1、9 1 集合的概念和表示方法91 1 集合的概念一个模糊定义：集合一个模糊定义：集合是一些确定的、可以区分的事物汇聚在一起组成的一个整体，组成个集合的每个事物称为该集合的一个元素元素或简称个元(集合论公理系统的一个基本思想是将集合中集合论公理系统的一个基本思想是将集合中的元素也描述为集合，这样集合论就可以只关心的元素也描述为集合，这样集合论就可以只关心集合了。集合了。)l 如果a是集合A的一个元素，就说a属于属于A，或者说a在A中，记作aA，l 如果b不是集合A的个元素，就说b不属于不属于A或者说b不在A中,记作bA朴素的集合论简单但存在多种悖论，例如例朴素的集合论简单但存在多种悖论，例如例5
2、 5的罗素悖论。为避免悖论，的罗素悖论。为避免悖论，准确理解，特别应注意以下约束：准确理解，特别应注意以下约束：(1)不自吞：不自吞：集合的元素可以是任何事物，也可以是另外的集合(以后将说明，集合的元素不能是该集合自身，正则公理指出集合不能自正则公理指出集合不能自吞吞p153-154p153-154)(2)不重复：不重复：一个集合的各个元素是可以互相区分开的这意味着，在一个集合中不会重复出现相同的元素不会重复出现相同的元素(3)无次序：无次序：组成一个集合的各个元素在该集合中是无次序无次序的(注：注：有序对也可由集合来表达有序对也可由集合来表达p135p135)(4)确定性：确定性：任事物是否
3、属于一个集合，回答是确定回答是确定的，也就是说。对一个集合来说，任一事物或者是它的元素或者不是它的元素，二者必居其一而不可兼而有之，且结论是确定的。(例例5 5的罗素悖论违的罗素悖论违反了这一性质反了这一性质p131)p131)912 集合的表示方法l 约定约定1：我们般用不同的大写字母大写字母表示不同的集合并用不同的小写字母小写字母表示集合中不同的元素，但是因为某个集合的一个元素可能是另个集合所以这种约定不是绝不是绝对对的l 约定约定2：用几个特定的字母表示几个常用的集合约定N表示全体自然数组成的集合(本书中本书中,规定规定0是自然数是自然数,即即0 N但在另一些书中但在另一些书中,规定规定
4、0不是自然数不是自然数),Z表示全体整数组成的集合，Q表示全体有理数组成的集合，R表示全体实数组成的集合，C表示全体复数组成的集合l 两种表示集合的方法两种表示集合的方法(另外还有运算式子表达法另外还有运算式子表达法9.3、图形、图形表达法表达法9.4)：一种方法是外延表示法一种方法是外延表示法(列举列举)这种方法一一列举出集合的全体元素例如A=7，8，9，N=0，1，2，3，表示集合A有三个元素7，8，9集合N的元素是0，1，2，3，集合N就是自然数的集合，N的表示式中使用了省略符号，这表示N中有无限多个元素4，5，6，7等有限集合中也可以使用省略符号，例如a，b，c,，y，z表示由26个小
5、写英文字母组成的集合另一种方法是内涵表示法另一种方法是内涵表示法(谓词描述谓词描述)：这种方法是用谓词来描述集合中元素的性质上述的集合A和N可以分别表示为Ax|x是整数且6xl0，Nx|x是自然数，一般情况，如果一般情况，如果P(x)表示一个谓词，那么就可以用表示一个谓词，那么就可以用x|P(x)或或x:P(x)表示一个集合表示一个集合.x|P(x)是使P(x)为真的所有元素组成的集合也就是说，若P(a)为真，则a属于该集合；若P(a)为假，则a不属于该集合在表示式中的|和：是一个分隔符号在它前向的x是集合中元素的形式名称(如集合A中元素的形式名称是x，但实际名称是7，8，9.常用x，y，z表
