1、1 主 要 内 容 第一章第一章 函数与极限函数与极限 1 1、函数函数 2 2、初等函数、初等函数 3 3、数列的极限、数列的极限 4 4、函数的极限、函数的极限 5、无穷大与无穷小 6 6、极限运算法则极限运算法则 7、极限存在准则、两个重要极限、极限存在准则、两个重要极限 8、无穷小的比较 9、函数的连续性与间断点、函数的连续性与间断点 10、连续函数的运算与初等函数的连续性、连续函数的运算与初等函数的连续性 1111、闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质2 第一章第一章 函数与极限函数与极限 1、理解一元函数、反函数、复合函数的定义；、理解一元函数、反函数、复合函数的定义；2、
2、了解函数的表示和函数的简单性态、了解函数的表示和函数的简单性态有界性、单调性、有界性、单调性、奇偶性、周期性；奇偶性、周期性；3、熟悉基本初等函数与初等函数（包含其定义区间、简单、熟悉基本初等函数与初等函数（包含其定义区间、简单性态和图形）；性态和图形）；4、理解数列极限的概念（对、理解数列极限的概念（对 定义不作过高要求）；定义不作过高要求）；5、熟悉收敛数列的性质熟悉收敛数列的性质有界性、唯一性；有界性、唯一性；6、了解数列极限的存在准则、了解数列极限的存在准则单调有界准则、夹逼准则；单调有界准则、夹逼准则；7、理解函数的极限的定义（包括当、理解函数的极限的定义（包括当 和和 时，函数时，
3、函数极限的定义及左、右极限的定义）极限的定义及左、右极限的定义）;8、了解函数极限的性质、了解函数极限的性质唯一性、保号性、局部有界性；唯一性、保号性、局部有界性；9 9、熟练掌握极限的四则运算法则（包括数列极限与函数极、熟练掌握极限的四则运算法则（包括数列极限与函数极限）限）N x0 xx 基基 本本 要要 求求310、掌握两个重要极限：、掌握两个重要极限：11、熟悉无穷小量的概念及其运算性质、无穷小量的比较；、熟悉无穷小量的概念及其运算性质、无穷小量的比较；12、了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系；、了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系；13、函数极限与无穷小量的关系；、函数极限与无
4、穷小量的关系；14、理解函数的连续性的概念、了解函数的间断点的分类；、理解函数的连续性的概念、了解函数的间断点的分类；15、熟悉连续函数的和、差、积、商及复合函数的连续性；、熟悉连续函数的和、差、积、商及复合函数的连续性；1616、了解初等函数的连续性，掌握闭区间上连续函数的性质。、了解初等函数的连续性，掌握闭区间上连续函数的性质。基基 本本 要要 求（续）求（续）01sinlim(1)lim1xxxxexx4一、基本概念一、基本概念1.1.集合集合:具有某种特定性质的事物的具有某种特定性质的事物的全体全体.组成集合的事物称为该集合的组成集合的事物称为该集合的元素元素.,21naaaA 所具有
5、的特征所具有的特征xxM 有限集有限集,Ma,Ma.,的子集的子集是是就说就说则必则必若若BABxAx .BA 记作记作个体个体总体总体 第一节第一节 函数函数 5数集分类数集分类:N-自然数集自然数集Z-整数集整数集Q-有理数集有理数集R-实数集实数集数集间的关系数集间的关系:.,RQQZZN .,相等相等与与就称集合就称集合且且若若BAABBA )(BA ,2,1 A例如例如,0232 xxxC.CA 则则不含任何元素的集合称为不含任何元素的集合称为空集空集.)(记作记作例如例如,01,2 xRxx规定规定 空集为任何集合的子集空集为任何集合的子集.62.2.区间区间:是指介于某两个实数之
6、间的全体实数是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点这两个实数叫做区间的端点.,baRba 且且bxax 称为开区间称为开区间,),(ba记作记作bxax 称为闭区间称为闭区间,ba记作记作oxaboxab符号符号 表示表示“对每对每(任）一个任）一个”。7bxax bxax 称为半开区间称为半开区间,称为半开区间称为半开区间,),ba记作记作,(ba记作记作),xaxa ),(bxxb oxaoxb有限区间有限区间无限区间无限区间区间长度的定义区间长度的定义:两端点间的距离两端点间的距离(线段的长度线段的长度)称为区间的长度称为区间的长度.83.3.邻域邻域:.0,且且是两
