意一项恒成立。 即数列中的任意一项总可以表示成该数列
13、其他两项之积证明完毕。 【点评】本题考察知识点和方法较为丰富，第（1）问求通项公式时除了常规上下相减之外还要将等式转 化为易求数列，技巧性颇強。第（2）问考察裂项相消法的应用，第小问需要使用构造法，较难处理。 本题难度较大，属于难题。 20 （本题满分 16 分） 已知函数(R) （1）求函数的单调区间； （2）当函数与函数图象的公切线 l 经过坐标原点时，求实数 a 的取值集合； （3）证明：当(0，)时，函数有两个零点，且满足 【答案】见解答。 【分析】第（1）问利用导数求解单调性。第（2）问先求出公切线 l 的方程，再探讨 a 的取值范围。第（3） 问先利用导数研究函数 h(x)的单调性
14、，证明零点个数。再使用函数思想，构造函数，利用导数研究函数单 调性解决不等式问题。 【解答】 （1） 对求导， 得， 令， 解得。 当 14 时，f(x)单调递增。 当时，f(x)单调递减。 （2）设公切线 l 与函数的切点为（） ，则公切线 l 的斜率 k=，公切线 l 的方 程为：， 将原点坐标 （0,0） 代入， 得， 解得。 公切线 l 的方程为：, 将它与联立， 整理得。 令， 对之求导得：， 令，解得。当时，m(x)单调递减，值域为（，） ； 当时，m(x)单调递增，值域为，)。由于直线 l 与函数 f(x)相切， 即只有一个公共点，因此。故实数 a 的取值集合为。 （3），要证
15、h(x)有两个零点，只要证有两个零点即可。k(1)=0， 即 x=1 时函数 k(x)的一个零点。 对 k(x)求导得：， 令， 解得。 当 时，k(x)单调递增；当时，k(x)单调递减。当时，k(x)取最 小值，必 定存在使得二次函数0，即。因此在区间上 必定存在 k(x)的一个零点。综上所述，h(x)有两个零点，一个是 x=1，另一个在区间（，）上。 15 下面证明。 由上面步骤知 h(x)有两个零点，一个是 x=1，另一个在区间（，）上。 不妨设，则，下面证明即可。 令,对之求导得：，故 v(a)在定义域内单调递减， ，即。 证明完毕。 【点评】本题考察知识点众多，利用导数研究函数单调性，切线与导数的关系，利用导数研究函数的零点 个数，利用导数构造函数来证明不等式，对学生的思维能力和思维品质要求极高，属于难题。