6、示形式名称)在分隔符号后面的P(x)是仅含自由变元x的谓词公式913 集合的实例l例1(外延表示法外延表示法)B=9，8，8，7(约束约束2 2)，集合B中的两个8应看作B中的同一个元素，所以B中只有三个元素集合集合B B就是就是99，8 8，77它与上述的集合A=7,8,9是同样的集合，因为元素之间没有次序l例2(内涵表示法内涵表示法)Dx|xB集合D是用集合B来定义的若xB，则xD：若xB，则xD集合D中的元素是除7，8，9外的一切事物l例3(外延表示法，有层次外延表示法，有层次)F=7，8，9集合F和集合B不同。7F，但8F，9F只有88，9和99集合F仅含有两个元素7和8，9，这两个元
7、素由表示F的最外层花括号包围，并由逗号分隔开对于以集合为元素的集合(即有多层花括号的集合)，应注意集合的层次l 例4(内涵表示法，递归内涵表示法，递归)Gx|x1 V(y)(yG x=y)集合G是用递归方法定义的这个定义是构造性的，可以由该定义求G的每个元素，从而构造出G构造G的过程是由1G，有1 G，由1 G，有1 G，这个构造过程是无止境的，因此G的元素有无限多个l例5(内涵表示法内涵表示法)罗素悖论罗素悖论Hx|x是一个集合 x x (所有不自吞集合的集合，所有不自吞集合的集合，违反约束违反约束4)可用反证法证明集合H是不存在的假设存在这样的集合H，下面将证明，对某一具体事物y，无法确定
8、y是否属于H我们以H本身作为这个具体事物y，证明中y就是H.对于集合H，必有yH或yH，下面分别考虑之(1)若yH由于y是H的元素,y就具有H中元素的性质yy.考虑到y就是H，所以yH这与yH矛盾(2)由于y不是H的元素，y就没有H中元素的性质，因此yy又因y就是H，则yH这与yH矛盾两种情况都存在矛盾，所以yH和yH都不成立，集合H不存在问题的根源在于，集合论不能研究问题的根源在于，集合论不能研究“所有集合组成的集所有集合组成的集合合”(由子集公理和罗素悖论推出，见定理由子集公理和罗素悖论推出，见定理9.7.5)这是集合论这是集合论中的一个悖论，称为中的一个悖论，称为Rusell悖论悖论92
9、 集合间的关系和特殊集合921 集合间的关系本小节，介绍几种本小节，介绍几种集合关系符集合关系符，可以用来构造命，可以用来构造命题题(构造集合、命题、复合命题、描述命题关系时，构造集合、命题、复合命题、描述命题关系时，使用符号的优先权问题：集合运算符使用符号的优先权问题：集合运算符优于优于集合关集合关系符系符优于优于逻辑联结词逻辑联结词优于优于逻辑关系词，见逻辑关系词，见9.3.5）l在实数之间可以定义关系=、类似地，在集合之间可以定义关系在集合之间可以定义关系符符、.注意注意也是集合关系符。也是集合关系符。l 1 1、相等关系：、相等关系：定义921()两个集合是相等的，当且仅当它们有相同的
10、元素若两个集合A和B相等，则记作AB；若A和B不相等，则记作AB，l 这个定义也可以写成A=B(x)(xAxB)，(注意左边由集合关系符产注意左边由集合关系符产生生命题命题；右边由逻辑联结词产生；右边由逻辑联结词产生复合命题复合命题；左右两边命题；左右两边命题由逻辑关系词衔接由逻辑关系词衔接)AB(x)(xA xB)(注意同上注意同上)l 这个定义就是集合论中的外延公理这个定义就是集合论中的外延公理(集合论公理集合论公理1)，也叫外延原理它实质上是说“一个集合是由它的元素完全决定的”因此，可以用不同的表示方法(外延的或内涵的)，用不同的性质、条件和内涵表示同一个集合例如7，8，9，x|x是整数
