1、4 高阶导数高阶导数一、高阶导数一、高阶导数二、多元函数的偏导数二、多元函数的偏导数第三章第三章 微分学微分学三、高阶偏导数三、高阶偏导数四、四、拓展与思考拓展与思考五、小结五、小结一、高阶导数一、高阶导数.)()()(的的二二阶阶导导数数就就得得到到函函数数可可导导如如果果的的导导函函数数再再求求一一次次导导数数对对函函数数xfxfxf 定义一定义一.)(0处处的的一一个个邻邻域域内内有有定定义义在在点点设设导导函函数数xxf,)()(lim000存存在在如如果果xxfxxfx ,)(0处处的的二二阶阶导导数数在在点点则则称称此此极极限限为为函函数数xxfy .dd),(),(02200 x
2、xyxyxf或或记作记作 分分别别记记为为阶阶导导数数四四阶阶类类似似地地可可定定义义三三阶阶,n)()4(,nyyy 分分别别记记为为阶阶导导数数四四阶阶类类似似地地可可定定义义三三阶阶,n.dd,dd,dd4433nnxyxyxy或或分分别别记记为为.,为为一一阶阶导导数数称称而而把把为为高高阶阶导导数数二二阶阶及及二二阶阶以以上上导导数数称称y 例例.,.12)4(3yyyyxxy 求求设设解解,262 xy,12xy ,12 y.0)4(y例例2 2).0(),0(.arctanyyxy 求求设设解解,112xy ,)1(222xxy .)1()13(2322xxy 得得代代入入以以上
3、上各各式式将将,0 x.2)0(,0)0(yy例例3 3.e)(nxyy求求设设 解解.e)(xny 显显然然有有例例4 4.).1ln()(nyxy求求设设 解解,)1(111 xxy,)1)(1(2 xy,)1)(2)(1(3 xynnxny )1)(1()2)(1()(.)1()!1()1(1nnxn 例例5 5.sin)(nyxy求求设设 解解).2sin(cosxxy ).22sin()2cos(xxy ).23sin()22cos(xxy ).2sin()(xnyn 二、多元函数的偏导数二、多元函数的偏导数定义二定义二如果如果有定义有定义的一个邻域内的一个邻域内在点在点设函数设函数
4、 .),(),(00yxPyxfz ,),(),(lim00000存在存在xyxfyxxfx 记记作作的的偏偏导导数数对对处处在在点点则则称称此此极极限限为为函函数数,),(),(00 xyxPyxfy .),(),(0000yxxxzyxz 或或的偏导数的偏导数可以定义对可以定义对同样同样y,),(00yxyz.),(),(lim00000yyxfyyxfy .,元函数元函数四元四元推广到三元推广到三元上述偏导数的定义可以上述偏导数的定义可以n:),(121的的偏偏导导数数是是指指对对元元函函数数如如xxxxfznn 1xz1212110),(),(lim1xxxxfxxxxfnnx ).(
5、如果上述极限存在如果上述极限存在.其余可以类推其余可以类推注意注意xzyzxz 与与理理解解为为不不能能把把偏偏导导数数的的记记号号,.之之商商与与或或yz .的记号的记号它仅仅是一种不可分开它仅仅是一种不可分开.,求求导导法法则则的的求求偏偏导导数数用用不不着着建建立立新新根根据据偏偏导导数数的的定定义义.量量求求偏偏导导数数只只需需注注意意是是对对哪哪一一个个变变例例6 6.)4,1(sin处处的的两两个个偏偏导导数数在在点点求求函函数数 yxz 解解,sin yxz ,22sin)4,1()4,1(yxz则则,cos yxyz .22cos)4,1()4,1(yxyz则则例例7 7.,y
6、zxzxzy 的的求求函函数数解解,1 yyxxz.ln xxyzy 例例8 8.3322的的两两个个偏偏导导数数求求函函数数yxyxxyz 解解,3222xxyyxz .3222yxxyyz 例例9 9.1),(PTTVVPRRTPV试证试证为常量为常量设关系式设关系式解解.1,2VRTVPVTRP 则则对对于于.,PRTVPTRV 则则对对于于.1,1VRPTPVRT 则则对于对于.1 PTTVVP.,之之商商与与或或与与看看成成进进一一步步说说明明了了不不能能把把yzxzyzxz 例例1010.222的的各各个个偏偏导导数数求求zyxr 解解 xr222221zyxx ,rx yr222
7、221zyxy ,ry zr222221zyxz .rz 三、高阶偏导数三、高阶偏导数,),(的函数的函数内仍是内仍是域域则则内偏导数存在内偏导数存在在域在域若二元函数若二元函数yxDyzxzDyxfz :,),(),(共共有有四四个个的的二二阶阶偏偏导导数数则则称称它它们们是是如如果果存存在在的的话话数数对对这这两两个个函函数数再再求求偏偏导导yxf).,()(22yxfxzxzxxx ).,()(2yxfyxzxzxyy ).,()(2yxfxyzyzyxx ).,()(22yxfyzyzyyy .数称为高阶偏导数数称为高阶偏导数二阶及二阶以上的偏导二阶及二阶以上的偏导例例1111.,33
8、35224偏偏导导数数求求所所有有的的二二阶阶求求xyxyyxxz 解解,36435223yyxxyxxz ,3562432xyyxyxyz .661252222xyyxxz .315122422yyxxyyxz .315122422yyxxyxyz .620633222xyyxxyz 定理定理,),(22连连续续上上二二阶阶混混合合偏偏导导数数在在域域若若二二元元函函数数xyzyxzDyxf .,22xyzyxzD 有有上上则则在在域域例例1212.,),ln(2222222yzyxzxzxyxz 求求设设解解,1222xyxxxz .222xyxyyz 22xz,)(122222222xy
9、xyxx yxz2,)()12(2222xyxyx 22yz.)(22222222xyxxyx 22xz,)(122222222xyxyxx 例例1313.,e32333222zyxuyxuxuuzyx 求求设设解解.,具有对称性具有对称性函数对函数对zyx xu.e2222zyxx yu.e2222zyxy zu.e2222zyxz 22xu.2)e(42222zyxx 33xu.)e34(22223zyxxx yxu23.e22)(42222zyxyx yxu2.e4222zyxxy zyxu3.e8222zyxxyz 四、拓展与思考四、拓展与思考例例1414解解 31yxxz1)3,(x
10、xxf12)(xx1)2(xx.2.,11tansin)3(31222 yxxzyxxyyxz求求设设思考题思考题.2ln1),1,0(zyzxxzyxxxxzy 求求证证设设证明证明 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1左左xxxyxyxyylnln11 yyxx z2.右右 五、小结五、小结1 1、本节基本要求、本节基本要求 理解高阶导数的概念，理解偏导数的概念，了理解高阶导数的概念，理解偏导数的概念，了解高阶偏导数的概念，会计算高阶导数，会计算偏解高阶偏导数的概念，会计算高阶导数，会计算偏导数导数.2 2、本节重点、难点、本节重点、难点 重点：重点：偏导数的概念，偏导数的计算偏导数的概念，偏导数的计算.难点：难点：偏导数的计算偏导数的计算.高阶导数高阶导数高阶导数高阶导数多元函数多元函数的偏导数的偏导数高阶导数的定义高阶导数的定义多元函数偏导数的定义多元函数偏导数的定义高阶偏导数的定义高阶偏导数的定义3 3、本节知识结构、本节知识结构高阶偏导数高阶偏导数定理（混合偏导数关系）定理（混合偏导数关系）