7、个实数是两个实数与与设设a).,a(U 记作记作,叫做这邻域的中心叫做这邻域的中心点点a.叫叫做做这这邻邻域域的的半半径径.axax),a(U xa a a ,邻域邻域的去心的的去心的点点 a.ax0 x),a(U ,邻域邻域的的称为点称为点数集数集 aaxx 94.4.常量与变量常量与变量:在某过程中始终保持一个数值的量称为在某过程中始终保持一个数值的量称为常量常量,注意注意常量与变量是相对常量与变量是相对“过程过程”而言的而言的.通常用字母通常用字母a,b,c等表示常量等表示常量,而不断改变数值的量称为而不断改变数值的量称为变量变量.常量与变量的表示方法：常量与变量的表示方法：用字母用字母
8、x,y,t等表示变量等表示变量.105.5.绝对值绝对值:00aaaaa)0(a运算性质运算性质:;baab ;baba.bababa )0(aax;axa )0(aax.xaxa或绝对值不等式绝对值不等式:ax.baba .axa 11二、函数概念二、函数概念例例 圆内接正多边形的周长圆内接正多边形的周长nnrSn sin2,5,4,3 n3S5S4S6S圆内接正圆内接正n 边形边形Orn)12 邮件的费用依赖与邮件的重量，邮局公布的费用表可根据邮件的费用依赖与邮件的重量，邮局公布的费用表可根据邮件的重量邮件的重量W W确定邮件的费用确定邮件的费用C C。W W1 W2 WNC C1 C2
9、CN 自动纪录仪画出了一天中气温随时间变化的曲线图，由图形自动纪录仪画出了一天中气温随时间变化的曲线图，由图形可以找出在一天中的某个时刻可以找出在一天中的某个时刻t t的温度值的温度值T T。tTo 真空中初速为零的自由落体，下落路程真空中初速为零的自由落体，下落路程S S与时间与时间t t的关系为：的关系为：，设这一运动花费，设这一运动花费T T秒钟，则秒钟，则t t 0,T0,T。221gts 13因变量因变量自变量自变量.)(,000处处的的函函数数值值为为函函数数在在点点称称时时当当xxfXx .),()(称称为为函函数数的的值值域域函函数数值值全全体体组组成成的的数数集集Xxxfyy
10、Xf 数集数集X叫做这个函数的叫做这个函数的定义域定义域)(xfy 变变量量y按按照照一一定定法法则则总总有有一一个个确确定定的的数数值值和和它它对对应应，则则称称y是是x的的函函数数，记记作作定定义义 设设x和和y是是两两个个变变量量,X 是是一一个个给给定定的的数数集集，如如果果对对于于每每个个数数 x X,14()0 x)(0 xf自变量自变量因变量因变量对应法则对应法则f函数的两要素函数的两要素:定义域定义域与与对应法则对应法则.xyX)(Xf约定约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值的一切实数值.21xy 例如，例如，.1,0:)(,1
11、,1:XfX 211xy ).,1 :)(),1,1(:XfX15定义定义:.)(),(),(的图形的图形函数函数称为称为点集点集xfyDxxfyyxC oxy),(yxxyWD 如果自变量在定如果自变量在定义域内任取一个数值义域内任取一个数值时，对应的函数值总时，对应的函数值总是只有一个，这种函是只有一个，这种函数叫做单值函数，否数叫做单值函数，否则叫多值函数则叫多值函数例如，例如，222ayx 16例例1 1 求求 y y=arcsin =arcsin 的定义域和值域。的定义域和值域。x2解：解：120 x函数的定义域为函数的定义域为:.20:,21 yx函数的值域为函数的值域为得定义域为
12、得定义域为 x 0 0)0)的定义域；的定义域；(2)(2)f f(ln(lnx x)的定义域。的定义域。解解:(1):(1)axaaxaaxax111010则则:若若 a a 1/2 1/2，定义域为空集，定义域为空集;若若 a a 1/2 1/2，定义域为，定义域为 a a,1-,1-a a;(2)0ln (2)0ln x x1,1xe1,1xe为定义域。为定义域。x x应取在应取在ax1-a,ax1-a,而而a 1-aa 1-a18例例4 4 判断下列几对函数是否相等判断下列几对函数是否相等.(1)f(x)=2lnx,(x)=lnx(1)f(x)=2lnx,(x)=lnx2 2 ;(2)
