1、1微分方程 第七章yxfy求求已知已知,)(积分问题积分问题 yy求求及其若干阶导数的方程及其若干阶导数的方程已知含已知含,微分方程问题微分方程问题 推广推广 2微分方程的基本概念 第一节微分方程的基本概念微分方程的基本概念引例引例 几何问题几何问题物理问题物理问题 第七章 3引例引例1.一曲线通过点一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的在该曲线上任意点处的解解:设所求曲线方程为设所求曲线方程为 y=y(x),则有如下关系式则有如下关系式:xxy2dd xxyd2Cx 2(C为任意常数为任意常数)由由 得得 C=1,.12 xy因此所求曲线方程为因此所求曲线方程为21 xy由由 得得切线
2、斜率为切线斜率为 2x,求该曲线的方程求该曲线的方程.4引例引例2.列车在平直路上以列车在平直路上以sm20的速度行驶的速度行驶,制动时制动时获得加速度获得加速度,sm4.02 a求制动后列车的运动规律求制动后列车的运动规律.解解:设列车在制动后设列车在制动后 t 秒行驶了秒行驶了s 米米,已知已知4.0dd22 ts,00 ts200dd tts由前一式两次积分由前一式两次积分,可得可得2122.0CtCts 利用后两式可得利用后两式可得0,2021 CC因此所求运动规律为因此所求运动规律为tts202.02 说明说明:利用这一规律可求出制动后多少时间列车才利用这一规律可求出制动后多少时间列
3、车才能停住能停住,以及制动后行驶了多少路程以及制动后行驶了多少路程.即求即求 s=s(t).5常微分方程常微分方程偏微分方程偏微分方程含未知函数的含未知函数的导数导数或或微分微分的方程叫做的方程叫做微分方程微分方程.方程中所含未知函数导数的方程中所含未知函数导数的最高阶数最高阶数叫做叫做微分方程微分方程(本章内容本章内容)0),()(nyyyxF),()1()(nnyyyxfy(n 阶阶显式显式微分方程微分方程)微分方程的基本概念微分方程的基本概念一般地一般地,n 阶常微分方程的形式是阶常微分方程的形式是的的阶阶.分类分类或或6,00 ts200 tdtds引例引例2 使方程成为恒等式的函数使
4、方程成为恒等式的函数.通解通解 解中所含解中所含独立独立的的任意常数的个数任意常数的个数与方程与方程)1(00)1(0000)(,)(,)(nnyxyyxyyxy 确定通解中任意常数的条件确定通解中任意常数的条件.n 阶方程的阶方程的初始条件初始条件(或或初值条件初值条件):的的阶数阶数相同相同.特解特解2dyxdx 21 xy引例引例1 Cxy 22122.0CtCts 通解通解:tts202.02 12 xy特解特解:微分方程的微分方程的解解 不含任意常数的解不含任意常数的解,定解条件定解条件 其图形称为其图形称为积分曲线积分曲线.0422 dtsd7例例1.验证函数验证函数是微分方程是微
5、分方程tkCtkCxsincos21 22ddtx的解的解,0Axt 00dd ttx的特解的特解.解解:22ddtxtkkCsin22)cossin(212tkCtkCk xk2 这说明这说明tkCtkCxsincos21 是方程的解是方程的解.是两个独立的任意常数是两个独立的任意常数,21,CC),(21为常数为常数CCtkkCcos21 02 xk利用初始条件易得利用初始条件易得:,1AC 故所求特解为故所求特解为tkAxcos,02 C故它是方程的通解故它是方程的通解.并求满足初始条件并求满足初始条件 8求所满足的微分方程求所满足的微分方程.例例2.已知曲线上点已知曲线上点 P(x,y
