1、21xy A1引例引例 曲线21xy 和直线1x及 x 轴所围成的开口曲边梯形的面积 可记作12dxxA其含义可理解为 bbxxA12dlimbbbx11limbb11lim1定义定义4.44.4 设()f x,ab 取若xxfbabd)(lim存在,则称此极限为记作xxfxxfbabad)(limd)(这时称广义积分xxfad)(收敛；如果上述极限不存在,就称广义积分xxfad)(发散.类似地,若则定义xxfxxfbaabd)(limd)(定义在,)a 上，的无穷限广义积分广义积分,()f x()f x定义在,b上，例例4.504.50 计算广义积分.1d2 xx解解21dxxarctanx
2、()2 2xoy211xy思考思考?01d2对吗xxx分析分析)1ln(211d22xxxx原积分发散!例例4.51 4.51 证明第一类 p 积分apxxd证证 当 p=1 时有 axxdaxlnapxxdappx11当 p 1 时有 1p1p,11pap当 p 1时收敛；p1时发散.,因此,当 p 1 时,广义积分收敛,其值为;11pap当 p1 时,广义积分发散.例例4.524.52 计算广义积分0ed(0).pttt p解解epttp 原式001edpttp21eptp 021p引例引例 曲线xy1所围成的1x与 x 轴,y轴和直线开口曲边梯形的面积 可记作10dxxA其含义可理解为
3、10dlimxxA12lim0 x)1(2lim02xy10A1xy定义定义4.54.5 设而在点 a 的右邻域内无,0取存在,xxfxxfbabad)(limd)(0这时称反常积分xxfbad)(收敛;如果上述极限不存在,就称反常积分xxfbad)(发散.类似地,若,),)(baCxf而在 b 的左邻域内无界,xxfxxfbabad)(limd)(0若极限baxxfd)(lim0数 f(x)在 a,b 上的反常积分,记作则定义则称此极限为函()f x在,a b上连续界,若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类间断,而在点c的邻域无界函数的积分又称作第二类广义积分第二类广义积分,无界点常称内无
4、界,xxfbad)(xxfcad)(xxfbcd)(xxfcad)(lim110 xxfbcd)(lim220为瑕点瑕点.例如,xxxd11112xxd)1(11点,而不是广义积分.则本质上是常义积分,则定义()f x在,a b若上除点()c acb外连续若瑕点,)()(的原函数是设xfxF的计算表达式:xxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbF则也有类似牛 莱公式的若 b 为瑕点,则若 a 为瑕点,则若 a,b 都为瑕点,则,),(bac则xxfbad)()()(cFbF)()(aFcF可相消吗可相消吗?112dxx211111x下述解法是否正确:,积分收敛例例4.534.53 计算广义积分.)0(d022axaxa解解 显然瑕点为 a,所以原式0arcsinaax1arcsin2例例4.544.54 讨论广义积分112dxx的收敛性.解解112dxx012dxx102dxx101x011x所以广义积分112dxx发散.例例4.55 4.55 证明广义积分baqaxx)(d证证 当 q=1 时,当 q 1 时收敛；q1时发散.baaxxdbaax ln当 q1 时baqaxx)(dabqqax1)(11q,1)(1qabq1q,所以当q 1时,该广义积分收敛,其值为;1)(1qabq当 q 1 时,该广义积分发散.
