1、转化 解分离变量方程解分离变量方程 xxfyygd)(d)(可分离变量方程可分离变量方程 )()(dd21yfxfxy0 )(d )(11xNxxMyyNyMd)()(22分离变量方程的解法分离变量方程的解法:xxfyygd)(d)(设 y(x)是方程的解,xxfxxxgd)(d)()(两边积分,得 yygd)(xxfd)(CxFyG)()(则有恒等式)(yG)(xF则有当G(y)与F(x)可微且 G(y)g(y)0 时,说明由确定的隐函数 y(x)是的解.称为方程的隐式通解,或通积分.同样,当F(x)=f(x)0 时,上述过程可逆,由确定的隐函数 x(y)也是的解.例例5.4 求微分方程yx
2、xy23dd的通解.解解 分离变量得xxyyd3d2两边积分xxyyd3d2得13lnCxyCxylnln3即13Cxey31xCee3xeCy 1CeC令(C 为任意常数)或说明说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式含分离变量时丢失的解 y=0)例例5.5 5.5 解初值问题0d)1(d2yxxyx解解 分离变量得xxxyyd1d2两边积分得Cxyln11lnln2即Cxy12由初始条件得 C=1,112xy(C 为任意常数)故所求特解为 1)0(y0)(ddyxPxy对于可分离变量方程分离变量xxPyyd)(d两边积分得CxxPylnd)(ln故通解为xxPeC
3、yd)(对应齐次方程通解xxPeCyd)(齐次方程通解非齐次方程特解xxPCed)(对非齐次方程)()(ddxQyxPxy用常数变易法常数变易法:,)()(d)(xxPexuxy则xxPeud)()(xPxxPeud)()(xQ故原方程的通解xexQexxPxxPd)(d)(d)(CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(y即即作变换xxPeuxPd)()(xxPexQxud)()(ddCxexQuxxPd)(d)(两端积分得例例5.8 解方程.)1(12dd25xxyxy解解 先解,012ddxyxy即1d2dxxyy积分得,ln1ln2lnCxy即2)1(xCy用常数变易法常数变易法求特解.令,)1()(2xxuy则)1(2)1(2 xuxuy代入非齐次方程得21)1(xu解得Cxu23)1(32故原方程通解为Cxxy232)1(32)1(例例5.9 求方程的通解.解解 注意 x,y 同号,d2d,0 xxxx时当yyxyx2dd2yyP21)(yyQ1)(由一阶线性方程通解公式通解公式,得ex yy2dey1yy2dCxlnd故方程可变形为0d2d3yyxyyxxyy1y1 lndCy 所求通解为)0(CCeyyxyCyln这是以x为因变量,y为 自变量的一阶线性方程