11、 6x10，x|(x-7)(x-8)(x-9)=0，表示同一个集合，即三个集合相等l 2、包含关系：、包含关系：定义922 对任意两个集合A和B，若A的每个元素都是B的元素，就称A为B的子集合子集合，或称B包含A，或称B是A的超集合超集合，记作 AB 或 BA这个定义也可以写成 AB(x)(xAxB)两命题间的关系两命题间的关系当A不是B的子集合时，即AB不成立时，记作A B(子集合可简称为子集)。注意区分注意区分 和和 例如a a,b 但 a a，b，a，ba，b，a 但 a，ba，b，a 是集合论的原始符号，这是一个基是集合论的原始符号，这是一个基本概念；本概念；是由是由 定义出来的概念定
12、义出来的概念3 3、下面给出有关、下面给出有关=和和 的两个主要结论，的两个主要结论，l 定理9.2.1 两个集合相等的充要条件是它们互为子集，即AB(ABBA)证明 AB(x)(xA B)(x)(xAxB)(xBxA)(x)(xAxB)(x)(xBxA)AB BA这个定理很重要，以后证明两个集合相等时，主这个定理很重要，以后证明两个集合相等时，主要使用这个定理，判定两个集合互为子集要使用这个定理，判定两个集合互为子集l定理922 对任意的集合A，B和C；(即包含关系即包含关系 为偏序关系为偏序关系)(1)AA(2)(AB BA)=A=B(3)(AB BC)=AC在这个定理中，定理定理9 92
13、 22 2说明包含关系说明包含关系 具有这具有这3 3个性质个性质(实数间的实数间的关系也关系也有这有这3 3个性质个性质)。应该指出，。应该指出，没有这没有这3 3个性质。见个性质。见9.7.39.7.3：(1)以后将证明，对任意的集合A，AA(2)以后将证明，对任意的集合A和B，(AB BA)(3)对任意的集合A、B和C，当AB和BC时，不一定有AC以后将指出，C为传递集合时才能推出ACl 4、定义923 对任意两个集合A和B，若AB且AB，就称A为B的真子集真子集，或称B真包含A，或称B是A的真超集合真超集合，记作AB或BA，l 这个定义也可以写成AB(AB AB)l 5、定义924 若
14、两个集合A和B没有公共元素，就称A和B是不相交不相交的这个定义也可以写成A和B不相交(x)(xA xB)l 若A和B不是不相交的，就称A和B是相交的例如1，2 1，2，3，1，2 1，2，1，2和3，4，5不相交，1，2和2，3，4相交。922 特殊集合空集和全集是两个特殊集合它们的概念简单，但在集合论中的地位却很重要下面介绍这两个集合l 定义925 不含任何元素的集合称为，记作空集的定义也可以写成x|xx)显然，(x)(x)为真下面介绍有关空集的两个重要结论l 定理923 对任意的集合A，A证明 假设存在集合A，使 A，则存在x，使x且xA这与空集的定义矛盾，所以定理得证l 推论921 空集
15、是唯一的，证明留作思考题(只要假设有两个空集和，证明，即可)，l定义926 在给定的问题中，所考虑的所有事物的集合称为全集全集，记作E.全集的定义也可以写成Ex|xx93集合的运算l运算是数学上常用的手段两个实数进行加法运算可以得到一个新的实数类似地，两个集合也可以进行运算，得到交集、并集等新的集合集合的运算是由已知集合构造新集合的一种方法这类似于用逻辑联结词构造出大量合式公式这种表示方法不仅简捷，而且可利用运算的性质简化一些证明问题本小节，介绍几种本小节，介绍几种集合运算符集合运算符，可以用来构造集合。，可以用来构造集合。931 集合的基本运算下面介绍的5种运算是集合论中的基本运算，对集合A