13、f(x)=x,(x)=|x|;(2)f(x)=x,(x)=|x|;(3)f(x)=sin(3)f(x)=sin2 2x+cosx+cos2 2x,(x)=1.x,(x)=1.解：解：f(x)f(x)的定义域为的定义域为),0(，(x)(x)的定义域为的定义域为0 x所以它们不相等。所以它们不相等。解：解：f(x)f(x)与与(x)(x)的对应规律不同的对应规律不同 ，所以是不同的函数。，所以是不同的函数。解：解：f(x)f(x)与与(x)(x)的对应规律相同的对应规律相同 ，定义域也相同，定义域也相同，所以所以 f(x)=(x)f(x)=(x)。19 (1)符号函数符号函数 010001sgn
14、xxxxy当当当当当当几个特殊的函数举例几个特殊的函数举例1-1xyoxxx sgn20(2)取整函数取整函数 y=xx表示不超过表示不超过 的最大整数的最大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4-3-2-1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线x21 是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxDy01)(有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo(3)狄利克雷函数狄利克雷函数22(4)取最值函数取最值函数)(),(maxxgxfy )(),(minxgxfy yxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg23 0,10,12)(,2xxxxxf例如例如12 xy12 xy在
15、自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的对应法则用不同的式子来表示的函数式子来表示的函数,称为称为分段函数分段函数.24例例1 1 脉冲发生器产生一个单三角脉冲脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如其波形如图所示图所示,写出电压写出电压U U与时间与时间 函数关系式函数关系式.)0(tt解解UtoE),2(E)0,(2,2,0时时当当 ttEU2 ;2tE 单三角脉冲信号的电压单三角脉冲信号的电压,2(时时当当 t),(200 tEU)(2 tEU即即25,),(时时当当 t.0 U其表达式为其表达式为是一个分段函数是一个分段函数,)(tUU ),(,0,2(),(22
16、,0,2)(tttEttEtUUtoE),2(E)0,(2 26例例2 2.)3(,212101)(的定义域的定义域求函数求函数设设 xfxxxf解解 23121301)3(xxxf 212101)(xxxf 122231xx.1,3:X故故27oyM-Mxy=f(x)D有界有界无界无界M-MyxoD0 x,)(,0,)(MxfDxMxfD 有有若若的的定定义义域域是是设设1函数的有界性函数的有界性:.)(否则称无界否则称无界上有界上有界在在则称函数则称函数Dxf例例 y=siny=sin2 2x,y=cosxx,y=cosx在（在（-,+)-,+)上均为有界函数上均为有界函数,y=x,y=x
17、 y=x,y=x2 2在在(-,+)(-,+)上无界上无界.三、函数的特性三、函数的特性282函数的单调性函数的单调性:,)(DIDxf 区间区间的定义域为的定义域为设函数设函数,2121时时当当及及上任意两点上任意两点如果对于区间如果对于区间xxxxI;)()(的的减减少少上上是是单单调调增增加加在在区区间间则则称称函函数数Ixf)()(21xfxf 恒恒有有)(xfy)(1xf)(2xfxyoI例：例：y=x,y=ey=x,y=ex x 在（在（-,+)-,+)内单调增加。内单调增加。)(xfy)(1xf)(2xfxyoI),)()(21xfxf 293函数的奇偶性函数的奇偶性:偶函数偶函
