1、一次因式的方幂（相同的必须按出现的次数计算）一次因式的方幂（相同的必须按出现的次数计算）把矩阵把矩阵 的每个次数大于零的不变因子的每个次数大于零的不变因子n nAC 称为称为A的初等因子的初等因子.分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，所有这些分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，所有这些222221,1,1,(1),(1)(1),(1)(1)(1)9个个 则则A的初等因子有的初等因子有7个，它们是个，它们是222(1),(1),(1),(1),(1),例例1、若若12级复矩阵级复矩阵A的不变因子是的不变因子是:22(),()ii 设设n级矩阵级矩阵A的不变因子为已知：的不变因子为已知：12(),
2、(),()ndxdxdx将将 分解成互不相同的一次因式分解成互不相同的一次因式()(1,2,)idxin 的方幂的乘积的方幂的乘积:11121112()()()(),rkkkrdx21222212()()()(),rkkkrdx1212()()()().nnnrkkknrdx分析分析:则其中对应于则其中对应于 的那些方幂的那些方幂:1i jk()(1)i jkji jk就是就是A的全部初等因子的全部初等因子.注意到不变因子注意到不变因子 满足满足12(),(),()ndxdxdx1()|(),1,2,1iidxdxin 从而有从而有1,()|(),1,2,1,1,2,i jijkkjjinjr
3、 因此有因此有,12,1,2,jjnjkkkjr即同一个一次因式的方幂作成的初等因子中，即同一个一次因式的方幂作成的初等因子中，方次最高的必出现在方次最高的必出现在 的分解式中，次高的必的分解式中，次高的必()nd 出现在出现在 的分解式中的分解式中.1()nd 如此顺推下去，可知属于同一个一次因式的方幂如此顺推下去，可知属于同一个一次因式的方幂的初等因子，在不变因子的分解式中出现的位置是的初等因子，在不变因子的分解式中出现的位置是唯一确定的唯一确定的.设级矩阵的全部初等因子为已知设级矩阵的全部初等因子为已知.nA在全部初等因子中，将同一个一次因式在全部初等因子中，将同一个一次因式()1,2,
4、jjr的方幂的那些初等因子按降幂排列，而且当这种初的方幂的那些初等因子按降幂排列，而且当这种初等因子的个数不足等因子的个数不足n个时，则在后面补上适当个数个时，则在后面补上适当个数的的1，使其凑成，使其凑成n个，设所得排列为个，设所得排列为1,1(),(),(),1,2,.n jnjjkkkjjjjr 于是令于是令1212()()()(),1,2,iiirkkkirdxin则则12(),(),()ndxdxdx就是就是A的不变因子的不变因子.例例1、已知、已知3级矩阵级矩阵A的初等因子为：的初等因子为：2(1),2.求求A的不变因子的不变因子.解：作排列解：作排列2(1),1,1 2,1,1
5、得得A的不变因子为：的不变因子为：23()(1)(2),dx21()()1.dxdx结论结论1、若两个同级数字矩阵有相同的不变因子，、若两个同级数字矩阵有相同的不变因子，则它们就有相同的初等因子；则它们就有相同的初等因子；反之，若它们有相同的初等因子，则它们就有反之，若它们有相同的初等因子，则它们就有结论结论2、两个同级数字矩阵相似、两个同级数字矩阵相似可见：初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量可见：初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量.相同的不变因子相同的不变因子.它们有相同的初等因子它们有相同的初等因子.1、(引理引理1)若多项式若多项式 都与都与 12(),()ff12(),()gg
6、互素，则互素，则 11221212()(),()()(),()(),()fgfgffgg 证：令证：令 1122()(),()()(),fgfgd 121(),()(),ffd 122(),()(),ggd 显然，显然，12()(),()().ddd由于由于 11(),()1,fg 故故 12(),()1.dd 因而因而 12()()()ddd另一方面，由于另一方面，由于11()()(),dfg可令可令()()(),dfg 其中其中11()|(),()|()ffgg又又 12(),()1,fg 由由22()|()(),ffg又得又得2()|().ff 2(),()1.fg同理可得同理可得2()
7、|().gd12()()|()(),fgdd即即 12()|()()ddd1()|().fd故故12()|()()ddd1122()()0()0()()fgAfg 2112()()0()0()()fgBfg 如果多项式如果多项式 都与都与 互素，互素，12(),()ff12(),()gg2、(引理引理2)设设则则 与与 等价等价.()A()B 证：首先，证：首先，()(),AB 从而从而 二阶行列式因子相同二阶行列式因子相同.(),()AB其次，由引理其次，由引理1，有，有 1122()(),()()fgfg 1212(),()(),()ffgg 从而从而 的一阶行列式因子相同的一阶行列式因子
8、相同.(),()AB所以，所以，与与 等价等价.()A()B 2112()(),()()fgfg 3、(定理定理9)设设 将特征矩阵将特征矩阵 进行进行,n nAC EA 初等变换化成对角形初等变换化成对角形12()()()()nhhDh 然后将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因然后将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因式的方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同式的方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同的按出现的次数计算）就是的按出现的次数计算）就是A的全部初等因子的全部初等因子.证：设证：设 经过初等变换化成对角形经过初等变换化成对角形EA 12()()()()nhhDh 其中
9、其中 皆为首皆为首1多项式，多项式，()ih 1,2,in 将将 分解成互不相同的一次因式的方幂的乘积分解成互不相同的一次因式的方幂的乘积:()ih 1212()()()(),iiirkkkirh1,2,in 下证，对于每个相同的一次因式的方幂下证，对于每个相同的一次因式的方幂12(),(),()1,2,jjn jkkkjjjjr在在 的主对角线上按升幂排列后，得到的新对角的主对角线上按升幂排列后，得到的新对角()D 矩阵矩阵 与与 等价等价.()D ()D 此时此时 就是就是 的的()D EA 且所有不为且所有不为1的的 就是就是A的全部的全部()i jkj 初等因子初等因子.标准形，标准形
10、，为了方便起见，先对为了方便起见，先对 的方幂进行讨论的方幂进行讨论.1 于是于是 11()()(),1,2,ikiihgin且每一个且每一个 都与都与 互素互素.11()ik()(1,2,)jgjn 如果相邻的一对指数如果相邻的一对指数 11,1,iikk 则在则在 中将中将 与与 对调位置，对调位置，()D 11()ik 1,11()ik 而其余因式保持不动，而其余因式保持不动，2323()()()(),iiinkkkirg x令令1,2,in 由引理由引理211,1111()()00()()iikikig xgx 与与 1,11111()()00()()iikikig xgx 等价等价.
11、11111111111()()()()()()()()iinkkikikng xg xgxg x 等价等价.然后对然后对 重复上述讨论重复上述讨论.1()D 1()D 从而从而 与对角矩阵与对角矩阵()D 如此继续进行，直到对角矩阵主对角线上元素所含如此继续进行，直到对角矩阵主对角线上元素所含1 的方幂是按逆升幂次排列为止的方幂是按逆升幂次排列为止.再依次对作同样处理再依次对作同样处理.2,r最后便得到与最后便得到与 等价的对角阵等价的对角阵 ()D().D 都是按升幂排列的，都是按升幂排列的，的主对角线上所含每个相同的一次因式的方幂的主对角线上所含每个相同的一次因式的方幂()D 即为即为 的标准形的标准形.EA ()D 例例2、求矩阵、求矩阵A的初等因子的初等因子12 61 0311 4A 解：对解：对 作初等变换作初等变换EA 1 2613114EA 20132011114 210001101312100011002121140110131 210001000(1)A的初等因子为的初等因子为:21,(1).