16、和B，(1)并集AUB定义为AUBx|xAVxB，(2)交集AB定义为A B=x|xA xB(3)差集(又称B对A的相对补集，补集)A-B定义为A-Bx|xA xB(4)余集(又称A的绝对补集)-A定义为()-A=E-Ax|xA，(其中E为全集A的余集就是A对E的相对补集)(5)对称差AB定义为AB(AB)U(BA)x|xA xB()V例1 已知集合A，B和全集E为Aa，b，c，d，Be,f，a,d，Ea，b，c，d，e，f，g，则有A UBa，b，c，d，e，fBUA，A Ba，dB A，ABb，c，BAe，f，一Ae，f，g，Bb,c，g)，ABb，c，e，f=BA并集AUB中的元素是A和
17、B中所有的元素，公共元素只出现一次交集A B中的元素是A和B占所有的公共元素差集AB中的元素是在A中但不在B中的那些元素，余集A中的元素是在全集中但不在A中的那些元素对称差AB中的元素即由AB的元素和BA的元素组成932 广义并和广义交l 广义并和广义交是，它们分别求A中所有元素的并和交，A中可以有任意多个元素，它们就可以求任意个元素的并和交A中若有无限多个元素，它们就可以求无限多个元素的并和交 若集合A的元素都是集合()，则把A的所有元素的元素组成的集合称为A的广义并，记作UA；把A的所有元素的公共元素组成的集合称为A的广义交，记作 AUAx|(z)(zAxz)，Ax|(z)(zAxz)，例
18、2 已知集合A为Aa，b，c，a，b，b，c，d，则有U Aa，b，c，d，Ab广义并和并集的运算符都是U但因广义并是一元运算，并集是二元运算，所以对U的含义不会产生误解 933 幂集l 集合的幂集是该集合所有子集组成的集合，幂集是由个集合构造的新集合，它也是集合的，若A是集合，则把A的所有子集组成的集合称为A的幂集，记作P(A)。l 这个定义也可以写成P(A)x|xA例3 P()，P()，P(a，b)，a，b，a，b.对任意的集合A，有 A和A A，因此有P(A)和AP(A)934 笛卡儿积用集合定义有序对，用有序对定义笛卡儿积用集合定义有序对，用有序对定义笛卡儿积笛卡儿积也是一种集合，两个
19、集合的笛卡儿积是它们的元素组成的有序对的集合，笛卡儿积是与原集合层次不同的集合笛卡儿积是下一章介绍关系概念的基础下面先介绍有序对，再介绍笛卡儿积两个元素x和y(允许xy)按给定次序排列组成的二元组合称为一个有序对，记作其中x是它的第一元素，y是它的第二元素(1)xy=，(2)xu/yv例如：在平面直角坐标系上一个点的坐标就是一个有序对x，x，y(1)x=u/yv(2)xy=证明 (1)设xu/yv，则显然有x，x，yu，u，v，于是设，则有x,x，yu，u，v分别考虑xy和xy两种情况当xy时，x，于是xuu，v，则 xuvy当xy时，显然ux，y于是 u=x且x，yu，v则 x=u显然yu，
20、于是yv两种情况都可得到xu/y=v (2)其证明留作思考题。定义9.3.5 若nN且n1，x1，x2，xn是n个元素，则n元组定义为当n2时，二元组是有序对，当n2时，=，xn 例4 =，c，d按照这个定义，有序对就是二元组，n元组就是多重有序对ABz|xA/yB/zAB=|xA/yBl 例5 已知集合A和B为Aa，b，B0，1，2则有AB=，、BA，AA，在A=B时，可把AA简写为A2：定义937 若nN且n1，而A1，A2,，An是n个集合，它们的n阶笛卡儿积记作 A1A2An，并定义为A1A2An=|x1 A1/xn An935 优先权l 集合可以由连接构成新集合，如AB和-A两个集合