6、)处的法线与处的法线与 x 轴交点为轴交点为 Q，PQxyox解解:如图所示如图所示,yYy 1)(xX 令令 Y=0,得得 Q 点的横坐标点的横坐标yyxX ,xyyx 即即02 xyy点点 P(x,y)处的法线方程为处的法线方程为且线段且线段 PQ 被被 y 轴平分轴平分,P263 (习题习题12-1)1;2(3),(4);3(2);4(2),(3);6 思考与练习思考与练习9例例3.已知函数已知函数是微分方程是微分方程xxyln 的解的解,则则)(yx 解解:，故，故xxyln 将将 代入微分方程，得代入微分方程，得xx2ln1)ln()(yxxyy 21)(uu 22)(xyyx 的表
7、达式为（的表达式为（）22xy(A);(B);(C);(D).22xy22yx22yx 从而从而A10转化转化 可分离变量微分方程可分离变量微分方程 第二节解分离变量方程解分离变量方程 可分离变量方程可分离变量方程 0 )(d )(11 xNxxMyyNyMd)()(22 第七章 12()()dyfx fydx()()g y dyf x dx 11分离变量方程的解法分离变量方程的解法:xxfyygd)(d)(设设 y (x)是方程是方程的解的解,xxfxxxgd)(d)()(两边积分两边积分,得得 yygd)(xxfd)(CxFyG )()(则有恒等式则有恒等式)(yG)(xF说明说明由由确定
8、的隐函数确定的隐函数 y(x)是是的解的解.则有则有称称为方程为方程的隐式通解的隐式通解,或通积分或通积分.=f(x)0 时时,上述过程可逆上述过程可逆,由由确定的隐函数确定的隐函数 x(y)也是也是的解的解.当当G(y)与与F(x)可微且可微且 (y)g(y)0 时时,G 同样同样,当当 (x)F 12例例1.求微分方程求微分方程yxxy23dd 的通解的通解.解解:分离变量得分离变量得xxyyd3d2 两边积分两边积分xxyyd3d2 得得13lnCxy Cxylnln3 即即13Cxey 31xCee 3xeCy 1CeC 令令(C 为任意常数为任意常数)或或说明说明:在求解过程中在求解
9、过程中每一步不一定是同解每一步不一定是同解变形变形,因此可能增、因此可能增、减解减解.(此式含分离变量时丢失的解此式含分离变量时丢失的解 y=0)13例例2.解初值问题解初值问题0d)1(d2 yxxyx解解:分离变量得分离变量得xxxyyd1d2 两边积分得两边积分得Cxyln11lnln2 即即Cxy 12由初始条件得由初始条件得 C=1,112 xy(C 为任意常数为任意常数)故所求故所求特解特解为为 1)0(y练习练习：已知曲线已知曲线()yf x 过点过点1(0,)2，且其上任一点，且其上任一点(,)xy处切线斜率为处切线斜率为 ，则，则2ln(1)xx()f x 2212()(1)
10、ln(1)1f xxx14例例3.求下述微分方程的通解求下述微分方程的通解:)1(sin2 yxy解解:令令,1 yxu则则yu 1故有故有uu2sin1 即即xuuddsec2 Cxu tan解得解得Cxyx )1tan(C 为任意常数为任意常数)所求通解所求通解:15练习练习:.dd的通解的通解求方程求方程yxexy 解法解法 1 分离变量分离变量xeyexydd Ceexy 即即01)(yxeCe(C 0,21dd yxyxyx,vyx 则则,yxv 令令21ddvyvy yvyvyxdddd Cyvvlnln)1(ln2 积分得积分得故有故有1222 CvyCy,xvy 代入代入得得)
11、2(22CxCy (抛物线抛物线)221)(vvCy Cyvv 21故反射镜面为旋转抛物面故反射镜面为旋转抛物面.于是方程化为于是方程化为(齐次方程齐次方程)32顶到底的距离为顶到底的距离为 h,hdC82 说明说明:)(222CxCy 2,2dyhCx 则将则将这时旋转曲面方程为这时旋转曲面方程为 hdxhdzy1642222hd若已知反射镜面的底面直径为若已知反射镜面的底面直径为 d,代入通解表达式得代入通解表达式得)0,(2C oyxA33(h,k 为待为待*二、可化为齐次方程的方程二、可化为齐次方程的方程111ddcybxacybxaxy )0(212 cc,.111时时当当bbaa