18、数有有对于对于关于原点对称关于原点对称设设,DxD ,)()(xfxf yx)(xf )(xfy ox-x)(xf.)(为为偶偶函函数数称称xf30有有对于对于关于原点对称关于原点对称设设,DxD ),()(xfxf .)(为为奇奇函函数数称称xf奇函数奇函数)(xf yx)(xfox-x)(xfy 31例例1 1 判断函数判断函数 的奇偶性的奇偶性.)1ln()(2xxxfy 解：解：)(1ln()(2xxxf )()1ln(2xfxx f(x)f(x)是奇函数是奇函数.例例2 2 设设f(x)f(x)在在R R上定义，证明上定义，证明f(x)f(x)可分解为一个奇函数与可分解为一个奇函数与
19、一个偶函数的和。一个偶函数的和。证明：设证明：设显然显然 g g(x x)是偶函数，是偶函数，h h(x x)是奇函数是奇函数,而而 )()()(),()()(xfxfxhxfxfxg 2)()()(xhxgxf 故命题得证故命题得证.324函数的周期性函数的周期性:（通常说周期函数的（通常说周期函数的周期周期是指其是指其最小正周期最小正周期）.2l 2l23l 23l在在(无穷无穷)多个正周期中多个正周期中若若存在一个最小数，此最小数称为存在一个最小数，此最小数称为最小正周期最小正周期。,)(Dxf的定义域为的定义域为设函数设函数如果存在一个不为零的如果存在一个不为零的()().f xlf
20、x且为周为周则称则称)(xf.)(,DlxDxl 使得对于任一使得对于任一数数.)(,的周期的周期称为称为期函数期函数xfl恒 成 立,330一个周期函数有无穷多个周期，一个周期函数有无穷多个周期，如如y=sin x，2,4均为周期。均为周期。0一般函数的周期均指最小正周期，但并非所有周期函数一般函数的周期均指最小正周期，但并非所有周期函数都存在最小正周期都存在最小正周期.如如:f(x)=c例例 设设 c c 0,x0,x(-(-,+,+),f(x+c)=-f(x),),f(x+c)=-f(x),证明证明f(x)f(x)为周期函数。为周期函数。证明证明:f(x+2c)=f(x+c)+c)=-f
21、(x+c)=f(x)f(x+2c)=f(x+c)+c)=-f(x+c)=f(x)f(x)f(x)为周期为为周期为2c2c的函数的函数.事实上事实上,对任何对任何y y(-(-,+,+)都有都有f(x+y)=f(x).f(x+y)=f(x).注意注意34四、反函数四、反函数0 x0y0 x0yxyDW)(xfy 函数函数oxyDW)(yx 反函数反函数o习惯上习惯上,反函数反函数 x=(y)写成写成 y=(x)=f 1(x).定义定义1 设有函数设有函数y=f(x)(x X)，其值域，其值域Y=f(X).若对于若对于Y中每一个中每一个y值值,都可由方程都可由方程f(x)=y确定唯一的确定唯一的x
22、值值:x=(y),称为称为y=f(x)的的反函数反函数,记作记作x=f-1(y),读读“f逆逆”。35)(xfy 直直接接函函数数xyo),(abQ),(baP)(xy 反函数反函数 直接函数与反函数的图形关于直线直接函数与反函数的图形关于直线 对称对称.xy 36例例1 1.,3 xxy例例2 2 证明若函数证明若函数 y=y=f f(x)(x)是奇函数且存在反函数是奇函数且存在反函数 x=x=f f 1 1(y),(y),则反函数也是奇函数则反函数也是奇函数。证明：证明：xxy,3的反函数是的反函数是).()()()(1111yfxxffxffyf 反函数是奇函数。反函数是奇函数。例例3
23、3.0101)(2的反函数的反函数求求 xxxxxf解解:当当x x 0 0时时,y,y 1,1,1122 yxxy当当xx0 0时时,y1,x=y-1,y1,x=y-1,.1,11,1,2 xxxxy得反函数得反函数综上综上37定理：定理：设有函数设有函数y=f(x)，xX,若该函数在若该函数在 X 内严格单调上内严格单调上升升(或下降或下降)则必存在反函数则必存在反函数x=f-1(y)，yf(X)且反函数在且反函数在f(X)内也严格单调上升（或下降）内也严格单调上升（或下降）38例例4 4解解,01)(QxQxxD设设.)().21(),57(的性质的性质并讨论并讨论求求xDDDD ,1)57(D,0)21(D,1)(xDDoxy1单值函数单值函数,有界函数有界函数,偶函数偶函数,周期函数周期函数(无最小正周期无最小正周期).).不是单调函数不是单调函数,39Z.设设0 x，函数值，函数值21)1(xxxf ，求函数求函数)0()(xxfy的解析表达式的解析表达式.思考思考40思考题解答思考题解答设设ux 1则则 2111uuuf ,112uu 故故)0(.11)(2 xxxxf