21、可以由连接，构成一个命题，如ABA和AB这种命题可以由连接，构成复合命题，如(AB/AB)两个命题可以由连接，如AB=ABl 在集合论中，当描述问题和证明问题时，往往在一个式子中同时使用上述四类连接符号为了简单、确定地表示各类连接符号的优先次序，下面规定各类连接符号的优先权，集合运算符：一元运算符集合运算符：一元运算符(-A，P(A)，A，A)优先于优先于 集合运算符：二元运算符集合运算符：二元运算符(-，)优先于优先于 集合关系符：集合关系符：(，)优先于优先于 逻辑联结词：一元联结词逻辑联结词：一元联结词()优先于优先于 逻辑联结词：二元联结词逻辑联结词：二元联结词(，)优先于优先于 逻辑
22、关系符：逻辑关系符：(，)此外，还使用数学上惯用的括号表示优先权方法、此外，还使用数学上惯用的括号表示优先权方法、从左到右的优先次序规定从左到右的优先次序规定(1)括号内的优先于括号外的；括号内的优先于括号外的；(2)同一层括号内，按上述优先权，同一层括号内，按上述优先权，(3)同一层括号内，同一优先级的，按从左到右的优同一层括号内，同一优先级的，按从左到右的优先次序先次序94 集合的图形表示法l 前面已介绍了表示集合的三种方法：外延前面已介绍了表示集合的三种方法：外延(列举列举)表示法，内涵表示法，内涵(谓词描述谓词描述)表示法和使用运算的表表示法和使用运算的表示法，图形表示法是第四种表示法
23、示法，图形表示法是第四种表示法图形表示法是数学上常用的方法，它的优点是形象直观、易于理解，缺点是理论基础不够严谨，因此只能用只能用于说明，不能用于证明：于说明，不能用于证明：文氏图：文氏图：首创于瑞士数学家欧拉。十九世纪末，首创于瑞士数学家欧拉。十九世纪末，英国逻辑学家英国逻辑学家venn重新采用了这种办法。重新采用了这种办法。幂集图示幂集图示:参考描述偏序关系的参考描述偏序关系的(二战德国二战德国)哈斯图哈斯图(平面的平面的)。笛卡尔积图示：使用直角坐标系。笛卡尔积图示：使用直角坐标系。941 文氏图l在文氏图中，矩形内部的点表示全集全集的所有元素在矩形内画不同的圆表示不同的集合集合，用圆内
24、部的点表示相应集合的元元素素图941中各图表示集合的关系图942中各图表示5种基本运算942 幂集的图示法l 可以用一个网络图中的各结点表示幂集的各元素设A=0，1，2，则P(A)的各元素在图943中表示图中结点间的连图中结点间的连线表示二者之间有包线表示二者之间有包含关系含关系这种图就是下一章介绍的哈斯哈斯图图943 笛卡儿积的图示法l 在平面直角坐标系上，如果用x轴上的线段表示集合A，并用y轴上的线段表示集合B，则由两个线段画出的矩形就可以表示笛卡儿积AB，如图9.4.4所示，95 集合运算的性质和证明9 51 基本运算的性质l 集合的三种运算AUB，AB，-A分别是用逻辑连接词/，/，定
25、义的，因此它们具有和/，/，类似的性质l 1、集合运算符基本规律l 下面仅证（3）和（5）l这里采用了两种证明方法种是利用谓利用谓词演算词演算(3)的证明的证明)的方法，另一种是利用已利用已知的集合恒等式知的集合恒等式(5)的证明的证明)l可以用文氏图说明集合恒等式图951用文氏图说明A-(BC)(A-B)(A-C)从图中看出，等式两边对应图中同一个区域，因此应该相等这种图形表示法只能说明图形表示法只能说明问题，不能证明问题，问题，不能证明问题，2、差集的性质l定理952 对任意的集合A，B和C，有(1)A-BA-(AB)(2)A-BA-B，(3)A(B-A)AB(4)A(B-C)(AB)-C