12、作变换作变换kYyhXx ,dd,ddYyXx 则则原方程化为原方程化为 YbXaYbXaXY11dd ckbha 111ckbha 令令 0 ckbha0111 ckbha,解出解出 h,k YbXaYbXaXY11dd (齐次方程齐次方程)定常数定常数),34,代入代入将将kyYhxX 求出其解后求出其解后,即得原方即得原方 程的解程的解.,.211时时当当 bbaa原方程可化为原方程可化为 1)(ddcybxacybxaxy 令令,ybxav xybaxvdddd 则则1ddcvcvbaxv (可分离变量方程可分离变量方程)注注:上述方法可适用于下述更一般的方程上述方法可适用于下述更一般
13、的方程 111ddcybxacybxafxy )0(212 cc)0(b35例例4.求解求解64dd yxyxxy52 xy解解:04 kh令令,5,1 YyXxYXYXXY dd得得再令再令 YX u,得得令令06 kh5,1 kh得得XXuuudd112 积分得积分得uarctan)1(ln212u XCln 代回原变量代回原变量,得原方程的通解得原方程的通解:3615arctan xy 2151ln21xy)1(ln xC52 xy利用利用得得 C=1,故所求特解为故所求特解为15arctan xy 22)5()1(ln21 yx思考思考:若方程改为若方程改为,64dd yxyxxy如何
14、求解如何求解?提示提示:.yxv 令令37练习练习1.求微分方程求微分方程22yxydydxx 的通解。的通解。2.求微分方程求微分方程22dyxyxydx的特解。的特解。满足条件满足条件2x eye 3.求初值问题求初值问题221()00 xyxydxxdyy 的特解。的特解。(0)x 22yxyc222(ln1)yxx21122yx3.求初值问题求初值问题的特解。的特解。1122xyyxyyx212xxy (93,)(96,)(91,)(99,)38(2003,)(xfy 设位于第一象限的曲线设位于第一象限的曲线)(xfy ),21,22(过点过点),(yxPyQ其上任一点其上任一点 处的
15、法线与处的法线与 轴的交点为轴的交点为 ，xPQ且线段且线段 被被 轴评分。轴评分。(1)求曲线求曲线 的方程；的方程；,0 llxysin(2)求曲线求曲线 在在 上的弧长为上的弧长为 ，试用，试用)(xfy s表示曲线表示曲线 的弧长的弧长 。1222 yxls42 39(2001,),(yxP)0(xy到坐标原点的距离，到坐标原点的距离，恒等于该点的切线在恒等于该点的切线在 轴的截距，轴的截距，)0,21(L且且 经过点经过点 。L(1)求曲线求曲线 的方程；的方程；LL(2)求求 位于第一象限的一条切线，使该切线与位于第一象限的一条切线，使该切线与及两坐标轴所围图形的面积最小及两坐标轴
16、所围图形的面积最小。241xy 3133 xy设设 是一条平面曲线，其上任一点是一条平面曲线，其上任一点 L40一、一、求下列齐次方程的通解求下列齐次方程的通解:1 1、0)(22 xydydxyx；2 2、0)1(2)21(dyyxedxeyxyx.二、二、求下列齐次方程满足所给初始条件的特解求下列齐次方程满足所给初始条件的特解:1 1、1,02)3(022 xyxydxdyxy；2 2、,0)2()2(2222 dyxxyydxyxyx 11 xy.三、化下列方程为齐次方程三、化下列方程为齐次方程,并求出通解并求出通解:1 1、31 yxyxy；2 2、0)642()352(dyyxdxyx.练练 习习 题题41练习题答案练习题答案一、一、1 1、)ln2(22Cxxy ；2 2、Cyexyx 2.二、二、1 1、322yxy ；2 2、yxyx 22.三、三、1 1、Cyxxy )2()1ln(2112arctan22；2 2、Cxyxy 2)32)(34(.