26、证明l 定理中的定理中的(2)(2)是很有用的结论，它可以用是很有用的结论，它可以用ABAB代代入式中的入式中的A-BA-B，从而消去差集算符，从而消去差集算符，利用定理9.5.1的规律这类似于命题逻辑中消去联结词“”3、对称差的性质类似于并集l 定理953 对任意的集合A，B和C，有l 证明(3)如下l 4、集合间的关系类似于实数间的关系（偏序）l 例1(谓词演算谓词演算)对任意的集合A和B，有(AUB=B)(AB)(ABA)(A一B=)证明 本例要求证明4个命题互相等价设命题(1)是AUB=B，命题(2)是AB，命题(3)是ABA，命题(4)是A一B=。只要证明(1)=(2)，(2)=(3
27、)，(3)=(4)，(4)=(1)即可，(1)=(2):已知AUB=B对任意的x，得xA=xAxBxABxB因此AB(2)=(3):已知AB对任意的x，得xABxAxB=xA，xAxAxA=xAxBxAB.因此ABA(3)=(4)：已知ABA，故A-BA-B(AB)-B=A(B-B)=(4)=(1)：已知A-B，故ABBAB(A-B)(由定理952)=B=Bl 例例2(集合等式运算集合等式运算)对任意的集合A，B和C，有ABAC，ABAC=BC证明 方法1：BB(AB)=B(AC)=(BA)(BC)(AC)(BC)=(AB)C=(AC)C=C方法2（反证法，简洁的好办法）（反证法，简洁的好办法
28、）：假设BC不妨设存在x，使xBxC如果xA，则xAB且xAC与已知矛盾如果xA，则xAB且xAC,也与已知矛盾因此B=Cl 由ABAC能否推出BC呢?能否由AB=AC推出B=C呢?请思考l 例例3 对任意的集合A，B和C，给出(A-B)(A-C)=成立的允要条件()解 (A-B)(A-C)=(A-B)-(A-C)(A-C)-(A-B)=(A-B)-(A-C)(A-C)-(A-B)=(A-B)(A-C)(A-C)(A-B)(例1)A-B=A-C.于是，充要条件是A-BA-C952 幂集合的性质和传递集合l 1、幂集合(集合的集合)定理定理955 对任意的集合A和B有l 定理定理95，6 对任意
29、的集合A和B，有(1)P(A)P(B)P(AB)(2)P(A)P(B)P(AUB)证明(1)对任意的x，可得xP(A)P(B)xP(A)xP(B)xAxB(y)(yxyA)(y)(yxyB)(y)(yx(yAyB)xABxP(AB)(2)对任意的x，可得xP(A)UP(B)xP(A)V xP(B)xAV xB(y)(yxyA)V(y)(yxyB)=(y)(yxyA)V(yxyB)(y)(yx(yAB)xAUBxP(AUB)l 注意，结论(2)不能写成等式例如，令A=a，Bb则P(AUB)，a，b，a，b，P(A)UP(B)，a，bl 定理定理958 对任意的集合A和B有P(A-B)(P(A)-
30、P(B)U 证明 对任意的x,若x，则有 xP(A-B)xA-B (y)(yxyA-B)(y)(yxyA)(y)(yxyB)=(y)(yxyA)xA此外 xP(A-B)x xA-B(y)(yx)(y)(yx(yAyB)(y)(yx)=(y)(yxyB)(用推理规则)x B于是 xP(A-B)x=xAx BxP(A)xP(B)x(P(A)-P(B)=P(A-B)(P(A)-P(B)U若x=,有 P(A-B)且(P(A)-P(B)U2、传递集合(集合的集合)下面给出传递集合的定义，并讨论它和幂集的关系，l定义定义951 如果集合的集合集合的集合A的任一元素元素的元素的元素都是A的元素，就称A为传递
31、集合这个定义也可以写成A是传递集合(x)(y)(xyyA)xA)，l例4 A=，是传递集合A的元素的元素有和，这些都是A的元素B=，不是传递集合，B的元素的元素有和，但是不是B的元素l 定理定理959 对集合的集合A，A是传递集合AP(A)证明 先设A是传递集合则对任意的yA，若y则yP(A)若y，对(x)(xy)，有xA(A是传递集合)，则有yA，于是yP(A)总之，由yAyP(A)，有AP(A)再设AP(A)，则对任意的x和y，有xyyA=xyyP(A)(由已知)xyyA=xA因此，A是传递集合l 定理定理9510 对集合的集合A，A是传递集合P(A)是传递集合证明 先设A是传递集合对任意
32、的x和y，有 xyyP(A)xyyA=xA =xA (因为A是传递集合)xP(A)所以P(A)是传递集合(证明中利用了传递集合的性质，它的元素一定是它的子集)再设P(A)是传递集合对任意的x和y,有 xyyAxyy A xy yy y P(A)=xyyP(A)(P(A)是传递集合)xyyA=xA所以A是传递集合953 广义并和广义交的性质l 定理定理9511 对集合的集合A和B，有 (1)AB=AB，(2)AB=BA，其中A和B非空 证明 (1)设AB对任意的x可得 xA(y)(xyyA)=(y)(xyyB)xB所以，AB (2)设AB.对任意的x，可得 xB(y)(yBxy)=(y)(yAx
33、y)(由AB)xA所以，BAl 定理定理9512 对集合的集合A和B，有 (1)U(AUB)=(UA)U(UB)，(2)(AUB)(A)(B)，其中A和B非空 证明 (1)对任意的x，可得 xU(AUB)(y)(xyyAUB)(y)(xy(yA VyB)(y)(xyyA)V(y)(xyyB)xUA V xUBx(UA)U(UB)所以，U(AUB)=(UA)U(UB)(2)对任意的x，可得 x(AUB)(y)(yAUBxy)(y)(yA V yB)xy)(y)(yAxy)(y)(yBxy)xAxBx(A)(B)所以，(AUB)(A)(B)l 定理定理9513 对任意的集合A，有 (P(A)A 证
34、明 对任意的x，可得 xU(P(A)(y)(xyyP(A)(y)(xyyA)xA所以，(P(A)A例如，当Aa，b有P(A)=，a，b，a，b，有P(A)a，b，即P(A)A，只有AP(A)例如，当A=a,有A=a，有P(A)，a2、l 定理定理9514 若集合A是传递集合，则UA是传递集合证明 对任意的x和y，有 xyyAxy(z)(yzzA)=xyyA (A是传递集合)xU A所以UA是传递集合 l定理定理9515 若集合A的元素都是传递集合，则UA是传递集合证明 对任意的x和y，有 xyyAxy(z)(yzzA)=(z)(xzzA)(z是传递集合)xUA 所以UA是传递集合l定理定理9，
35、516 若非空集合A是传递集合，则A是传递集合，且A这个定理的证明要使用正则公理，这里不给出证明参见定理9.7.8。l 定理定理9517 若非空集合A的元素都是传递集合，则A是传递集合证明 对任意的x和y，可得所以A是传递集合954 笛卡儿积的性质l 笛卡儿积具有下列基本性质 (1)A=B，(2)若A，B且AB，则ABBA，(3)A(B C)(AB)C 结论表明，结论(3)是因为 A(B C)a，|aAbBcC (A B)C，c|aAbBcC 其中，c是三元组，但a，不是三元组，ca，l 定理定理9518 若A是集合，xA,yA，则PP(A)(PP(A)表P(P(A).)l 定理定理9519 对任意的集合A，B和C，有证明 只证(1)，其余留作思考题l 定理定理9.5.20 对任意的集合A，B和C，若C，则l 定理定理9521 对任意的非空集合A，B，C和D，
